Equations du premier degré à une inconnue

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1 Troisième Equations du premier degré à une inconnue sguhel Collège La Pyramide

2 1 Généralités (rappel) Définitions Propriétés Résoudre une équation à une inconnue Avec une balance Cas général Autre exemple Application à la résolution de problèmes... 6 Compétences

3 1 Généralités (rappel) 1.1 Définitions Définition : Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s). Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres. Exemples : 1) n = 423 et n = 585 2) 3 x 11 = x Définition : Résoudre une équation d'inconnue x, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x (si elles existent) qui vérifient l'égalité, c'est à dire telle que l'égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l'équation. 3x 11 = x Le nombre 3 est-il solution de l équation? Calcul du premier membre pour x = 3 : = 9 4 = 5 Calcul du deuxième membre pour x = 3 : = 2 21 = 19 L égalité n est pas vérifiée pour x = 3, donc 3 n est pas solution de l équation. 1.2 Propriétés Propriété 1 : On ne change pas une égalité lorsqu'on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres Généralités (rappel) 2

4 Exemples : 1) 4 + x = 13 On soustrait 4 à chaque membre de l égalité : 4 + x 4 = 13 4 x = 9 La solution de l équation est 9. 2) 5 + x = 7 On ajoute 5 à chacun des membres de l égalité : x = x = 12 La solution de l équation est 12. Propriété 2 : On ne change pas une égalité lorsqu'on multiplie (ou on divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul. Exemples : 1) 4x = 32 On divise chacun des membres de l égalité par 4 : 4x = x = 8 La solution de l équation est 8. 2) 5x = 15 On divise chacun des membres de l égalité par 5 : 5 x 5 = 15 5 x = 3 Généralités (rappel) 3

5 La solution de l équation est 3. 3) x 3 = 21 On multiplie chacun des membres de l égalité par 3 : x 3 3 = 21 3 x = 21 La solution de l équation est Résoudre une équation à une inconnue 2.1 Avec une balance Marion va faire les courses avec sa copine Sonia. Marion achète des chaussures à 45 et 2 pulls à x euros chacun. Sonia achète un sac à dos à 60 euros et 1 pull à x euros. Au final elles ont dépensé exactement la même somme. Combien coûte un pull? Conclusion : Un pull coûte 15. Résoudre une équation à une inconnue 4

6 2.2 Cas général Résoudre l équation : 5x + 6 = 13 2 x Méthode : Etape 1 : On rassemble tous les termes «en x» dans un membre de l équation 5x x = 13 2 x + 2 x 7x + 6 = 13 Etape 2 : On rassemble tous les termes «constants» dans un membre de l équation 7x = x = 7 Etape 3 : On obtient la valeur de x : 7 x = x = 1 Etape 4 : On conclut : La solution de l équation est Autre exemple 9 x (2 x 5) = 8 + 4(x 3) * On commence par développer et réduire chaque membre : 7 x + 5 = 4x 4 Puis on applique la méthode précédente : 7 x = 4x x = 4x 9 7 x 4 x = 4x 9 4 x Résoudre une équation à une inconnue 5

7 3 x = 9 3x = x = 3 La solution de l équation est 3. 3 Application à la résolution de problèmes Trois personnes se partagent la somme de 316. On veut trouver la part de chacune sachant que la seconde a 32 de plus que la première et que la troisième a 15 de plus que la seconde. Méthode : Etape 1 : Choix de l inconnue Soit x la part de la première personne. Etape 2 : Mise en équation Part de la première personne : x Part de la deuxième personne : x + 32 Part de la troisième personne : x = x + 47 On obtient l équation suivante : x + x x + 47 = 316 Etape 3 : Résolution x + x x + 47 = x + 79 = x = x = 237 x = x = 79 Etape 4 : Conclusion Application à la résolution de problèmes La première personne aura 79, la seconde aura 11 et la troisième aura

8 Etape 1 : Choix de l inconnue Soit x le nombre d années dans lequel l âge du père de Mickaël sera le double de celui de Mickaël. Etape 2 : Mise en équation Age de Mickaël dans x années : x + 18 Double de l âge de Mickaël dans x années : 2(x + 18) Age du père de Mickaël dans x années : x + 46 On obtient l équation suivante : 2(x + 18) = x + 46 Etape 3 : Résolution 2x + 36 = x x x = x = 10 Etape 4 : Conclusion Dans 10 ans, l âge de Mickaël sera la moitié de celui de son père. Application à la résolution de problèmes 7

9 Compétences Ce que je dois connaître : Les règles de priorités opératoires ; La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction étudiée en cinquième ; Les règles de calcul vues dans le chapitre «Calcul littéral» (réduire/développer / factoriser) ; Ce que je dois savoir faire : Tester une égalité ; Réduire une expression ; Factoriser une expression en faisant apparaître un facteur commun ; Développer une expression ; Calculer la valeur d une expression littérale en choisissant la forme la plus adaptée ; Résoudre une équation du premier degré à une inconnue ; Traduire un énoncé dont certaines données sont inconnues ; Résoudre des problèmes menant à une équation du premier degré à une inconnue ; Compétences 8