Année LICENCE. STE232 - Gravimétrie, Géodésie et Géothermie TRAVAUX DIRIGES

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1 Année LICENCE STE232 - Gravimétrie, Géodésie et Géothermie TRAVAUX DIRIGES

2 Travaux dirigés de géodésie 1 Mesure du rayon de la Terre par Eratosthène Eratosthène estima la longueur du rayon terrestre à partir d observations dans les villes de Syène (aujourd hui appelé Assouan) et Alexandrie (située plus au Nord) en Egypte, à l heure de midi, le jour du solstice d été. Il observa que le soleil ne formait aucune ombre au fond d un puits à Syène (rayons du soleil à la vertical) tandis qu une obélisque à Alexandrie formait une ombre (voir figure 1). Eratosthène supposa d une part que Syène et Alexandrie appartiennent au même méridien et d autre part que le soleil est suffisamment éloigné pour que les rayons solaires atteignant Syène et Alexandrie soient parallèles. A l aide de la longueur de l ombre formée par l obélisque, il estima que l inclinaison des rayons solaires avec la verticale à Alexandrie est égale à 7.2. Il évalua par ailleurs la distance entre Alexandrie et Syène (AS), sachant que celle-ci était parcourue par une caravane de chameaux en 50 jours qui parcourait environ 100 longueurs de stade par jours. Retrouvez son estimation du rayon terrestre en vous aidant de la figure 1 et sachant que la longueur d un stade est d environ m. Figure 1 Estimation de la longueur du rayon terrestre à partir d observation à Syène et Alexandrie par Eratosthène 2/37

3 2 Chiffres significatifs Vous souhaitez donner à un ami minéralogiste équipé d un GPS les coordonnées géographiques d un filon orifère bien caché de quelques décimètres de large que vous avez trouvé par hasard lors d une balade dans le massif de Belledonne. Le plus simple est de lui donner la latitude et la longitude du lieu au format degrés décimal. De combien de chiffres significatifs avez vous besoin? 3 Paramètres de l ellipsoïde L applatissement f est défini par : f = a b a La première excentricité e est définie par : a e = 2 b 2 Remplir les cases vide du tableau suivant : nom de l ellipsoïde a b 1/f e Clarke Airy ED a 2 3/37

4 4 Calcul de géodésiques sur la sphère Une géodésique à la surface d une sphère correspond au chemin le plus court entre deux points. On assimile la Terre à une sphère de rayon R= 6400 km. Les formules de trigonométrie sphérique sont données en annexe. Problème direct : Soit U un point sur la sphère de coordonnées géographiques { ϕ U = 30 U λ U = 10 On donne l azimut et la distance D UV sur la sphère de P vers le point V : Calculer les coordonnées géographiques de V. Az UV = 150 grades et D UV = 40 km Problème inverse Soient U et V deux points de coordonnées géographiques : U { ϕ U = 30 λ U = 10 V { ϕ V = 45 λ V = 30 Calculer la distance D UV sur la sphère et les azimuts Az UV et Az UV 4/37

5 5 Passage des coordonnées géographiques aux coordonnées cartésiennes. Soit M un point quelconque de l espace de coordonnées cartésiennes (x, y, z) et de coordonnées géographiques (λ, ϕ, h) et M 0 le point correspondant à sa projection normale sur l ellipsoïde de coordonnées cartésiennes (x, y, z ) et de coordonnées géographiques (λ, ϕ, 0). (voir figure 2). On cherche à exprimer (x, y, z) en fonction de (λ, ϕ, h) et des paramètres de l ellipsoïde. Figure 2 coordonnées géographiques du point M On rappelle qu il existe plusieurs types de latitude : la ϕ latitude géographique, ω latitude géocentrique, et ψ latitude paramétrique (voir figure 3), et que puisque M 0 est la projection normale sur l ellipsoïde, alors M 0 M = h n, avec h la hauteur de M au dessus de l ellipsoïde et n la normale à l ellipsoïde au point M 0 pouvant s exprimer ainsi dans le repère cartésien : cos λ cos ϕ n sin λ cos ϕ sin ϕ 1) Sachant que le passage de la sphère à l ellipsoïde aplatti aux pôles (figure 3), correspond mathématiquement à une affinité d axe OZ et de rapport k = b/a, (c est à dire que z ellipsoide = b a z sphère ), Vérifiez que l on a bien M 0 x = y = z = a cos λ cos ψ a sin λ cos ψ b sin ψ 5/37

6 Figure 3 Les différents types de latitudes Puis, sachant que { cos ϕ = sin ϕ = w cos ψ a b w sin ψ avec a et b le petit et grand axe de l ellipsoïde et w = 1 e 2 sin 2 ϕ où e est l excentricité. x = Montrez que M 0 y = z = N cos λ cos ϕ N sin λ cos ϕ N(1 e 2 ) sin ϕ avec N = a/w 2) Pour finir, en vous aidant de la relation M 0 M = h n exprimez la formule de transformation donnant (x, y, z) en fonction de (λ, ϕ, h) et de N et e. Notez que N correspond en fait au rayon de courbure principale dans la direction du parallèle. N est la distance entre M et I suivant les notations de la figure 3. 6/37

7 6 Sommet du Monde Le point dont l altitude est la plus grande à la surface de la Terre est le mont EVEREST (8848 m) dans l Himalaya. Cependant, la très sérieuse Revue de Géographie de la république d Equateur (Amérique du Sud) revendique pour le CHIMBORAZO (6267 m), dans la Cordilière des Andes, le record de distance au centre de la Terre. Justifier cette revendication en utilisant comme modèle ellipsoïdique de la Terre l ellipsoïde WGS84 défini par : a= m et 1 f = Les coordonnées géographiques des deux lieux sont données dans le tableau ci-dessous : Longitude Latitude EVEREST CHIMBORAZO Une grille de hauteur du géoïde par hauteur à l ellipsoïde vous est donnée en annexe. 7/37

8 Licence Géophysique 8/ / 2012

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10 Travaux dirigés de gravimétrie 1 Rappels et petits calculs L objectif de ce TD est de faire des révisions de géométrie et de mécanique à l aide d expériences historiques effectuées par Kepler et Galilée ayant permis d évaluer la masse de la Terre et l accélération de la pesanteur à la surface de la Terre. 1.1 Loi de Kepler et masse de la Terre 1. On considère un satellite de masse m orbitant autour d une planète de masse M avec, pour simplifier, une orbite circulaire de rayon r. Comment s écrit la force de gravitation F exercée par la planète sur le satellite? On pourra faire un petit schéma. 2. Kepler a observé que le carré de la période de rotation T d un satellite autour d une planète est proportionnel au cube du rayon de l orbite. Montrer que la constante de proportionnalité est 4π 2 / (GM) (avec G la constante de gravitation universelle G = Nm 2 kg 2 ). Pour cela, on appliquera le principe fondamental de la dynamique au satellite. Rappel : l accélération d un point en mouvement circulaire uniforme à la vitesse angulaire ω et avec un rayon r est centripète (orientée vers le centre) et égale à rω On observe que la Lune tourne autour de la Terre en 28 jours et que la distance Terre- Lune est de km. A partir de ces observations, en déduire la masse de la Terre. 4. A quelle altitude orbite un satellite géostationnaire, c est à dire un satellite qui reste à la verticale du même point à la surface de la Terre (en rotation sur elle-même)? 1.2 Chute libre et mesure de la gravité par Galilée 1. Un objet effectue une chute libre sur une hauteur h. Exprimez le temps de chute τ en fonction de la gravité g. 2. On prête à Galilée la réalisation de la mesure de la gravité en lâchant des objets depuis la tour de Pise. En pratique, il aurait plutôt travaillé sur un plan incliné d un angle α, en lâchant une bille d une hauteur h. Exprimez de nouveau le temps de chute en fonction de la gravité. Quelle serait l erreur commise sur g en fonction de α si on applique la formule précédemment obtenue pour la chute libre? 3. La pertinence de cette expérience va au delà de la mesure de la gravité. En effet, en plaçant un autre plan P incliné d un angle α en regard du précédent, Galilée observa que quel que soit α, la bille parcourait une distance sur P telle que la hauteur atteinte soit égale à h. Ceci le conduisit à faire une des premières expériences de pensée (en faisant tendre α vers 0) et à énoncer le principe d inertie. Expliquer. 10/37

11 2 Champ de gravité de la Terre sphérique L objectif de ce TD est d appliquer le théorème de Gauss à la Terre pour en déduire les champs de gravité et de pression de la Terre. 2.1 Champ de gravité de la Terre On suppose tout d abord que la Terre est parfaitement sphérique de rayon R T avec une masse M T uniformément distribuée en volume (Terre homogène) et une masse volumique ρ (en kg/m 3 ). 1. Quelle est la direction du champ de gravité g en un point M situé à une distance r du centre de la Terre? De quelle(s) variable(s) dépend le champ g lorsqu on choisit un système de coordonnées sphériques? 2. Calculer l expression du champ de gravité g à l extérieur et à l intérieur de la Terre en utilisant le théorème de Gauss. Il sera utile d exprimer g à l extérieur de la Terre en fonction de la masse totale de la Terre. Représenter qualitativement la fonction g en fonction du rayon r. On suppose maintenant que la Terre est constituée de deux enveloppes homogènes : un manteau de densité ρ M et un noyau de rayon R N et de densité ρ N. 3. A partir des grandeurs fournies à la fin de l énoncé, calculer la densité moyenne du noyau ρ N et du manteau ρ M. 4. Exprimer l accélération de la gravité g dans le manteau et dans le noyau. Rappel : théorème de Gauss Le flux du champ de gravité g à travers la surface fermée Σ est égale à la somme des masses intérieures à Σ multipliée par le facteur 4πG : ( ds ) g ds = 4πGMint sortant Σ 2.2 Champ de pression à l intérieur de la Terre On suppose que la Terre est en équilibre hydrostatique à l échelle des temps géologiques. C està-dire que la pression est la même que si la Terre était un fluide. La pression P varie avec la distance r au centre de la Terre telle que : dp = ρ(r)g(r)dr 1. Exprimer la pression P (r) en fonction de la distance r au centre de la Terre en intégrant l équation ci-dessus pour une Terre homogène. Déduisez-en une estimation de la pression au centre de la Terre. 2. En considérant un modèle à deux couches, exprimer la pression P (r) dans le manteau puis dans le noyau en intégrant l équation ci-dessus. Déduisez-en une estimation de la pression à la limite noyau-manteau et au centre de la Terre. 11/37

12 2.3 Comparaison avec le modèle PREM L étude de la vitesse des ondes sismiques à l intérieur de la Terre permet de connaître plus précisément les variations de la densité avec la profondeur. Le profil de densité (figure 4b) fourni par le modèle PREM (Primary Reference Earth Model, modèle à symétrie radiale) permet d évaluer plus précisément le profil de gravité et de pression avec la distance r au centre de la Terre (figure 4a). Comparez vos profils de gravité et de pression évalués en supposant une Terre homogène et un modèle à deux couches avec les profils obtenus à l aide du modèle PREM (figure 4a). a) Accélération de la gravité (cm/s 2 ) Pression (kbar) b) 15 Densité (g/cm 3 ) 10 5 Manteau Sup. Z. Transition Manteau Inf. Noyau liquide Graine Distance au centre de la Terre r (km) Figure 4 (a) Profils de gravité (ligne continue) et de pression (tirets). (b) Profil de densité d après le modèle PREM. D après Dziewonski et Anderson (1981). Grandeurs utiles Constante de gravitation universelle : G = Nm 2 kg 2 Masse de la Terre : M T = kg Rayon de la Terre : R T = 6370 km Masse du noyau : M N = kg Rayon du noyau : R N = 3470 km 12/37

13 3 Moment d inertie L objectif de ce TD est de comprendre comment l étude du moment d inertie des planètes permet d en déduire des informations sur la structure interne de celles-ci. Le moment d inertie C d un corps (occupant un volume V de forme quelconque) par rapport à un axe s écrit : C = s 2 dm où s est la distance à l axe. 3.1 Moment d inertie d une porte V Calculer le moment d inertie d une porte de masse M, hauteur h, largeur l et épaisseur e par rapport à l axe de ses gonds. 3.2 Moment d inertie des planètes 1. Exprimer le moment d inertie C d une planète homogène par rapport à un axe passant par son centre en fonction de sa masse M, de son rayon a et d un coefficient α. 2. Comparer la valeur théorique de ce coefficient α avec les valeurs réelles obtenues pour différents objets du système solaire (table 1). Que pouvez-vous en conclure? Corps Masse (kg) Diamètre (km) α Mercure Vénus Terre Lune Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Table 1 Masse, diamètre et coefficient α d objets du système solaire. 3. On considère une planète à deux couches (un noyau et un manteau). Montrer que le moment d inertie C et la masse M de cette planète sont donnés par : C = 8π [ ρn R 5 ( N + ρ M a 5 R 5 15 N)] M = 4π 3 [ ρn R 3 N + ρ M ( a 3 R 3 N)] où ρ N et r N sont la densité et le rayon du noyau, ρ M la densité du manteau et a le rayon de la planète. 13/37

14 4. Simplifier les expressions ci-dessus en posant : R N = x a et ρ N = y ρ M et exprimer le moment d inertie C en fonction de la masse totale M, du rayon a et d un nouveau coefficient α dépendant de x et y. 5. Les masses volumiques moyennes du manteau et du noyau de la Terre ainsi que le rayon du noyau terrestre sont estimés à l aide de la sismologie : R N = 3470 km, ρ N = kg m 3, ρ M = 4300 kg m 3 Déterminer le coefficient α de la Terre. Expliquer la différence entre cette valeur théorique et la valeur pratique dans la table On souhaite déterminer le rayon du noyau de fer de la planète Mars. La figure 5 représente le coefficient α en fonction de x pour différentes valeurs réalistes de y. Quelles sont les solutions acceptables pour le rayon du noyau de Mars? α y=2.0 y=2.2 y=2.4 y=2.6 y= x Figure 5 Evolution du coefficient α en fonction de x pour différentes valeurs de y. 14/37

15 4 La forme de la Terre L objectif de ce TD est de comprendre comment est définie la forme de la Terre et quels sont les paramètres qui l influencent. 4.1 Gradient et surfaces isovaleurs (équipotentielles) Montrer que le gradient d un champ scalaire T est perpendiculaire aux surfaces isovaleurs de T. Rappel : ces surfaces sont appelées surfaces équipotentielles dans le cas où T est un potentiel. 4.2 Potentiel gravitationnel créé par des planètes 1. Donner l expression du potentiel gravitationnel V créé par une masse m. 2. Dessiner quelques surfaces équipotentielles pour la planète sphérique sur la figure 6. Justifier votre dessin. 3. Exprimer l accélération de la gravité g en fonction du potentiel V. 4. Représenter g au point E sur la figure 6. Comment g est-il orienté par rapport aux surface équipotentielles. E ts O Figure 6 Cas d une planète sphérique. 5. Soient maintenant deux planètes P 1 et P 2 de masses respectives M 1 et M 2. La figure 7 représente les lignes équipotentielles (intersections des surfaces équipotentielles avec le plan de votre feuille) du potentiel gravitationnel dû à P 1 et P 2. Chaque ligne correspond à une valeur donnée du potentiel (unité arbitraire). La variation du potentiel est constante en passant d une ligne à l autre, dans les trois cas a, b et c. Le seul paramètre variant entre ces trois cas est la masse M 2 de la planète P 2. Quel cas correspond à M 2 > M 1? A M 1 > M 2? Justifier vos réponses. 6. Représenter le plus précisément possible l accélération de la gravité au point F de la figure 7. 15/37

16 a b F P 1 P 2 P 1 P 2 c P 1 P 2 Figure 7 Cas de deux planètes P 1 et P 2 de masses respectives M 1 et M Accélération et potentiel centrifuge Admettons l expression de l accélération centrifuge g ω subie par une masse repérée par sa position r par rapport au centre de la Terre : g ω = ω ( ω r) (1) où ω est la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même et est le symbole du produit vectoriel. 1. Nous allons travailler dans le système de coordonnées sphériques, en notant ( e r, e θ, e φ ) les vecteurs de la base. Exprimer les trois composantes de g ω sur cette base. 2. De quel potentiel dérive cette accélération? 3. Du fait de la force centrifuge, la forme de la Terre est proche d un ellipsoïde. Calculez le rapport g ω /g à l équateur et déduisez en une valeur approchée de l aplatissement de la Terre. On donne le rayon de la Terre : R T = 6370 km. Rappel : En coordonnées sphériques, 4.4 Le géoïde T T = gradt = r e r + 1 T r θ e θ + 1 T r sin θ φ e φ (2) 1. Quelles méthodes satellitaires permettent de connaître les ondulations du géoïde représentées sur les figures 8 et 9? 2. On s intéresse tout d abord aux ondulations du géoïde de grande longueur d onde visibles sur la figure 8. Situer les maxima et minima du géoïde. Comparer leur localisation avec la répartition des points chauds et les cartes de tomographie sismiques représentées figure 10. Proposer une hypothèse pour l origine de ces ondulations de grande longueur d onde. 3. Quelle est l origine des ondulations du géoïde de courte longueur d onde visibles sur la figure 9? 16/37

17 Licence Géophysique 2011 / 2012 Figure 8 Ondulations du géoide représentées avec une exagération de :1 (à gauche) et courbes isovaleurs (à droite, source : http :// 80 N 180 E 120 W 40 W 40 E 120 E 80 N N 40 N S 40 W S 180 E 120 W 40 W 40 E 120 E 80 S mètres Figure 9 Carte de haute résolution des ondulations de la surface moyenne des océans par rapport à un ellipsoide de référence, réalisée à partir de 10 ans de mesures altimétriques des satellites GEOSAT, ERS-1 et TOPEX/POSEIDON. Source : http :// 17/37

18 Licence Géophysique 2011 / 2012 Figure 10 Cartes des anomalies de vitesse (en %) des ondes de cisaillement à 100 km (d après Debayle et al., 2005) et à 2850 km de profondeur (d après Ritsema et al., 1999). Les cercles correspondent aux volcans associés à des points chauds. Source : http ://planetterre.ens-lyon.fr/ 18/37

19 5 Corrections gravimétriques et anomalies gravimétriques L objectif de ce TD est de redémontrer l expression des différentes corrections gravimétriques et de voir quels sont les effets de ces corrections sur les données. 5.1 Corrections gravimétriques Nous allons ici calculer les corrections à apporter à une mesure gravimétrique effectuée au point P d altitude h (voir figure 11). De manière à pouvoir comparer cette mesure à la valeur théorique de la pesanteur au point P 0 sur l ellipsoïde de référence (situé directement à l aplomb du point P ), on effectue plusieurs corrections dont la correction à l air libre (ou correction d altitude) et la correction de plateau. On supposera par ailleurs que la hauteur h est petite devant le rayon de la Terre R 0. topographie P h z 1 z s 1 s ds dz ds dz z 2 P 0 z s 2 ellipsoïde de référence sdθ Figure 11 Calcul de la correction à l air libre et de plateau pour un point P situé à une altitude h au dessus de l ellipsoïde de référence. On néglige dans un premier temps, la masse des roches comprises entre les points P et P 0. Soit r la distance au centre de la Terre. 1. Exprimez g (r = R 0 + h) (la gravité au point P ) en fonction de g (r = R 0 ) (la gravité au point P 0 ), R 0 et h, en effectuant un développement de Taylor à l ordre Déduisez-en l expression et la valeur en mgal/m de la correction à l air libre. On souhaite maintenant calculer l effet gravimétrique d un plateau d extension horizontale infinie et dont la base se situe au point P 0 et le sommet au point P. Pour celà, on se place dans un référentiel cylindrique ( e s, e θ, e z ) dont l origine est le point P. 3. Calculez tout d abord l accélération de la gravité d g et sa composante verticale dg z produites au point P par un petit élément de volume de dimensions ds dz sdθ et de densité ρ. 4. Intégrez ensuite cette expression pour obtenir l expression de g z dû à un volume de roche situé entre s = s 1 et s = s 2, entre θ = θ 1 et θ = θ 2 et entre z = z 1 et z = z 2. 19/37

20 5. Déduisez en g z produit par le plateau infini situé entre P et P Calculez la valeur de la correction de plateau en mgal/m pour une masse volumique ρ = 2670kg/m 3. Rappels 100 Gal = 1 m s 2 Constante de gravitation universelle : G = Nm 2 kg Les anomalies de gravité en France Les figures 12c-f présentent différentes cartes obtenues à l aide des mesures de l accélération de la pesanteur effectuées en France métropolitaine. L observation de ces cartes va nous permettre de revoir les principes des différentes corrections apportées aux mesures gravimétriques et l origine des variations spatiales de l accélération de la pesanteur. 1. Pourquoi est-il important de consulter la figure 12b lorsque l on s intéresse aux anomalies de gravité dans une région de France? Qu en déduisez-vous pour les zones représentées en bleu foncé? 2. Indiquer les structures majeures que vous observez dans les mesures de l accélération de la pesanteur représentées sur la figure 12c et l origine de ces variations. Indiquer comment varie la pesanteur avec la latitude. 3. Rappeler le principe de la correction à l air libre. Quelles différences constatez-vous entre la figure 12c et 12d. Comment varie l anomalie à l air libre avec l altitude? 4. Rappeler le principe de la correction de Bouguer. Localiser les structures majeures observées sur la carte des anomalies de Bouguer (figure 12e) et expliquer leur origine. 5. Quelles sont les structures mises en évidence dans la carte du gradient vertical des anomalies de Bouguer (figure 12f)? 20/37

21 Licence Géophysique (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2011 / 2012 Figure 12 (a) Relief de la France. (b) Densité moyenne de stations gravimétriques par km2. (c) Accélération de la pesanteur en mgal (ou 10 5 m/s2 ) à laquelle on a retranché la valeur constante de mgal. (d) Anomalie à l air libre en mgal. (e) Anomalie de Bouguer en mgal. (f) Gradient vertical de l anomalie de Bouguer en mgal/m. Source : http ://sigminesfrance.brgm.fr/ et GeoFrance 3D (2000). 21/37

22 6 Interprétation des anomalies gravimétriques L objectif de ce TD est de calculer l anomalie de gravité produite par un objet de géométrie simple et d utiliser ce modèle simple pour interpréter un levé gravimétrique. 6.1 Anomalie gravimétrique créée par une sphère Nous souhaitons ici calculer l anomalie gravimétrique induite par la présence, en profondeur, d une boule de densité différente de celle des roches encaissantes (figure 13). On appellera ρ 0 la masse volumique de ces roches, et ρ 0 + ρ celle de la boule ; le signe de ρ est arbitraire. Le centre B de la boule de rayon a se trouve à une profondeur h de la surface de la Terre. On note g 0 le champ de pesanteur de référence, loin de l anomalie. Cette pesanteur est verticale, et pointe vers le bas. Le champ total de gravité peut être vu comme la superposition de ce champ de référence avec le champ de gravité g créé par une boule de masse volumique ρ. z M (x, z) g 0 g 0 ρ 0 O ρ 0 x ρ 0 h ρ 0 ρ 0 a B ρ 0 + ρ ρ 0 Figure 13 Sphère de masse volumique ρ 0 + ρ enfouie à une profondeur h dans des roches encaissantes de masse volumique ρ Justifier cette dernière assertion. 2. Nous allons travailler dans le plan y = 0. Exprimer g au point M, en fonction de ρ, a, MB, MB, et G. 3. Calculer g z (x, z), la projection de g selon la verticale z (c est cette anomalie qu on va mesurer en pratique). Cette expression doit faire apparaître explicitement x, z et h. 4. Représenter g z (x) pour z = 0. Préciser la distance x 1/2 pour laquelle : g z (x = x 1/2 ) = 1 2 g z(x = 0) (3) 6.2 Un exemple de campagne gravimétrique Les données présentées ici correspondent aux mesures obtenues le long d un profil lors d un stage de terrain à Garchy. L objectif de ces mesures étaient de localiser et d évaluer le volume d un objet enfoui dans le sol. Ces mesures ont été effectuées à l aide d un gravimètre contenant un ressort en silice soutenant une petite masse. Ce gravimètre est dit "relatif", c est-à-dire que celui-ci permet de 22/37

23 mesurer la différence de gravité entre deux points de façon très précise, cependant celui-ci ne permet pas de connaître la valeur absolue de la gravité en un point. Ceci est dû au fait que cet instrument présente une dérive instrumentale due à des variations de la raideur du ressort avec la température, lors des déplacements de l instrument ou simplement au cours du temps. Avant d interpréter les données relevées, il faut donc tenir compte de la dérive instrumentale du gravimètre. Les données du tableau 2 (g mes ) ont été déjà corrigées de la dérive instrumentale. Ces données sont exprimées en Gal (pour Galileo) qui est une unité héritée du système C.G.S. La conversion en m s 2 (du système M.K.S.A.) se fait selon : 100 Gal = 1 m s 2. Au premier ordre, le champ de gravité dans lequel nous baignons a donc une amplitude de 980 Gal. Pour cette campagne de mesure, la gravité de référence (mesurée loin de la structure enfouie dans le sol) est g ref = mgal. Je vous demande de : 1. Calculer la correction à l air libre g al pour chaque mesure. 2. Calculer l anomalie à l air libre g al. 3. Calculer la correction de Bouguer simple g b pour trois masses volumiques différentes : ρ 1 = 1000 kg/m 3, ρ 2 = 2000 kg/m 3 et ρ 3 = 2700 kg/m Calculer l anomalie de Bouguer correspondante g b. Vous remplirez au fur et à mesure le tableau 2 (en utilisant un tableur si vous le souhaitez). Identifiez les différentes anomalies parmi les courbes dans la figure 14. mgal position (m) Figure 14 Anomalies à l air libre et de Bouguer le long d un profil gravimétrique à Garchy. Décrire les anomalies que vous obtenez, et proposer une interprétation de la structure du sous-sol basée sur ces résultats. 23/37

24 Position h gmes gal gal gb(ρ1) gb(ρ1) gb(ρ2) gb(ρ2) gb(ρ3) gb(ρ3) (m) (m) (mgal) (mgal) (mgal) (mgal) (mgal) (mgal) (mgal) (mgal) (mgal) Table 2 24/37

25 7 Isostasie L objectif de ce TD est d appliquer le principe d isostasie dans différents contextes géologiques. 7.1 Iceberg B-15 en Antarctique Le 17 mars 2000, un grand iceberg appelé B-15 s est détaché de Ross Ice Shelf en Antartique, près de Roosevelt Island. Il s est formé à partir de la glace s écoulant du continent Antartique vers la mer et s est dissocié le long de fractures préexistantes dans l Ice Shelf de Ross. Cet iceberg représente un des plus gros observés. Il est long d à peu près 295 km et large de 37 km. La surface de l iceberg est estimé à km 2, ce qui est à peu près de la taille de trois départements français. La hauteur de l iceberg au dessus du niveau de la mer est d environ 30 m. 1. La densité d un corps à l état solide est-elle généralement supérieure ou inférieure à celle du même corps à l état liquide? Expliquer pourquoi un iceberg flotte sur la mer. 2. En supposant l iceberg de forme rectangulaire, et en utilisant le principe d Archimède, calculer l épaisseur de l iceberg sachant que la densité de l iceberg est de 920 kg m 3 et la densité de l eau est de 1028 kg m Calculer le pourcentage de l épaisseur située sous le niveau de la mer ainsi que le volume de l iceberg sous le niveau de la mer. 4. Que se passe-t-il si une épaisseur de glace de 5 m fond (on suppose que la surface de l iceberg ne change pas). 5. L iceberg fond approximativement à un taux k = 3.76 km 3 par mois. En supposant que ce taux reste constant, quel sera le volume de l iceberg au bout d un an? Calculer la nouvelle hauteur de l iceberg submergé et le volume émergé au bout d un an (à surface constante). Combien de temps faudra-t-il pour que l iceberg fonde jusqu à atteindre la moitié de son volume original? 25/37

26 7.2 Altitude moyenne des continents On considère dans cet exercice une croûte continentale accolée à une croûte océanique. On considère la structure suivante pour la croûte continentale : de l altitude h à la profondeur 20 km : ρ = 2750kg m 3 de 20 à 35 km : ρ = 2950kg m 3 au delà de 35 km : ρ = 3310kg m 3 On considère la structure suivante pour la croûte océanique : de 0 à 4 km : ρ = 1000kg m 3 de 4 à 5 km : ρ = 1500kg m 3 de 5 à 11 km : ρ = 2850kg m 3 de 11 à 35 km : ρ = 3310kg m 3 1. Qu est ce que la profondeur de compensation? A quelle profondeur minimum se trouvet-elle dans la cas présent? 2. A quel type de roche correspond chaque couche? 3. Dans le cas d un système à l équilibre hydrostatique, quelle serait l altitude moyenne h des continents? Pour répondre à cette question, un schéma est vivement recommandé. 7.3 Equilibre isostatique d une structure géologique La croûte a une épaisseur de 30 km dans une région où l altitude est nulle. A quelques distances se trouve un grand plateau d altitude moyenne 1000 m. 1. En admettant que la croûte est homogène de masse volumique 2.8 g/cm 3, alors que le manteau a une masse volumique de 3.3 g/cm 3, calculez quelle devraît être l épaisseur de la croûte sous le plateau dans une hypothèse de compensation isostatique. 2. On dispose d une donnée gravimétrique fiable au niveau du plateau. A partir d une mesure en puit sur le géoïde, on a calculé directement la différence entre cette valeur mesurée et la valeur théorique. La différence obtenue est de -218 mgal. Calculez l anomalie de Bouguer. 3. Qu est-ce que l anomalie isostatique? Quelle information nous apporterait-elle? 4. On veut prendre en compte l existance au niveau du plateau d une couche de sédiments de 500 m d épaisseur en moyenne et dont la densité est seulement de 2.4. Refaites le calcul de l épaisseur de la croûte sous les mêmes hypothèses qu en 1, mais en considérant l existance de sédiments. 5. Calculez l anomalie de Bouguer en considérant la présence de sédiments. Rappels : G = unotés S.I. (G = unotés c.g.s.) et 1 Gal = 1 cm/s 2. 26/37

27 1 Bilans thermiques Travaux dirigés de géothermie 1.1 Flux de chaleur et radioactivité Des mesures du flux de chaleur à la surface des différentes régions continentales et océaniques de la Terre aboutissent aux valeurs compilées dans le tableau 3. Continents Flux de chaleur [mw/m 2 ] Océans Flux de chaleur [mw/m 2 ] Afrique 49.8 Atlantique Nord 67.4 Amérique du Sud 52.7 Atlantique Sud 59.0 Amérique du Nord 54.4 Océan Indien 83.3 Australie 63.6 Pacifique Nord 95.4 Eurasie 60.2 Pacifique Sud 77.4 Bassins marginaux 71.1 Moyenne continents 56.1 Moyenne océans 75.6 Table 3 Flux de chaleur mesurés à la surface de la Terre 1. Qu est-ce que le flux de chaleur? Comment le mesure-t-on? 2. A partir des valeurs du tableau 3, calculez la puissance dégagée par les continents et les océans, en sachant que la surface des continents correspond à 2/5 de la surface de la Terre. Déduisez-en la puissance totale dissipée à la surface de la Terre. Pour expliquer ces valeurs, nous considérons maintenant les sources internes de chaleur. En particulier, nous nous intéressons à la désintégration des isotopes radioactifs dans la croûte et le manteau. Croûte continentale Croûte océanique Manteau Uranium W/kg W/kg W/kg Thorium W/kg W/kg W/kg Potassium W/kg W/kg W/kg Masse volumique 2700 kg/m kg/m kg/m 3 Epaisseur moyenne 30 km 10 km 2900 km Table 4 Puissances par unité de masse produites par la désintégration des différents isotopes dans la croûte continentale, la croûte océanique et le manteau ; masse volumique et épaisseur moyenne de chaque couche. 3. Comment a-t-on pu estimer les valeurs données dans le tableau 4? 4. Calculez les puissances produites dans chacune des couches et commentez les résultats (en particulier en regard des mesures de flux de chaleur). 5. Calculez la puissance totale produite par la radioactivité. Comparez cette valeur et la puissance dissipée à la surface de la Terre (question 2). Qu en concluez-vous? 27/37

28 1.2 Cristallisation de la graine Une autre source possible de chaleur interne à la Terre sont les changements d état (et de phase). Un changement d état se produit dans le noyau. Celui-ci se refroidit et cristallise formant ainsi la graine solide. Nous allons estimer la puissance dégagée par cette cristallisation. On suppose que la masse M de la graine augmente de façon constante au cours du temps. Son rayon actuel est de 1220 km et sa masse volumique de kg/m 3. On peut raisonnablement lui donner l âge de 3 Ga. 1. Donnez le taux de croissance massique dm/dt de la graine. 2. En prenant une chaleur latente L de cristallisation égale à J/kg, calculez la puissance totale dégagée par la cristallisation de la graine. 1.3 Refroidissement séculaire Les sources de chaleur autres que la radioactivité contribuent faiblement au bilan total. La différence entre la puissance produite et la puissance dégagée indique donc que la Terre se refroidit. 1. En supposant que la puissance de refroidissement de la Terre est la différence entre la puissance produite par la radioactivité et celle dégagée à la surface (question 5 de l exercice 1) et que cette puissance a été constante tout au long de son histoire, calculez la baisse de température subie par la Terre. On prendra une capacité calorifique moyenne C = 1 kj kg 1 K La Terre se refroidissant, elle change de volume. Son rayon augmente-t-il ou diminuet-il? Calculez la variation du rayon induite par une baisse de température de 1 K. On prendra un coefficient de dilatation thermique moyen α = K 1. Rappel : L âge de la Terre est de 4.5 Ga et sa masse de kg. 1.4 Température moyenne à la surface On peut estimer la température moyenne à la surface de la Terre causée par le rayonnement solaire à l aide d un bilan énergétique simple. Pour cela, on utilise la loi de Stéfan E = σt 4, où E est la puissance émise par unité de surface, σ = Wm 2 K 4 la constante de Stéfan, et T la température. 1. La température à la surface du Soleil est de 5800 K. Calculez la puissance émise par unité de surface. 2. En vous aidant de la figure 1, déterminez la constante solaire, c est-à-dire la puissance reçue par unité de surface par une surface perpendiculaire aux rayons du soleil au sommet de l atmosphère terrestre. On rappelle que le rayon du Soleil est r S = km et que la distance Terre-Soleil est d = km. 3. Connaissant la constante solaire et l albédo α = 0.3 (c est-à-dire le pouvoir réflecteur) de la Terre, calculez la puissance absorbée par la Terre par unité de surface.vous vous aiderez pour cela de la figure 2. Comparez votre résultat au flux de chaleur d origine interne (exercice 1). 28/37

29 4. Déduisez-en la température moyenne de la Terre. Comment expliquer la différence avec la température moyenne mesurée (13 o C)? Soleil d Terre r s Figure 1 La puissance émise par le soleil se répartie sur une sphère de rayon d. Energie solaire r T r T Terre Figure 2 L énergie solaire reçue au sein du disque de rayon r T (rayon de la Terre) se répartit sur toute la surface de la Terre. 29/37

30 2 Conduction thermique 2.1 Loi de Fourier et chauffage domestique Vous habitez au premier étage d une maison de surface 10 m 10 m. La pièce est haute de 2.5 m. Il fait 0 o dehors et 20 o chez vous, chez vos voisins du dessus et du dessous. Les murs de 30 cm d épaisseur sont faits dans un matériau de conductivité thermique k = 2 Wm 1 K Faites un schéma du problème et dessinez-y le vecteur flux de chaleur. 2. Quelle puissance calorifique doit débiter votre poêle? 2.2 Mesure de la conductivité thermique d une roche Cette mesure s effectue selon le principe détaillé sur la figure 3. Des thermcouples permettent de mesurer les températures T c et T f (imposées grâce à des courants d eau), ainsi que les températures T 1 et T 2 à l extrémité des couches de métal au contact de l échantillon. Les contacts entre la roche et le métal (via une couche d air par exemple) mettent en jeu une résistance au flux de chaleur inconnue sur des des épaisseurs δ 1 et δ Que peut-on dire du flux de chaleur le long du dispositif expérimental? 2. Etablissez la relation suivante T 2 T 1 = k ld T c T 2 k r l + k ( l δ2 + δ ) 1 l k 2 k 1 3. Déduisez-en comment déterminer k r expérimentalement en s affranchissant des indéterminations dues aux contacts. Figure 3 Schéma du dispositif de mesure de la conductivité thermique d un échantillon. 30/37

31 3 Géothermes 3.1 Température et flux de chaleur à la base de la croûte Lors d un forage profond de 250 m effectué dans un socle granitique ancien, on constate qu entre z 1 = 50 m et z 2 = 250 m le gradient de température est quasi-constant. On mesure les températures suivantes : T (z 1 ) = 11 o C et T (z 2 ) = 16 o C. La valeur moyenne de la conductivité thermique mesurée entre ces deux profondeurs est k = 3.0 Wm 1 K 1. On appliquera cette valeur pour toute la croûte. Le taux de production de chaleur (ou puissance produite par unité de volume) en surface est H 0 = 4.8µWm 3. La croûte est décrite par un modèle plan dont les propriétés ne varient que verticalement (en z). 1. Calculez la valeur du gradient géothermique (en o C). Déduisez-en la température T 0 et le flux de chaleur q 0 à la surface. Comment est orienté q 0? 2. On se place en régime stationnaire. Ecrivez l équation de la chaleur dans ce cas. 3. On suppose que le taux de production de chaleur est constant dans toute la croûte. Résolvez l équation de la chaleur dans ces conditions. Dessinez T (z). 4. Calculez la température prédite par ce modèle à la base de la croûte (z = 40 km)? 5. Pour améliorer un peu la description du géotherme, on suppose maintenant que le taux de production de chaleur décroît avec la profondeur selon la loi H(z) = H 0 exp( z ) avec D = 10 km D Résolvez l équation de la chaleur dans ces conditions. 6. Déduisez-en T (z) et q(z). 7. De nouveau, calculez la température prédite à la base de la croûte. Quelle est la valeur du flux de chaleur à cette profondeur? 3.2 Température au centre de la Terre On considère que la Terre est une sphère homogène de rayon a qui se refroidit par conduction en régime stationnaire. En appelant H la puissance produite par unité de volume, k la conductivité thermique de la Terre, l équation à résoudre pour trouver le profil radial de température T (r) à l intérieur de la Terre sphérique est 1. D où vient cette équation? k 1 r 2 d dr ( r 2 dt dr ) + H = Résolvez-la sous la condition que la température doit être finie au centre. On note T 0 la température à la surface de la Terre (en r = a). 3. Déduisez-en que le flux de chaleur q à un rayon r donné est q(r) = Hr On mesure le flux de chaleur à la surface q(a) = 70 mw/m 2. Quelle valeur de H est compatible avec cette observation? 5. En prenant k = 4 Wm 1 K 1, calculez la température au centre de la Terre pour ce modèle. Critiquez le résultat. 31/37

32 4 Variation périodique de la température On considère un sol de conductivité thermique k = 0.75 Wm 1 K 1 et de diffusivité thermique κ = m 2 s 1. Il n y a pas de source de chaleur. 1. Le flux de chaleur mesuré en surface est q 0 = 49 mwm 2. Quel est le gradient de température en surface (en o C/100 m)? 2. Vérifiez que la variation de température à la profondeur z et au temps t peut s écrire ω T (z, t) = T 0 e γz cos(ωt γz) avec γ = 2κ, où ω est la pulsation correspondant à une variation périodique de la température à la surface du sol décrite par T (0, t) = T 0 cos(ωt). 3. On s intéresse aux variations diurnes (sur 24 h) de la température. Sachant que la température du sol est de +5 o C le jour et 5 o C la nuit, calculez h = 2π/γ la profondeur de pénétration de la perturbation de température. Quelle est la variation maximale de la température à cette profondeur? Quel est le déphasage entre T (h, t) = T (0, t)? 4. On veut installer une ligne conductrice métallique de coefficient de dilatation thermique α = K 1. La longueur l de ce fil ne doit pas subir de variations relatives supérieures à ±10 5. A quelle profondeur minimale doit-on enterrer la ligne? Le fil obéit à la loi de dilatation l = l 0 (1 + α T ). 5. Cette profondeur est-elle suffisante pour que la ligne ne subisse pas également l effet des variations saisonnières d amplitude 20 o C? 6. Avec un fil en invar de coefficient α = K 1, à partir de quelle variation de température doit-on enterrer le fil? 32/37

33 5 Convection 5.1 Mouvement de convection On se propose d étudier un modèle simple de convection constitué d une couche de fluide d épaisseur L chauffée à la base. Le fluide est homogène et se caractérise par sa masse volumique ρ, son coefficient de dilatation thermique α et sa viscosité dynamique η. On considère une particule de fluide, c est-à-dire une petite sphère de volume unité et de rayon r. Cette petite sphère est plus chaude de δt que le fluide environnant. Elle est donc plus légère, ce qui tend à la faire monter. Les forces de frottement visqueux exercées par le fluide environnant freinent cependant la remontée de la particule. La force de frottement visqueux f v subie par la particule est proportionnelle à sa vitesse v f v = 6πηr v. 1. Quelles sont les forces qui s appliquent sur la particule? En appliquant le principe fondamental de la dynamique pour une vitesse de remontée constante, exprimez la vitesse v de la particule. 2. On peut définir le temps caractéristique de la convection t v comme le temps mis par la particule pour traverser la couche de fluide. Ecrivez t v suivant cette définition. 3. De même, il est possible de définir un temps caractéristique de la conduction t c. Celui-ci doit être proportionnel à la surface de la sphère. Proposez une écriture de t c. On pourra s aider d une analyse dimensionnelle de l équation de diffusion. 4. En raisonnant avec t v et t c, à quelle condition y-a-t-il convection? Faites apparaître le nombre de Rayleigh (on rappelle que la viscosité cinématique est définie telle que ν = η/ρ). 5.2 Géotherme mantellique La figure 4 propose une approximation du géotherme dans le manteau terrestre. La température T (r) correspondant à ce profil suit la loi T (r) = 1 2 [ ( r a ) ( c r )] T a + T c + (T a T c ) exp + (T c T a ) exp, δ a δ c avec a le rayon de la Terre, c le rayon du noyau, T a la température à la surface de la Terre, T c la température à la limite noyau-manteau, δ a et δ c deux échelles caractéristiques du problème, de l ordre de la centaine de km. Nous allons déduire de ce profil et de quelques mesures de surface la valeur de T c. 1. Le profil de la figure 4 met en évidence trois régions distinctes R1, R2 et R3 (séparées sur la figure par les lignes en pointillé). Nommez ces régions et décrivez le mécanisme de transport de la chaleur qui domine dans chacune d elles. 2. Que représentent, du point de vue thermique, les régions R1 et R3? 3. Proposez une valeur pour T a (en Kelvin). 4. Rappelez la loi de Fourier (on note k la conductivité thermique). 5. Dessinez le flux de chaleur conductif q dans chacune des régions. 33/37

34 Figure 4 Profil de température T (r) dans le manteau (droite) avec des agrandissements au sommet et à la base du manteau (gauche). 6. De même que T = T (r), on a aussi pour ce modèle q = q(r). Exprimez le flux de chaleur conductif (i.e., calculé à partir de la loi de Fourier) q(r) dans le manteau. 7. Montrez qu à la surface (en r = a), on peut écrire q(a) k T c T a 2δ a Rappelez-vous l ordre de grandeur de δ a et δ c. 8. En déduire la signification physique de δ a. Estimez graphiquement sa valeur. Quelles contraintes géophysiques pourrait-on avoir sur cette quantité dans la Terre réelle? 9. Le flux convectif mesuré à la surface de la Terre est q(a) = 80 mwm 2. En prenant k = 4 W m 1 K 1, calculez la valeur de T c prédite par ce modèle. 10. Ce modèle propose une température constante dans la région R2. Est-ce le cas dans la Terre réelle? 34/37

35 6 Evolution de la lithosphère océanique Nous allons (re)travailler le modèle simple de refroidissement de la lithosphère océanique vu en cours. On rappelle que dans ce modèle, du matériel mantellique chaud à la température T m est amené au niveau du plancher océanique à la température T s sur l axe de la dorsale. Ce matériel s écarte ensuite de la dorsale à la vitesse v en se refroidissant, sa surface supérieure restant cependant à la température T s (figure 5). Figure 5 Schéma illustrant le modèle simple de refroidissement par conduction de la lithosphère océanique. On suppose que la lithosphère est de dimension infinie horizontalement. On peut alors se contenter de considérer la conduction dans la direction verticale uniquement. Le problème se réduit ainsi au refroidissement d un demi-espace initialement à la température T m et brusquement refroidi en imposant à sa surface une température T s au temps t = 0. Dans ces conditions, la température dépend uniquement de la profondeur z et du temps t (qui est aussi l âge de la lithosphère). On prendra z = 0 en surface. 1. Vérifiez que l on peut bien négliger la conduction horizontale. 2. En l absence de source de chaleur interne, quelle équation doit satisfaire T (z, t)? La solution de cette équation est de la forme ( z ) T (z, t) = A + B erf 2, κt avec A et B des constantes et erf(s) la fonction erreur erf(s) = 2 s e σ2 dσ π dont les variations sont rappelées sur la figure Déterminez les constantes A et B et donnez l expression T (z, t). 4. Dans la suite, on prendra T s = 0 o. Pourquoi est-ce possible? 5. En convertissant l âge t en une position horizontale x, montrez que ( z ) T (z, x) = T m erf 2. κx/v 6. Tracez dans le plan (x, z) l isotherme T = T m. Cette isotherme définit la profondeur de la lithosphère (thermique). 0 35/37

36 Figure 6 Fonction erf(s) 7. A partir de T (z, t) et en dérivant la fonction erf(s), montrez que le flux de chaleur à la surface est q = q(0, t) = kt m πκt. Tracez q(0, x). La lithosphère se refroidissant avec l âge, elle devient plus lourde et on s attend ainsi à ce qu elle s enfonce avec l âge. Il est possible de déterminer h(t) (ou h(x)) la variation de la profondeur de l océan en fonction de l âge de la lithosphère en appliquant le principe d isostasie. Pour cela, on considère deux colonnes verticales. L une est au niveau de la dorsale et ne contient que du manteau de masse volumique ρ m. L autre est située à une distance x correspondant à un âge t. Elle contient une couche d eau d épaisseur h(t) et de masse volumique ρ w, une couche de lithosphère d épaisseur e(t) de masse volumique ρ(z, t), et une couche de manteau. Ces deux colonnes doivent s équilibrer à une certaine profondeur. 8. Avec quel modèle d isostasie cherchons-nous à expliquer la variation de la profondeur de l océan? 9. Ecrivez la masse volumique dans la lithosphère ρ(z, t) en fonction du coefficient de dilatation α, de ρ m, T m et T (z, t). 10. Ecrivez l équilibre isostatique pour en déduire une expression de h(t) faisant apparaître l intégrale e(t) ( z ) 1 erf 2 dz. κt Si on se place suffisamment loin de la dorsale, il est possible de faire tendre e(t) vers l infini dans l expression de h(t) (pourquoi?). Sachant que montrez alors que 0 [1 erf(s)] ds = 1/ π, κt αρ m T m h(t) = 2 π (ρ m ρ w ). 36/37

37 Figure 7 Modèles et données de l évolution thermique de la lithosphère océanique : (gauche) isothermes des deux modèles les plus utilisés et (droite) comparaison entre les valeurs prédites par ces modèles et les observations de la profondeur des océans, du flux de chaleur et de la pente du géoïde. La figure 7 présente des observations moyennes faites le long de plaques océaniques et les prédictions de deux modèles de refroidissement de la lithosphère. Elle montre aussi les variations de température dans la lithosphère suivant ces deux modèles. 13. Avec lequel des deux modèles testés avons-nous travaillé? 14. Essayer d expliquer ce que l autre modèle pourrait considérer en plus. 15. Quel phénomène peut expliquer les différences entre le flux de chaleur observé et prédit pour les âges plus jeunes que 50 Ma? 16. Quelle contrainte géophysique pourrait-on avoir directement sur l épaisseur de la plaque lithosphérique? Note : l ensemble des figures de ce TD sont extraites de Stein S. & Wysession M., An introduction to seismology, earthquakes, and Earth structure, Blackwell Publishing, /37