A MATH. II MP.

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1 A 26 - MATH. II MP. École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP). CONCOURS 26 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) L usage de l ordinateur ou de la calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international). Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

2 Théorème taubérien de Hardy Littlewood-Karamata Dans tout le problème, I désigne l intervalle ], + [. A Une intégrale à paramètre Pour tout x R on pose, sous réserve d existence, F (x) = e u e u du et K = du. u(u + x) u. Montrer que la fonction ψ : u e u est intégrable sur I. 2. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles F (x) est définie. 3. Montrer que la fonction F est de classe C sur I et exprimer F (x) sous forme intégrale. 4. En déduire que pour tout x I, xf (x) (x )F (x) = K Pour tout x I, on pose G(x) = x e x F (x). Montrer qu il existe une x e t constante réelle C telle que pour tout x I, G(x) = C K dt. t 6. Déterminer les limites de G en et +, et en déduire la valeur de K. B Étude de deux séries de fonctions Dans toute cette partie, on pose f(x) = n= 7. Montrer que f et g sont définies et continues sur I. e nx et g(x) = ne nx. n 8. Montrer que pour tout x I, déduire un équivalent de f(x) lorsque x. e ux du f(x) e ux du. En ( n 9. Montrer que la suite 2 ) n converge. k n k= 2

3 . Démontrer que pour tout x >, la série ( n ) e nx converge et exprimer sa somme h(x) en fonction de f(x) pour tout x n k= k I.. En déduire un équivalent de h(x) lorsque x. Montrer alors que g(x) est π équivalent à lorsque x. 2x3/2 C Séries de fonctions associées à des ensembles d entiers À tout ensemble A N on associe la suite (a n ) définie par si n A, a n = sinon. Soit I A l ensemble des réels x pour lesquels la série n a n e nx converge. On pose f A (x) = Φ(A) = lim Φ(A) existe. a n e nx pour tout x I A. Enfin, sous réserve d existence, on pose x f A (x) et on note S l ensemble des parties A N pour lesquelles 2. Quel est l ensemble I A si A est fini? Si A est infini, montrer que l on peut extraire une suite (b n ) de la suite (a n ) telle que pour tout n N, b n =. Déterminer I A dans ce cas. 3. Soit A S et (a n ) la suite associée. Pour tout entier naturel n, on note A(n) l ensemble des éléments de A qui sont n. Vérifier que pour tout x > la série n Card(A(n)) e nx converge et que Card(A(n)) e nx = f A(x) e x. Dans la question suivante, A = A désigne l ensemble des carrés d entiers naturels non nuls. 4. Montrer que si x >, f A (x) + e = n e nx où désigne la partie entière. x + En déduire un encadrement de ne nx f A (x), puis un équivalent de e x f A en. Prouver alors que A S et donner Φ(A ). 3 TSVP

4 Dans la question suivante, A = A 2 désigne l ensemble constitué des entiers qui sont la somme des carrés de deux entiers naturels non nuls. On admet que A 2 S, et on désire majorer Φ(A 2 ). Soit v(n) le nombre de couples d entiers naturels non nuls (p, q) pour lesquels n = p 2 + q Montrer que pour tout réel x >, la série n v(n)e nx converge et établir que v(n)e nx = (f A (x)) 2. Montrer alors que pour tout x >, f A2 (x) (f A (x)) 2. En déduire un majorant de Φ(A 2 ). D Un théorème taubérien Soit (α n ) n une suite de nombres réels positifs tels que pour tout réel x >, la série n α n e nx converge. On suppose que ( lim x α n e nx) = l [, + [. On note F l espace vectoriel des fonctions de [, ] dans R, E le sous-espace de F des fonctions continues par morceaux et E le sous-espace de E des fonctions continues sur [, ]. On munit E de la norme définie par la formule ψ = sup ψ(t). t [,] Si ψ E, on note L(ψ) l application qui à x > associe (L(ψ))(x) = α n e nx ψ(e nx ). 6. Montrer que L(ψ) est bien définie pour tout ψ E et que l application L est une application linéaire de E dans F. Vérifier que, pour tous ψ, ψ 2 dans E, ψ ψ 2 entraîne L(ψ ) L(ψ 2 ). On note E l ensemble des ψ E pour lesquels lim x (L(ψ))(x) existe et si ψ E, on pose (ψ) = lim x (L(ψ))(x). 7. Vérifier que E est un sous-espace vectoriel de E et que l application est une forme linéaire continue de (E, ). 8. Montrer que pour tout p N, e p : t [, ] t p appartient à E et calculer (e p ). En déduire que E E et calculer (ψ) pour tout ψ E. 4

5 Pour tous a, b [, ] tel que a < b, on note [a,b] : [, ] {, } la fonction définie par si x [a, b] [a,b] (x) = sinon. Soit a ], [ et ε ], min(a, a)[. On note et si x [, a ε] a x g (x) = si x ]a ε, a[ ε si x [a, ] si x [, a] a + ε x g + (x) = si x ]a, a + ε[ ε si x [a + ε, ]. 9. Vérifier que g et g + appartiennent à E et calculer (g ) et (g + ). Montrer alors que [,a] E et calculer ( [,a] ). En déduire que E = E et donner (ψ) pour tout ψ E. On considère maintenant la fonction ψ définie sur [, ] par la formule : si x [, e [ ψ(x) = x si x [ e, ]. 2. Calculer (L(ψ))( ) pour tout entier N > et en déduire la limite N (théorème taubérien). lim N + N N α k k= On rappelle que v(n) est le nombre de couples d entiers naturels non nuls (p, q) tels que n = p 2 + q Si A S, que vaut lim n + Card(A(n))? Déterminer alors n lim n + n n v(k). k= Fin du problème 5