Probabilités et Statistique pour SIC Exercices

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1 Probabilités et Statistique pour SIC Exercices Exercice Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on créer avec 66 caractères? Exercice Dans un pays, les voitures ont des plaques d immatriculation composées de deux lettres (leur alphabet a 6 caractères) suivies de trois chi res. Combien de plaques possibles y-a-t-il? Exercice 3 Un professeur dispose de 3 livres sur un rayon de sa bibliothèque. 3 d entre eux sont des livres de mathématiques et 9 de physique. Le professeur aimerait ranger ses livres de façon que tous les livres traitant du même sujet restent groupés. Combien y a-t-il de dispositions possibles? Exercice 4 4 Américains, 3 Suisses et 5 Anglais doivent s asseoir sur un même banc. Les gens de même nationalité doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer? Exercice 5 On veut former un comité comprenant 4 des 3 personnes d un groupe. Combien y a-t-il de ces comités? Exercice 6 Combien de mains de poker existe-t-il? Le jeu comprend 5 cartes, une main en contient 5. Exercice 7 Dans un groupe de femmes et 8 hommes, on doit former un comité de 3 hommes et 3 femmes. Combien de comités di érents peut-on former si : a) des hommes refusent d être ensemble dans le comité? b) des femmes refusent d être ensemble dans le comité? c) homme et femme refusent d être ensemble dans le comité? Exercice 8 Un laboratoire de recherche en psychologie du rêve dispose de 4 chambres à deux lits. Trois paires de vrais jumeaux sont étudiées. On veut placer chaque paire dans une chambre et assigner à chacun un lit bien déterminé. De combien de manières peut-on organiser l expérience? Exercice 9 Démontrer par le calcul que la construction du triangle de Pascal est correcte, c est-à-dire que C k n = C k n + Ck n Exercice n personnes dont A et B se mettent au hasard dans une rangée. Combien des manières y-a-t-il d avoir k personnes entre A et B? Exercice Un dé est jeté jusqu a ce qu un 6 sorte, ce qui marque la fin de l expérience. a) Quel est l ensemble fondamental pour cette expérience? b) Notons par E n l événement l expérience s arrête au n eme jet. Quels points de l ensemble fondamental sont contenus dans E n?décrire([ E n ) c. Exercice On jette deux dés. On note par E l evénement la somme des dés est impaire, par F l evénement au moins l un des dés montre, et par G la somme des dés est 5. Décrire a) E \ F, b) E [ F, c) F \ G, d) E \ F c, e) E \ F \ G. Exercice 3 Trois joueurs, A, B et C, jettent une pièce à tour de rôle : A joue d abord, puis B, puisc, puis A etc. Le premier qui obtient pile a gagné. L ensemble fondamental de cette expérience peut être décrit comme suit :,,,,..., S =

2 a) Donner une interprétation des points de S. b) Décrire les événements suivants en termes de ces points : i) A gagne ; ii) B gagne ; iii) (A [ B) c. Exercice 4 n personnes, dont A et B, se mettent au hasard dans une rangée. a) Décrire l ensemble fondamental associé à cette expérience, et en donner le nombre d éléments. b) Quelle est la probabilité qu il y ait k personnes entre A et B ( apple k apple n )? c) Vérifier votre résultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles. Exercice 5 Quelle est la probabilité de tirer au moins un 6 lorsqu on jette un dé quatre fois? Exercice 6 On répète n fois le lancer de deux dés. Calculer la probabilité que le six apparaisse au moins une fois. Quelle valeur donner à n pour que cette probabilité atteigne /? Exercice 7 Combien de personnes faut-il pour que la probabilité qu au moins deux d entre elles aient leur anniversaire le même mois soit au moins /? Admettre que tous les mois sont équiprobables. Exercice 8 Un récepteur se bloque si la durée entre les instants de réception de deux signaux est inférieure au temp mort. On sait que les deux signaux atteignent le récepteur dans l intervalle de temps (,t), et arrivent indépendamment l un de l autre et au hasard. a) Décrire l ensemble fondamental associé à cette experience stochastique. b) Quelle est la probabilité que le récepteur se bloque? c) Simplifier votre résultat en admettant que t. Exercice 9 a) On jète une pièce n fois, n. On note P n la probabilité que des piles successifs n apparaissent jamais lors des n jets. Montrer que P n = P n + 4 P n n 4. b) Montrer que lim n! P n =. c) Soit Q n la probabilité que la suite PFPPPFFP n apparaisse jamais lors de n jets. Montrer que lim n! Q n =. Indication : La probabilité Q n que la suite PFPPPFFP n apparaisse jamais lors de n jets est plus petite que la probabilité R n que la même suite n apparaisse jamais entre le jet numéro 8i et le jet numéro 8(i + ) oùi est un entier plus petit ou égal à n/8 8. Exercice On jette un dé trois fois. a) Décrire l ensemble fondamental de cette expérience. b) Quelle est la probabilité que la somme des dés soit supérieure ou égale à 5? Exercice On jette deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité que l une des deux pièces tombe sur pile? Exercice En 654 de Méré propose à Pascal le problème suivant : Est-il plus probable d obtenir au moins un 6 avec 4 dés que d obtenir au moins un double 6 lors de 4 jets de deux dés? Donner la réponse à cette question. Exercice 3 Soit S la somme des valeurs de trois dés jetés simultanément. Il y a six configurations di érentes qui permettent d obtenir 9 ou : pour S = 9 : (6,,), (5,3,), (5,,), (4,4,), (4,3,) et (3,3,3), pour S = : (6,3,), (6,,), (5,4,), (5,3,), (4,4,) et (4,3,3). Peut-on en conclure que P (S = 9) = P (S = )? Exercice 4 D une urne contenant boules numérotées de à, on tire sans remplacement 3 des boules. Quelqu un parie qu au moins une des boules tirées portera un numéro égal ou supérieur à 7. Quelle est la probabilité qu il gagne?

3 Exercice 5 Une urne contient 5 boules, 5 sont rouges et sont vertes. Cinq boules sont tirées au hasard, sans remise. a) Trouver la probabilité que la première, la troisième et la cinquième boule soient rouges et que la deuxième et la quatrième soient vertes. b) Trouver la probabilité que la première, la deuxième et la troisième boule soient rouges et que la quatrième et la cinquième soient vertes. c) Trouver la probabilité que la la deuxième et la troisième boule soient rouges et que la première, la quatrième et la cinquième soient vertes. Exercice 6 Même exercice que le problème 36!!! Exercice 7 On considère 3 cartes à jouer de même forme. Cependant, les deux faces de la première carte ont été colorées en noir, les deux faces de la deuxième carte en rouge tandis que la troisième porte une face noire et l autre rouge. On mélange les trois cartes au fond d un chapeau, puis une carte tirée au hasard en est extraite et placée au sol. Si la face apparente est rouge, quelle est la probabilité que l autre soit noire? Exercice 8 Pour dépister une maladie, on applique un test. Si le patient est e ectivement atteint, le test donne un résultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le résultat du test soit positif alors que le consultant est en bonne santé, et ceci se produit dans % des cas. Sachant qu en moyenne un consultant sur est atteint de la maladie à dépister, calculer la probabilité pour qu un client soit atteint sachant que son test a été positif. Que penser de ce résultat? Exercice 9 Les jours peuvent être ensoleillés ou nuageux. Le temps du lendemain est le même que celui d aujourd hui avec probabilité p, et di érent avec probabilité q, où p + q =. S il est ensoleillé aujourd hui, montrez que la probabilité s n qu il soit ensoleillé le n eme jour suivant satisfait s n =(p q)s n + q; n où s =. En déduire que s n = ( + (p q)n ); n. Exercice 3 Une unité de production comprend deux machines automatiques fonctionnant indépendamment l une de l autre. Chaque machine a la fiabilité p au cours d une journée, ce qui signifie que sa probabilité de tomber en panne pendant cette période est égale à p. Dans ce cas, elle sera réparée pendant la nuit et se retrouvera en état de marche le lendemain. Une seule machine peut être réparée à la fois. On note X n = nombre de machines en panne au début de la n ième journée, n =,,... Calculer les probabilités conditionnelles P (X n+ = X n = ), P (X n+ = X n = ), P (X n+ = X n = ) et P (X n+ = X n = ). Exercice 3 Les pièces fabriquées par une usine sont soumises à un contrôle, mais le mécanisme de contrôle n est pas entièrement fiable. En e et, si une pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de.9, par contre si elle est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de.8. a) Si un lot comprend trois pièces bonnes et une pièce défectueuse, quelle est la probabilité que ces quatre pièces soient acceptées lors du contrôle? b) Quelle est la probabilité qu il y ait une erreur lors du contrôle d une pièce si l on sait qu il y a en moyenne % de pièces défectueuses dans la production? c) Quelle est la probabilité qu une pièce acceptée par le contrôle soit défectueuse (si l on admet de nouveau qu il y a en moyenne % de pièces défectueuses dans la production)? Exercice 3 Un couple a deux enfants. Quelle est la probabilité que les deux soient des filles sachant que l aînée en est une? Exercice 33 On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu au moins l un d entre eux montre 6, sachant que les deux résultats sont di érents? Exercice 34 On choisit trois cartes au hasard et sans remise dans un jeu ordinaire de 5 cartes. Calculer la probabilité que la première carte tirée soit un pique, sachant que les deux dernières en sont. Exercice 35 On admet que 5% des hommes et, 5% des femmes sont daltoniens. On sélectionne une personne daltonienne au hasard. Quelle est la probabilité qu il s agisse d un homme? On admettra que les hommes sont aussi nombreux que les femmes. Si au contraire il y en avait deux fois plus que de femmes, que deviendrait le résultat? 3

4 Exercice 36 La couleur des yeux d une personne est déterminée par une unique paire de gènes. Si les deux sont des gènes yeux bleus, la personne aura les yeux bleus ; si les deux sont des gènes yeux marrons, la personne aura les yeux marrons ; si l un est un gène oeil bleu et l autre un gène oeil marron, la personne aura les yeux marrons (car le gène oeil marron est dominant par rapport au gène oeil bleu). Un nouveau-né reçoit indépendamment un gène oeil de chacun de ses parents et le gène qu il reçoit d un de ses parents a autant de chances d être l un des deux gènes oeil de ce parent. Supposons que Xavier et ses deux parents ont les yeux marrons, mais que la soeur de Xavier a les yeux bleus. a) Quelle est la probabilité que Xavier ait un gène oeil bleu? b) Si la femme de Xavier a les yeux bleus, quelle est la probabilité que leur premier enfant ait les yeux bleus? Exercice 37 a) On tire au hasard n boules sans remise d une urne en contenant N de couleur blanche et M de couleur noire. Donner la fonction de masse de la variable aléatoire X qui compte le nombre de boules blanches tirées. Démontrer que l espérance de X est Nn/(M + N). Indication : écrire le nombre de boules blanches tirées comme la somme de X i,apple i apple N, oùx i est égal à si la i-ème boule blanche a été tirée parmi les n boules, et sinon. b) Une urne contient N boules blanches et M noires. On prélève des boules une à une jusqu à ce que la première boule blanche apparaisse. Si on désigne par X le nombre de boules alors prélevées, quelle est l espérance de X? Exercice 38 On jette simultanément deux dés à six faces jusqu à l obtention d une somme de 5 ou de 7. a) Le jeu s est arrêté au jième lancer. Quelle est la probabilité qu on ait obtenu une somme de 5 au jième lancer? b) Quelle est la probabilité de finir de jouer avec une somme de 5? c) Quel est le nombre moyens de jets jusqu à l arrêt du jeu? Exercice 39 On jette une pièce n fois. Supposons que lors de chaque jet, la probabilité d obtenir pile est p, où p [, ]. Les résultats sont supposés indépendants. a) Donner la loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de piles obtenus. b) Donner l espérance et la variance de X. Exercice 4 a) Un parc contient L lions et T tigres. Un employé du parc est chargé de silloner le parc. Chaque fois qu il voit un lion ou un tigre, il note sur un calepin le type d animal (lion ou tigre) qu il a vu. Il s arrête une fois qu il a noté n animaux pour faire un rapport à son chef. Quelle est la loi du nombre de lions notés dans le rapport? Donner la probabilité que k lions aient été notés. b) Dans un parc concurrent, une autre statégie est adoptée : chaque fois que l employé (courageux!) voit un lion ou un tigre, il le capture. Après avoir capturé n animaux, l employé fait un rapport à son chef. Quelle est la loi du nombre de lions notés dans le rapport? Donner la probabilité que k lions aient été capturés. Exercice 4 48 mariages ont été célébrés en Suisse en. En expliquant vos hypothèses et en donnant les lois de probabilités correspondantes, calculer la probabilité que pour exactement de ces couples : a) les deux époux soient nés un er janvier, b) les deux époux aient le même jour d anniversaire. Exercice 4 Un assistant de mathématiques essaie désespérément de passer son permis de conduire. On suppose qu il a une probabilité p (, ] de réussir son permis à chaque essai, et on note T le nombre d essais nécessaires pour qu il réussisse son permis. Donner la fonction de masse de T, sa moyenne et sa variance. Exercice 43 La fonction de masse d une variable aléatoire X est donnée par où P (X = i) =c est un réel positif. a) Calculer c et reconnaître la loi de X a) Calculer P (X = ). b) Calculer P (X >). c) Donner l espérance et la variance de X. i, i =,,,..., i! 4

5 Exercice 44 Soient X et Z deux variables à valeurs entières. On suppose que : a) Z est une variable de Poisson de paramètre. b) X apple Z et : 8n, 8k apple n, P{X = k Z = n} = Cnp k k (n k) ( p) (autrement dit : la loi conditionnelle de X sachant que Z = n est binomiale de paramètres n et p, pour un <p<fixé). Prouver que X et Y = Z respectifs. X sont deux variables de Poisson indépendantes, et donner leurs paramètres Exercice 45 Calculer les deux premiers moments d une variable aléatoire X distribuée géométriquement (paramètre p) en utilisant sa fonction génératrice des moments. Exercice 46 On considère le jeu suivant, qui peut être joué autant de fois que voulu. Chaque tour est indépendant et à chaque fois, la probabilité de gagner est p. A chaque tour, le joueur parie une certaine quantité x, quelconque. En cas de réussite, le joueur récupère le double de sa mise. En cas d échec, le joueur perd sa mise. Arnaud applique une stratégie simple : il joue tant qu il n a pas gagné. Au premier tour, il parie CHF. A chaque tour perdu, il parie le double de sa mise au tour précédent. Dès qu il a gagné une fois, il s arrête. a) Quelle est la quantité misée par Arnaud au tour n? b) Quelle est la loi du nombre de tours joués par Arnaud jusqu au premier succès? c) Montrer que la valeur moyenne de la mise d Arnaud au tour où il s arrête est En donner une interprétation. p ( p) si p>/ si p apple / Exercice 47 Un livre de 35 pages contient 45 erreurs d impression réparties au hasard. Calculer de deux façons di érentes la probabilité pour qu il y ait au moins trois erreurs dans une page déterminée. Exercice 48 Montrer que si X et Y sont deux variables indépendantes suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs et alors Z = X + Y suit la loi de Poisson de paramètre + : a) Par calcul direct de la fonction de masse. b) En utilisant la fonction génératrice des moments. Exercice 49 On suppose que la taille, en centimètres, d un homme âgé de 5 ans est une variable aléatoire normale de paramètres m = 75 et = 36. Quelle est la pourcentage d hommes de 5 ans ayant une taille supérieure à 85 cm? Parmi les hommes mesurant plus de 8 cm, quel pourcentage d entre eux dépassent 9 cm? Exercice 5 Le nombre de kilomètres couverts par une batterie de voiture avant défaillance est distribué exponentiellement et sa valeur moyenne est de kilomètres. Une personne souhaite se lancer dans un voyage de 5 kilomètres. Avec quelle probabilité terminera-t-elle son voyage sans avarie de batterie? Exercice 5 Pour fonctionner, un système utilise une cellule interchangeable. On dispose de la pièce originale et d une cellule de rechange. Si le système a une durée de vie aléatoire X et si sa densité est donnée (en mois) par : cxe x/ x> f(x) = x apple quelle est la probabilité que le système fonctionne pendant au moins 5 mois? Exercice 5 La vitesse d une molécule au sein d un gaz homogène en état d équilibre est une variable aléatoire, dont la fonction de densité est donnée par ax f(x) = e bx x x< où b = m/kt et k, T, m sont respectivement la constante de Boltzmann, la température absolue et la masse de la molécule. Évaluer a en fonction de b. 5

6 Exercice 53 Si X admet la densité de probabilité f X (x) = +x, on dit que X est une variable aléatoire de Cauchy. Montrer que X n admet pas d espérance mathématique. Exercice 54 Soit X une variable aléatoire de loi gamma, de densité f(x) = ( ) e x x si x si x<, pour >, > et où ( ) = R e y y dy est la fonction gamma. a) En employant une intégration par parties, montrer que ( ) =( ) ( ). Pouvez-vous trouver une expression pour ( n) quand n est un nombre entier? b) Montrer que l espérance de X est /. Exercice 55 Les pièces d une voiture sont souvent copiées, et vendues comme des pièces originales. On veut remplacer certaines pièces d une voiture. Avec probabilité /4 on achète une pièce pirate, et avec probabilité 3/4 on achète une pièce originale. La durée de vie est une variable aléatoire exponentielle de paramètre 5 pour une pièce pirate, et de paramètre pour une pièce originale. Appelons T la durée de vie de la pièce que l on achète. Supposons que la pièce ait survécu jusqu au temps t après son installation. Quelle est la probabilité (t) que cette pièce soit pirate? Trouver la limite de (t) lorsque t!. Exercice 56 Soit X une variable normale centrée réduite et Y = e X (on dit que Y est une variable lognormale). Calculer la moyenne et la variance de Y. Indication : on donne la fonction génératrice des moments de X : M X (t) =exp(t /), t R. Exercice 57 On dispose de deux composants électroniques dont les durées de vie (temps avant la panne), exprimées en années, sont modélisées par des variables aléatoires X et Y indépendantes. On suppose que la durée de vie moyenne du premier composant est un an, alors que le deuxième composant a une durée de vie moyenne de 6 mois. a) Donner les lois de X et Y. b) Calculer leurs fonctions de répartition F X et F Y. On considère deux montages possibles pour ces composants : en série ou en parallèle. Le système monté en série tombe en panne dès que l un des composants tombe en panne. Le système monté en parallèle tombe en panne lorsque les deux composants sont tombés en panne. On note S la durée de vie du système en série et T celle du système en parallèle. c) Calculer la fonction de répartition F T de T. d) Calculer la fonction de répartition F S de S. e) Calculer la probabilité que le composant de durée de vie X fonctionne toujours à l instant x (x >) sachant que le système en série est tombé en panne avant cet instant. f) Sachant que le composant de durée de vie X est tombé en panne avant l instant x, quelleestla probabilité que le système en parallèle fonctionne toujours à un instant t (avec t > x)? Exercice 58 Soient X,...,X n des variables aléatoires exponentielles indépendantes de paramètre commun. Calculer la fonction de répartition de min(x,...,x n ) et reconnaître cette distribution. Exercice 59 Si X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre variable aléatoire Y définie par Y = lnx. =, calculer la densité de la Exercice 6 Soit X une variable aléatoire normale d espérance nulle et de variance. Calculer la densité de la loi de Y = e X (on dit que Y est une variable lognormale). Exercice 6 Soient X et Y deux variables aléatoires avec une densité conjointe f(x, y). Calculer la loi de X et de Y dans les cas suivants et déterminer dans chaque cas si X et Y sont idépendantes : a) f(x, y) =xe x(+y) pour x, y, et f(x, y) = sinon. b) f(x, y) = 6xy pour x, y etx + y apple, et f(x, y) = sinon. Exercice 6 Donner une expression pour la fonction de répartition et pour la densité du maximum Z puis du minimum Z de deux variables aléatoires continues indépendantes X et Y. Exercice 63 Soit Z = X + Y où X et Y sont des variables exponentielles indépendantes de paramètres et. a) Donner la fonction de répartition de Z. b) Calculer sa fonction génératrice des moments. 6

7 c) La fonction génératrice des moments d une variable aléatoire G de loi gamma de paramètres, est donnée par : M G (t) =( t ), t <. Déduire du b) sous quelle condition sur et, la variable Z est-elle de loi Gamma et quels en sont alors les paramètres? Exercice 64 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité de probabilité jointe : / si x h(x, y) = + y apple sinon. a) Calculer les densités marginales f et g de X et de Y. X et Y sont-elles indépendantes? b) Trouver Cov(X, Y ) sans calcul. Exercice 65 On lance deux dés équilibrés. On note X (resp. X ) le plus grand (resp. le plus petit) des deux résultats. Donner les fonction de masse de X et de X et les tracer. Exercice 66 Un programme consiste en deux modules indépendants. Le nombre d erreurs X dans le premier module a la fonction de masse P et le nombre d erreurs X dans le deuxième module a la fonction de masse P où x 3 P (x).5... P (x).7.. a) Vérifier que P et P sont bien des fonctions de masse. b) Tracer les fonctions de répartition de X et X. c) Calculer la fonction de masse de Y = X + X, le nombre total d erreurs dans le programme. d) Tracer sa fonction de répartition. Exercice 67 Les variables aléatoires X et Y sont telles que X est de moyenne et de variance 4, Y est de moyenne et de variance 9, et corr(x, Y )=/3. Quelle est la variance de 3X Y +? Quelle est la covariance de X +Y avec X Y?SiZ est une autre variable aléatoire vérifiant E(3X Y + Z) =, quelle est la moyenne de Z? Exercice 68 Soient X et X deux variables aléatoires indépendantes avec distribution binomiale de paramètres n et. Quelle est la variance de X X?SiX,...,X n sont des observations issues d une loi binomiale (n, ), quelle est la varaince de leur somme S = X + + X n? Exercice 69 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, la première avec moyenne et variance 3, la seconde avec moyenne 4 et variance 5. a) Quelle est la moyenne de 5X 3Y + 9? Quelle est la variance de 3Y X? b) Supposant que X et Y sont de même variance,six + Y est de variance 96 et X Y de variance 64, que vaut la corrélation corr(x, Y )? Exercice 7 On lance un dé équilibré n fois. Soit X le nombre total de obtenus pendant les n lancés, et X le nombre total de. a) Quelles sont les distributions de X et X? Pourquoi? b) Quelles sont les variances de X et X? c) On pose la variable aléatoire U = X + X. Que représente-t-elle? En considérant la distribution de la variable aléatoire U et de là obtenant sa variance, déduire que le coe cient de corrélation de X avec X est = /5. d) Quelle est la variance de V = X X, et quelle est sa corrélation avec U? Exercice 7 On suppose que X et Y sont des variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur [, ]. Montrer que Z = X + Y admet pour densité 8 < z si apple z apple f Z (z) = z si apple z apple. : sinon 7

8 Exercice 7 Soit Z le total des points obtenus à pile ou face, avec le gain pour pile et pour face, et en lançant indépendamment un dé équilibré, dont la face indique le nombre de points obtenus. Donner la fonction de densité de Z et l espérance conditionnelle E(Z X = x), où X représente le résultat de pile ou face. Calculer également la variance conditionnelle var(z X = x) et vérifier que les résultats concordent avec le théorème 67. Exercice 73 Soit X et Y des variables aléatoires Bernoulli et géométrique indépendantes. Trouver la fonction de densité de Z = X + Y et calculer les espérances conditionnelles de Z sachant X = x et de Z sachant Y = y. Exercice 74 Un programme informatique est composé de trois sections : une section d initialisation A, une section de calcul B composée de cycles de calcul identiques et indépendants, et une section finale C. On a enregistré les temps de calcul du programme pour chacune des trois sections. Le tableau suivant résume les temps de calcul obtenus. Section Temps moyen (ms) Déviation standard (ms) Initialisation A Calcul B (composé de cycles) Finalisation C Tous les temps sont indépendants exceptés ceux des sections A et C dont la corrélation vaut.. a) Calculer cov(a, C). b) Calculer la moyenne et la variance du temps d exécution total T du programme. c) Les temps des sections A et C sont normalement distribués. Bien que le temps de calcul d un cycle de la section B ne soit pas normalement distribué, expliquer pourquoi la distribution du temps total de la section B (qui comporte cycles) peut être approximée par une loi normale et préciser les paramètres de cette distribution. d) Calculer la proportion des cas pour lesquels le programme prend i) moins de ms, ii) plus de ms. Exercice 75 Un professeur sait par expérience que la note de test d un étudiant se présentant à un examen final est une variable aléatoire d espérance 75. a) Donner une borne supérieure à la probabilité que la note de test d un étudiant dépasse 85. Supposons maintenant que le professeur sache en plus que la variance de la note de test d un étudiant est 5. b) Que peut-on dire de la probabilité qu un étudiant obtienne une note comprise entre 65 et 85? c) Combien faudrait-il qu il se présente d étudiants à cet examen pour assurer, avec une probabilité d au moins,9, que la moyenne de la classe soit de 75 plus ou moins 5? Ne pas utiliser le théorème central limite. d) Utiliser le théorème central limite pour résoudre la partie c). Exercice 76 On considère n variables aléatoires réelles X,X,...,X n, indépendantes et identiquement distribuées, ayant pour fonction de densité : 8 < six< f(x) = x si apple x apple : six> ( est un paramètre réel > ). a) Déterminer la valeur de pour laquelle f est bien une fonction de densité. b) Donner la fonction de répartition F Mn du maximum M n des variables X,X,...,X n et calculer ses deux premiers moments. c) Montrer que M n converge en probabilité vers. Exercice 77 On arrondit 5 nombres à l entier le plus proche et on e ectue la somme. Si les erreurs d arrondi individuelles sont distribuées uniformément sur (, 5,, 5), quelle est la probabilité que la somme obtenue ait un écart de plus de 3 par rapport à la somme exacte? 8

9 Exercice 78 On a ampoules dont les durées de vie sont des variables aléatoires indépendantes exponentielles de moyenne 5 heures. Si l on allume une ampoule à la fois et que chaque ampoule grillée est instantanément remplacée par une neuve, qu elle est la probabilité qu il reste encore au moins une ampoule intacte après 55 heures? Exercice 79 Un local doit être éclairé en permanence ; lorsque l ampoule tombe en panne, elle est immédiatement remplacée par une nouvelle ampoule. Il en existe de deux qualités : une qualité A de durée de vie (en heure) exponentielle de paramètre A =. et une qualité B de durée de vie (en heures) exponentielle de paramètre B =.. On a stocké 4 ampoules de qualités A et 6 de qualité B. Quelle est la probabilité que cette réserve soit su sante pour une illumination de 65 heures du local? Exercice 8 Quelle est la probabilité qu un dé équilibré jeté fois produise moins de 6 fois le nombre six? Exercice 8 Une pièce est lancée 5 fois. Quelle est la probabilité pour que le nombre de faces di ère de 5 d au plus? Exercice 8 Soit X une variable aléatoire distribuée uniformément dans l intervalle (, ), i.e. : X prend ses valeurs dans (, ) et P { <X< } =, siapple < apple. a) On pose Y =lnx. Calculer l espérance de Y et la variance de Y. b) Si X,...,X sont variables indépendantes de même loi que X et si Z = X X...X, donner une approximation de P {Z < 4 }. Indication : passer au logarithme et utiliser a). Exercice 83 Expliquer brièvement les termes robuste et mesure de localisation dans l énoncé la médiane est une mesure de localisation robuste. Exercice 84 Définir la corrélation empirique pour un échantillon de n paires d observations (x i,y i ), i =,...,n. Esquisser les types de nuages de points de x et y auxquels on s attend lorsque la corrélation empirique vaut, et. Exercice 85 Soient X,...,X n des observations avec moyenne empirique X et variance empirique s =. Laquelle (lesquelles?) des a rmations suivantes est-elle correcte? Justifier. a) La taille de l échantillon est trop petite. b) Toutes les observations sont égales. c) X =. d) Les observations sont normalement distribuées. Exercice 86 Quelles a rmations ci-après s appliquent à la corrélation empirique r XY?Justifier. a) Dépend des unités dans lesquelles sont exprimées X et Y. b) Mesure l association des variables X et Y. c) Est comprise entre et. d) Ne peut jamais être exactement zéro. Exercice 87 Lesquelles des a rmations suivantes s appliquent à la covariance empirique s XY?Justifier. a) Mesure l association des variables X et Y b) Est comprise entre et. c) Ne peut jamais être exactement zéro. d) Dépend des unités dans lesquelles sont exprimées X et Y. Exercice 88 On a pesé dix pommes cueillies aléatoirement sur un arbre, et on donne leur poids en grammes ci-dessous a) Obtenir un intervalle de confiance à 9% pour le poids moyen µ d une pomme. b) Expliquer ce qu on entend par intervalle de confiance à 9% dans le point précédent. 9

10 Exercice 89 Lors d un test, on a demandé à personnes qui était Jean-Jacques Rousseau, et d entre elles ont répondu qu il était plongeur. Estimer la proportion de la population qui a donné une mauvaise réponse. Obtenir un intervalle de confiance à 95% pour cette proportion. (Question subsidiaire : qui était vraiment Jean-Jacques Rousseau?) Exercice 9 Une entreprise analyse la durée des conversations téléphoniques de ses employés de bureau. Neuf conversations consécutives avaient pour durée, en minutes :.3, 9.4, 9.9, 7.5,.7, 3.4, 7.8,.,.. a) Calculer la moyenne empirique x et la variance empirique s de ces observations. Quelles sont les unités de x et de s? b) Si on ajuste une distribution normale à ces observations, quelle est la probabilité que qu une conversation téléphonique dure plus de minutes? c) Tester au niveau 5% si la durée moyenne des conversations téléphoniques égale huit minutes contre son alternative qu elle ne dure pas huit minutes. Exercice 9 On e ectue 5 mesures d une constante physique m dans un laboratoire, en supposant que ces mesures suivent une loi normale N (m; ) de variance connue. A l issue de ces 5 mesures, l intervalle de confiance à 9% obtenu pour m est : [6, 4; 6, 8]. Combien de mesures supplémentaires doit-on e ectuer si l on veut : a) diminuer de moitié la longueur de l intervalle de confiance à 9% pour m? b) obtenir un intervalle de confiance à 95% pour m ayant la même longueur? Exercice 9 On observe les données x,...,x 6, distribuées selon la loi N (m ; ), et y,...,y distribuées selon la loi N (m ; )(m, m, et sont inconnus, et les variables sont supposées indépendantes dans leur ensemble). Pour le premier échantillon, les moyenne et variance empirique sont de : ˆm x = P 6 6 k= x k = 49, etˆx = P 6 5 k= (x k ˆm x ) =, 8, tandis que pour le deuxième échantillon on obtient : ˆm y = 48, 4etˆy =3, 4. a) Construire des intervalles de confiance à 95% pour m et pour m. b) On dispose à présent de plus d information qu au point a) : les variances et sont maintenant supposées connues, de valeurs respectives, 5 et 3. Donner de nouveaux intervalles de confiance à 95% pour m et m. c) En supposant toujours que =, 5et = 3, donner la distribution de la di érence ( ˆm X ˆm Y ) des moyennes empiriques de chaque échantillon, puis construire un intervalle de confiance à 9% pour (m m ). Exercice 93 Les poids en grammes de pots de confiture sortis successivement d une machine à conditionner ont été les suivants (les résultats sont donnés par classes de longueur, l origine de la ère classe étant et l extrémité de la dernière 4) : classe nombre de pots On admet que les poids X des pots sont indépendants de loi N (m; ). a) Donner une estimation de m et. b) Donner des intervalles de confiance de niveau 95% et 99% pour m. Exercice 94 Une étude e ectuée sur 3 employés d une entreprise a révélé que le nombre moyen, X, de cafés bus annuellement à la cafétéria de l entreprise par un employé suit une loi normale de moyenne 5 et d écart-type. Donner un intervalle de confiance à 95% de la moyenne et de la variance de X. Exercice 95 Une entreprise souhaite recruter un ingénieur informaticien mais n a pas encore décidé quel salaire annuel proposer pour l embauche. Ne voulant pas proposer un salaire trop éloigné des salaires moyens proposés dans les autres entreprises, le recruteur décide d interroger ingénieurs sur leurs salaires annuels. Il ressort de l enquête que le salaire moyen des ingénieurs est de 48 CHF avec un écart-type de CHF. a) Donner l intervalle de confiance au seuil 9% du salaire moyen. b) Est-il raisonnable de dire que grosso-modo le salaire moyen d un ingénieur est de 5 CHF?

11 Exercice 96 On observe un échantillon y,...,y n d une distribution Gamma(3, )dedensité f(y) = e y ( y) y>. Déterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance de. Exercice 97 Donner l estimateur de vraisemblance d une distribution de Poisson ( ) à partir d un échantillon z,...,z m. Exercice 98 Dans la population des ménages d un pays lointain on considère le montant des économies mensuelles X (exprimées en milliers de maravedis) qui possède la distribution de densité f(x) :=k xe kx [,+] (x) x R, où le paramètre k est inconnu. On prélève un échantillon de 4 ménages et on a calculé la moyenne x =. a) Estimer k en utilisant la méthode de maximum de vraisemblance. b) En donner un intervalle de confiance au seuil 95%. c) Quel est le pourcentage des familles qui économisent moins de maravedis par mois (on oublie l erreur d estimation de k)? Exercice 99 Considérons un disque D de centre O connu et de rayon R inconnu. a) On choisit un point x uniformément dans D. Ceci signifie que si A est un sous-ensemble de D de surface s(a), alors : P {x A} = s(a)/( R ). Soit la distance de x à O. Pour r, que vaut la probabilité P { apple r}? En déduire la densité de la variable aléatoire. b) On choisit maintenant n points indépendamment et uniformément dans D, en notant,,..., n leurs distances au centre O. Donner l estimateur du maximum de vraisemblance de R comme fonction de,,..., n. Calculer le biais de cet estimateur et donner ensuite un estimateur sans biais de R. Exercice Soit X,...,X n un échantillon aléatoire issu de la loi uniforme U(,b). Trouver l estimateur de maximum de vraisemblance de b. Exercice On considère un n échantillon X,...,X n de loi p U[,a]+( p) U[,b], i.e. que X i suit la loi uniforme sur [,a] avec la probabilité p et la loi uniforme sur [,b] avec la probabilité p. On suppose a<bavec a et b fixés et connus. a) Déterminer la fonction de répartition et la densité de X. b) Considérons N a la variable aléatoire égale au nombre d individus X i compris entre et a. Quelle est la loi de N a? En déduire son espérance et sa variance. c) Déterminer l estimateur de maximum de vraisemblance de p. Exercice On observe (X,...,X n ), n-échantillon de la loi uniforme sur [a, b], de moyenne théorique a+b a+b. Quelle est l erreur quadratique E{(X ) } de la moyenne empirique? Exercice 3 On observe le temps d attente de n personnes à un feu rouge, temps notés t,...,t n.on fait l hypothèse que les temps d attente sont indépendants et de même loi uniforme U[, ]. La durée d attente maximale à ce feu rouge est donc, paramètre inconnu et strictement positif. a) Monter que = T où T = n P N i= T i est un estimateur sans biais de et que sa variance converge vers quand n!. b) Calculer la fonction de répartition et la densité de la variable aléatoire M n = max n i= T i. Calculer son espérance et sa variance. c) En déduire un deuxième estimateur sans biais de. Montrer que sa variance converge également vers quand n!. d) Lequel des deux estimateurs et choisiriez-vous pour estimer? e) Montrer que M n et convergent en probabilité vers. Exercice 4 La durée T séparant deux arrivées successives de requêtes à un serveur suit une loi exponentielle de paramètre et de densité : f(t ) = e t pour t>. On suppose que le paramètre est stochastique et suit une loi exponentielle de paramètre densité g( ) = e connu, de

12 La densité g( ) représente donc la densité a priori sur le paramètre. a) Montrer que la densité a posteriori de est proportionnelle à e (t+ ). b) On observe un échantillon de n durées t,...,t n. Déterminer à partir des observations t i les estimateurs du maximum a posteriori de. Exercice 5 Une entreprise produit des composants électroniques. Le responsable de la chaîne de production a rme que seul 5% des composants produits sont défectueux. Un inspecteur de qualité affirme quant à lui que la proportion de composants défectueux est plus élevée et l estime à %. Afin de déterminer lequel des deux est le plus près de la réalité, un échantillon de composants est prélevé aléatoirement et testé. Le test révèle 3 composants défectueux. On se place dans un cadre bayésien. On note p la variable aléatoire égale à la probabilité qu un composant soit défectueux et X la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux parmi les composants. En l absence d information supplémentaires, on suppose a priori que les taux de défaillance de 5% et % sont équiprobables. a) Traduire l énoncé en termes probabilistes sur p et X. b) Calculer la probabilité marginale que X = 3. c) Calculer la fonction de masse a posteriori de p et interpréter le résultat. d) Calculer la moyenne a posteriori de p et sa variance a posteriori. e) Conclure.

13 Probabilités et Statistique pour SIC Problèmes Problème Un mot de passe est consitué de six lettres, sans tenir compte de leur casse. Combien de mots de passe existe-il? Combien de mots de passe ne contiennent que des lettres distinctes? Problème Pour constituer une équipe de football ( joueurs), on a le choix entre postulants. En supposant que chaque joueur est polyvalent (il peut jouer à tous les postes), combien peut-on constituer d équipes différentes? Si parmi les postulants, 7 sont joueurs de champ et 3 sont gardiens, combien d équipes distinctes peut-on alors constituer? Problème 3 Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former à l aide des six chiffres, 3, 5, 6, 7, 9? Combien de ces nombres sont : a) inférieurs à 5? b) impairs? c) pairs? d) multiples de 5? Problème 4 Six serveurs sont connectés par une ligne de communication. A chaque instant, un serveur donné est soit prêt à transmettre, soit déjà occupé. a) Combien d états du système formé des six serveurs y a-t-il? b) Combien y a-t-il de possibilités que 3 serveurs exactement soient prêts à transmettre à un instant donné? Problème 5 Combien de façons y-a-t-il de mettre 4 tours sur un échiquier de sorte qu aucune tour n en menace une autre? Problème 6 On souhaite souder 8 composants électroniques sur un circuit imprimé, 4 composants du type A et 4 composants du type B. Le circuit imprimé ne dispose que de 8 places libres alignées. Combien y-a-t-il de façons de procéder si : a) Il n y a pas d autres restrictions. b) Les composants A doivent rester ensemble et les composants B également. c) Seuls les composants A doivent rester ensemble. d) Les composants A et B doivent être alternés. Problème 7 Raymond a oublié son mot de passe pour accéder à sa messagerie électronique. Il se souvient néanmoins que son mot de passe contient r occurrences de la lettre c, dont en dernière position. Les autres symboles ne peuvent être que a ou b. Combien de mots de passe de longueur n pourraient être celui de Raymond? Problème 8 Afin de pouvoir mieux organiser les nombreux fichiers associés à un logiciel (fichiers de données, de code,...), on impose un nouveau système pour nommer ceux-ci. Dans un tel système, un nom de fichier se compose d un identificateur et d une extension reliés par un point. Un identificateur de fichier comporte de à 5 caractères dont le premier est une lettre, les caractères suivants sont soit une lettre soit un chiffre. Une extension comporte de à 3 caractères, le premier est une lettre, les suivants une lettre ou un chiffre. De façon à ne pas avoir des noms trop imprononçables, on n utilise que lettres de A à T, toutes en minuscule. a) Combien d identificateurs de fichiers peut-on avoir? b) Combien de noms de fichier existe-t-il? c) Les fichiers dont l extension commencent par la lettre d sont des fichiers de données. Combien de possibilités y a-t-il pour nommer les fichiers de données? Problème 9 Calculer le nombre de diagonales d un polygone à n 3 côtés. Existe-t-il un polygone où le nombre de côtés soit égal au nombre de diagonales? 3

14 Problème 4 composants éléctroniques de type A, 3 composants de type B et 5 composants de type C doivent être montés en série. La seule contrainte au fonctionnement du système est que les composants de même type doivent rester groupés. Combien de dispositions peut-on imaginer? Problème Il faut répartir 4 ordinateurs dans deux bureaux de 7 personnes chacun. Combien y a-t-il de répartitions possibles entre les deux bureaux a) en supposant que la répartition au sein des bureaux a de l importance? b) en supposant que la répartition au sein des bureaux est sans importance? Problème Quatre bits sont transmis à travers un canal. On regarde à la réception l état de ces quatre bits, dans l ordre de réception. Chaque bit est soit correctement reçu, soit reçu avec erreur de transmission. On note d un bit reçu sans erreur et e un bit reçu avec erreur. a) Quel est l ensemble fondamental Ω pour cette expérience aléatoire? b) Lister les événements tels que au plus un bit soit reçu avec erreur. c) Dénombrer les événements tels que plus de la moitié des bits soient transmis avec erreur. Problème 3 Un contrôle de qualité est effectué chaque heure sur des cartes à puce.a chaque test, la carte à puce testée est classée selon son bon ou mauvais fonctionnement. Le contrôle s arrête lorsque deux cartes à puce consécutives sont défectueuses, ou lorsque quatre cartes à puces ont été testées. Quel est l ensemble fondamental Ω de cette expérience? Problème 4 Dans une fabrique de processeurs, on prélève toutes les heures les trois derniers processeurs produits et on note dans l ordre de prélèvement l état de ces trois processeurs. Chacun est classé dans une des deux categories : en état de marche, codé, et défectueux, codé. a) Décrivez l espace fondamental associé à cette expérience aléatoire. b) Décrivez (en termes ensemblistes) les événements suivants : i) le premier processeur est défectueux, ii) le dernier processeur est en état de marche, iii) deux processeurs sont défectueux, iv) au moins deux processeurs sont en état de marche. Problème 5 Un disque dur a % de chance de tomber en panne. Par conséquent, il est muni de deux backups, chacun ayant % de chance de tomber en panne. L information est perdue uniquement lorsque les trois composants sont en panne. En supposant que les trois composants fonctionnent indépendamment les uns des autres, quelle est la probabilité que l information soit sauvée? Problème 6 Trois terminaux sont reliés à un ordinateur via lignes de communication. Le terminal a sa propre ligne alors que les terminaux et 3 partagent une ligne de telle sorte qu à chaque instant un seul de ces deux terminaux peut être utilisé. Durant une journée de travail, le terminal est utilisé 3 minutes chaque heure, le terminal est utilisé minutes chaque heure et terminal 3 est utilisé 5 minutes chaque heure. En supposant que les lignes de communication opèrent de manière indépendantes, quelle est la probabilité qu au moins un terminal soit opératif à un moment quelconque de la journée de travail? Problème 7 Quelle est la probabilité pour que l écriture décimale d un nombre entier tiré au hasard entre et 9999 comporte au moins une fois le chiffre? Indication : utiliser la formule d inclusion-exclusion. Problème 8 Au jeu de loto, sous contrôle d un huissier, 6 numéros parmi 49 numéros de à 49 sont tirés au hasard. Un joueur de loto doit jouer 6 numéros distincts (on ignore ici la notion de numéro complémentaire ). On dit qu on a gagné la cagnotte si les 6 numéros joués correspondent aux 6 numéros tirés. a) Quel est l espace fondamental associé aux tirages? b) Quelle est la probabilité de gagner la cagnotte? c) La société organisatrice du loto envisage de passer de 49 numéros à 6 numéros avec un tirage de 8 numéros plutôt que 6. Aura-t-on plus de chances de gagner la cagnotte? Problème 9 Sophie veut parier à une course de chevaux mais n a aucune idée des performancesdes jockeys et chevaux. Elle décide donc de parier au hasard. a) Sophie a-t-elle plus de chance de trouver les 3 chevaux de tête dans l ordre lors d une course de 7 chevaux, ou les 4 premiers chevaux dans l ordre lors d une course de 8 chevaux? b) Même question que précédemment mais dans le désordre. 4

15 Problème Des bits sont envoyés à la suite sur un canal. Un bit donné prend la valeur avec la probabilité p. Les bits envoyés sont indépendants. a) On enregistre deux bits à la suite b et b. i) Quelle est la probabilité que les deux bits aient des valeurs différentes? ii) Quelle est la probabilité que le second bit soit égal à si le premier est égal à? b) On note maintenant la valeur de quatre bits envoyés à la suite. i) Trouver la probabilité d avoir au moins deux bits égaux à parmi les quatre. ii) Trouver la probabilité d avoir au moins deux bits égaux à et le quatrième bit à. Problème Un logiciel libre programmé par un étudiant de l EPFL contient 5 bugs, répartis uniformément dans le code. Le code comporte lignes dont 3 de commentaire. Une certaine exécution du logiciel passe par /3 des lignes exécutables. Quelle est la probabilité que le programme s exécute correctement? Problème n résistances sont installées en série, dont les résistances A et B. a) Décrire l ensemble fondamental associé à cette expérience, et en donner le nombre d éléments. b) Quelle est la probabilité qu il y ait k résistances placées entre A et B ( k n )? c) Vérifier votre résultat pour n = 3 en explicitant tous les cas possibles. Problème 3 Le Daily Mail du 3 octobre rapporte que la famille Allali (Angleterre) vient juste d avoir son troisième enfant et que, fait surprenant, ses trois enfants sont tous nés le même jour (un 7 octobre, en 5, 7 et ). Le journaliste affirme qu il y a moins d une chance sur 48 millions que trois enfants d une famille (ni jumeaux, ni triplets) naissent un même jour. Que pensez-vous de cette affirmation? Problème 4 Vous venez d installer un module de détection de courriers indésirables dans votre client de courrier électronique. Le module réussit à identifier les courriers indésirables dans 99% des cas. Néanmoins le module annonce qu un message est indésirable alors qu il ne l est pas dans % des cas. Les statistiques officielles indiquent que % des courriers électroniques reçus sont indésirables. Quelle est la probabilité qu un message soit effectivement indésirable lorsque le module indique que c est le cas? Problème 5 A un test de fin d année, trois élèves, Alain, Boris et Charles, ont oublié de mettre leur nom sur les copies. Le professeur sait quels sont ces trois élèves mais ne sait pas quelle copie appartient à chacun d entre eux. Il estime néanmoins que Alain a 8% de chance d avoir réussi l examen, Boris 7% et Charles 6%. Après correction des trois copies, il s avère que deux ont réussi l examen et un l a échoué. En supposant que les étudiants ont travaillé indépendamment, quelle est la probabilité que ce soit Charles qui ait échoué à l examen? Problème 6 L envoi d un paquet du serveur S au serveur S sur internet passe par deux routeurs intermédiaires R et R. La probabilité que le paquet se perde sur chaque segment du chemin S R R S est p. On constate, au niveau du serveur S la perte du paquet. Quelle est la probabilité qu il ait été perdu au niveau de S?deR?deR? Problème 7 Un routeur reçoit l essentiel des paquets qu il fait transiter depuis deux autres routeurs R et R, en proportion équilibrée. On constate qu environ un paquet sur est endommagé lorsque ceux-ci proviennent de R, alors que seulement un paquet sur est endommagé lorsqu ils proviennent de R. On considère un paquet reçu de l un de ces deux routeurs R ou R. Le paquet inspecté n est pas endommagé. Quelle est la probabilité qu il provienne de R? Problème 8 programmes informatiques sont testés contre diverses sources d erreurs. Il est trouvé que d entre eux ont des erreurs de syntaxe, des erreurs d entrée/sortie qui ne sont pas des erreurs de syntaxe, 5 ont d autres types d erreurs, 6 ont à la fois des erreurs de sytaxe et des erreurs d entrée/sortie, 3 ont des erreurs de syntaxe ainsi que d autres types d erreur et un seul a les trois types d erreur. Un programme est sélectionné aléatoirement parmi ces programmes. a) Exprimer sous forme de probabilités les quantités données dans l énoncé. b) Quelle est la probabilité que le programme sélectionné ait des erreurs de syntaxe ou des erreurs d entrée/sortie ou les deux? c) On sait que le programme sélectionné a une erreur de syntaxe. Quelle est la probabilité qu il ait également une erreur d entrée/sortie? 5

16 Problème 9 Des requêtes sont effectuées sur des serveurs via 5 lignes de communication. Les lignes de communication ne sont pas utilisées égalitairement : les pourcentages des requêtes envoyées sur les lignes,, 3, 4 et 5 sont respectivement de, 3,, 5 et 5. De plus la ligne sur laquelle est envoyée la requête dépend de la longueur de la requête : la probabilité qu une requête excède caractères sur les lignes à 5 est respectivement de.4,.5,.6,. et.8. Quelle est la probabilité qu une requête quelconque excède caractères? Problème 3 On tire au hasard deux chiffres entre et 9. Quelle est la probabilité que le premier chiffre soit 6, sachant que la somme des deux est 6? Problème 3 Un magasin d électronique a remarqué que la probabilité p n que n clients entrent dans le magasin un jour donné est p n ( p), n =,,... De plus, lorsqu un client visite le magasin, il en ressort avec un achat deux fois sur trois. Néanmoins, le client n est pas satisfait de cet achat et le rapporte au magasin une fois sur quatre. On suppose que le fait d acheter un produit et le fait d en être satisfait sont des événements indépendants. a) Quelle est la probabilité qu un client achète un produit et en soit satisfait? b) Si on sait que k produits vendus n ont pas été rapportés au magasin, montrer que la probabilité conditionnelle que le magasin ait reçu la visite de n clients est donnée par C k n pn k ( p) k+ / n+, n k. Problème 3 La probabilité pour que la durée de vie d un composant dépasse heures est de 8% et on admet que les pannes des différents composants sont indépendantes. a) Avec 3 composants, on réalise un montage en série. Il suffit que l un des composants tombe en panne pour que le système ne fonctionne plus. Quelle est la probabilité pour que celui-ci fonctionne au moins heures? b) Avec les mêmes composants que précédemment, on réalise un deuxième montage en parallèle. Dans ce cas pour que le système ne fonctionne plus il faut que tous les trois composants soient en panne. i) Quelle est la probabilité pour que le système fonctionne au moins heures? ii) Sachant que le système, qui a été sous tension heures, est en état de fonctionnement, quelle est la probabilité qu un composant au moins soit défectueux? Problème 33 Dans une assemblée de n personnes, on doit constituer un comité de s personnes puis désigner un président parmi celles-ci. Les n personnes n arrivant pas à se mettre d accord pour former le comité, elles décident après des heures de débat de procéder par tirage au sort, aussi bien pour désigner les s personnes du comité que son président. M. Truc, membre de l assemblé, n est pas le président du comité. Quelle est est la probabilité que celui-ci fasse néanmoins partie du comité? Problème 34 On met au point un algorithme pour détecter si une page web écrite en anglais est rédigée par un natif (quelqu un dont l anglais est la langue maternelle). On évalue que 55% des pages web en anglais sont écrites par des natifs. L algorithme réussit à détecter correctement que la page est écrite par un natif dans 95% des cas lorsque la page est effectivement écrite par un natif. Elle affirme cependant incorrectement que la page est écrite par un natif alors que ce n est pas le cas avec probabilité %. Quelle est la probabilité qu une page soit écrite par un natif lorsque l algorithme l affirme? Problème 35 Un étudiant passe un test sous la forme d un questionnaire à choix multiple ; pour chacune des questions posées, il y a 5 réponses proposées, dont une seule réponse juste. Si l étudiant connaît la réponse juste, il la choisit. Dans le cas contraire, il choisit une réponse au hasard parmi les 5 réponses proposées. L étudiant connait la réponse juste à 7% des questions. a) Quelle chance a l étudiant de répondre correctement à une question donnée? b) Si pour une question l étudiant a répondu correctement, quelle est la probabilité qu il ait répondu en connaissance de cause (c est-à-dire pas au hasard)? Problème 36 Une requête peut être envoyée de manière équiprobable sur six serveurs, quatre étant de type X et deux serveurs étant de type Y. Deux requêtes consécutives ne peuvent pas être envoyées sur le même serveur. On considère deux requêtes consécutives. a) Décrire l ensemble fondamental Ω de cette expérience stochastique. b) Définissons les événements suivants B = la première requête est envoyée sur un serveur de type X etb = la seconde requête est envoyée sur un serveur de type X. i) Calculer les probabilités P (B ), P (B B ), P (B B c )etp (B ). ii) Vérifier que P (B B )+P (B c B )+P (B B c )+P (B c B c )=. 6

17 Problème 37 Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d une personne malade sur. Un responsable d un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à 99%. Si une personne n est pas malade, le test est positif à.%. Autorisez-vous la commercialisation de ce test? Problème 38 On considère le jeu de dé suivant : pour participer au jeu, on mise 3 CHF. Puis on lance le dé et on récupère 5 CHF si le nombre obtenu est 6. Le jeu est-il en moyenne rentable? A partir de quel gain pour l obtention d un 6 devriendrait-il rentable? Problème 39 On considère l algorithme naïf ci-dessous pour trouver le plus grandélément,notém, dans une liste non vide L de n é l é m e n t s :. On initialise le maximum M avec la valeur du premier élément de la liste.. On parcourt ensuite la liste, du ième au dernier élément, et on affecte cet élément à M si celui-ci est plus grand que la valeur courante de M. Lors du traitement d une liste de taille n : a) Quel est le nombre de comparaisons effectuées? b) Quel est le nombre d affectations à M dans le cas le plus favorable? le plus défavorable? Dans la suite, on suppose que les éléments de la liste sont deux-à-deux distincts et que les n! permutations possibles ont la même probabilité d apparaître dans la liste. Soit p(n, k) la probabilité pour que, lors du déroulement de l algorithme sur une liste (aléatoire) L de taille n, k affectations soient nécessaires. c) Montrer la récurrence suivante, pour n etk : p(n, k) = n p(n,k ) + p(n,k) n n Indication : Raisonner selon que le nième élément est maximal ou non. d) Soit E n l espérance mathématique du nombre d affectations effectuées lors du traitement d une liste de taille n. Déduire de la récurrence ci-dessus la récurrence sur E n : E n = n + E n et donner une approximation de E n (en fonction de n) lorsque n +. Problème 4 Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans les nombres naturels. Montrer que E(X) = n= P (X n). Problème 4 On désire estimer le nombre N de poissons dans un lac sans avoir à tous les compter. Une méthode pour cela est la méthode dite de la capture-recapture : dans un premier temps, M poissons sont capturés, marqués d une certaine façon pour les distinguer, puis relachés dans le lac. Quelques minutes plus tard (le temps que les poissons aient pu se mélanger), n poissons sont capturés, et on note X le nombre de poissons qui sont marqués, parmi ces n poissons. (Cette méthode a été introduite par Laplace en 768 pour estimer la population de la France.) a) Calculer la fonction de masse de X. b) L application de cette méthode au lac Léman donne X = k. Déterminer alors le nombre de poissons du lac Léman, N, le plus probable, i.e. trouver ˆN maximisant la probabilité P (X = k) (on parle de maximum de vraisemblance). c) Montrer que l espérance de ˆN est infinie. Problème 4 Un joueur tourne une roue. A chaque essai, il a une probabilité p de tomber sur une case lui rapportant CHF et p de tomber sur la case banqueroute qui lui fera tout perdre et l éliminera du jeu. Il débute avec une somme initiale nulle et souhaite atteindre un gain G, après quoi il quittera le jeu s il n y a pas déjà été contraint avant. Les résultats successifs obtenus en tournant la roue sont supposés indépendants. a) Quelle est la probabilité que le joueur atteigne le gain G qu il s était fixé? b) En déduire l espérance du gain final. Problème 43 Une requête est envoyée sur un réseau. On suppose qu il a une probabilité p [, ] que cette requête reçoive une réponse. Dans le cas contraire, la requête est renvoyée jusqu à ce qu une réponse soit reçue. On note T le nombre d essais nécessaires à cela. Donner la fonction de masse de T. 7

18 Problème 44 Pour la nouvelle année, un fournisseur internet décide de proposer une offre spéciale d abonnement pour attirer de nouvels utilisateurs. Chaque nouvel utilisateur reçoit l offre spéciale avec une probabilité de.. nouvels utilisateurs s inscrivent à ce fournisseur internet. Par quelle loi peut-on modéliser le nombre d entre eux qui bénéficient de l offre spéciale? Calculer la probabilité qu au moins le quart d entre eux en bénéficient. Problème 45 Un chef d entreprise, pour éviter l attente des camions venant livrer, envisage de construire de nouveaux poste de déchargement. Actuellement, 5 postes sont en activité. Pour simplifier l étude, on considère qu il faut une journée entière pour décharger un camion. On désigne par X la variable aléatoire mesurant le nombre de camions venant livrer chaque jour. Une enquête statistique préalable a montré qu on pouvait assimiler la loi de X à une loi de Poisson de paramètre 4. a) Quelle est la probabilité de n avoir aucun camion en attente? b) Combien faudrait-il de postes de déchargement pour porter cette probabilité à plus de.9? Problème 46 Un concierge rentre de soirée. Il dispose de n clés dont une seule ouvre la porte de son domicile mais il ne sait plus laquelle. a) Il essaie les clés les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clé qui n a pas convenu. Quelle est la probabilité que la porte ouvre après le kième essai? b) En réalité la soirée a été bien arrosée et le concierge ne pense pas à mettre de côté la mauvaise clé après l avoir essayée. Donner la loi du nombre d essais nécessaires pour trouver la bonne clé. Quelle est la probabilité que la porte ouvre après le kième essai? Problème 47 Pour l étude des sols d une région, on effectue des tests à partir d échantillons prélevés sur le terrain. Cinq échantillons doivent être soumis aux tests et on sait que la probabilité qu un échantillon prélevé s avère être inadéquat (endommagé par exemple) est de.. Si l on veut être assuré de disposer de cinq échantillons utilisables avec une probabilité au moins égale à.99, combien d échantillons faut-il prélever? Problème 48 Une version avancée d un jeu sur console sort. 6% des joueurs ont passé tous les niveaux de la version précédente. 3% d entre eux décident d acheter la version avancée alors que seulement % des joueurs n ayant pas passé tous les niveaux décident de l acheter. a) Quelle est la probabilité qu un joueur achète la version avancée du jeu? b) Sur joueurs, quel est le nombre moyen de personnes achetant la version avancée? c) Quelle est la probabilité qu au moins trois joueurs l achètent? Problème 49 La production d un certain composant donne 5% de composants défectueux. On a besoin de composants non défecteux pour nouveaux ordinateurs. Les composants sont testés jusqu à ce que composants non défectueux soient trouvés. a) Quelle est la loi du nombre X de composants à tester avant d en trouver fonctionnels? b) Quelle est la loi du nombre Y de composants fonctionels parmi testés? c) Calculer de deux façons, à partir de a) et b), la probabilité que plus de composants doivent être testés pour en trouver fonctionnels. Problème 5 On considère une classe composée de N 6 élèves, N pair, qu on regroupe aléatoirement deux par deux. On s intéresse aux N/ couples distincts ainsi formés. a) Donner la loi du nombre de couples ayant leur anniversaire le même jour, c est-à-dire au nombre de couples formés de deux personnes nées un même jour de l année (mais pas nécessairement une même année). On supposera pour simplifier qu une année est composée de 365 jours. b) Calculer de deux façons, en fonction de N, la probabilité qu au moins un couple ait son anniversaire le même jour. Indication : utiliser l approximation par la loi de Poisson (en la justifiant). c) Quel doit être le nombre minimal d étudiants dans la classe pour que cette probabilité soit supérieure à 6%? Faire le calcul de deux façons. Problème 5 A un instant t donné, n serveurs cherchent à envoyer une réponse chacun (n réponses au total pour les n serveurs) via n canaux de transmission indépendants. Ces canaux étant partagés par d autres serveurs, il y a une probabilité p qu un canal soit déjà occupé à cet instant. Lorsqu un serveur essaie d envoyer une réponse sur un canal occupé, l envoi échoue et la réponse est mise en attente jusqu au pas de temps suivant (t+) lorsque le serveur retente l envoi, et ainsi de suite jusqu à ce que les n réponses aient été envoyées. a) On considère une réponse particulière à envoyer, 8

19 i) Quelle est la loi du nombre de pas de temps nécessaires à l envoi de cette réponse? ii) Quelle la probabilité que moins de k pas de temps soient nécessaires? b) On considère les n réponses à envoyer, i) Quelle est la probabilité que moins de k pas de temps soient nécessaires à l envoi de ces n réponses? ii) En déduire la probabilité qu exactement k pas de temps soient nécessaires. Problème 5 n serveurs sont connectés via une ligne de communication. On estime le réseau tel que, chaque minute, un serveur reçoit avec une probabilité p une requête sur cette ligne. De plus, durant une minute quelconque, un serveur ne peut recevoir plus d une requête. a) Quelle est la loi du nombre de requêtes reçues par minute par les n serveurs? b) En déduire l espérance et la variance de la proportion de requêtes reçues par serveur sur une minute. Problème 53 Une enquête réalisée auprès de clients fréquentant un magasin révèle que, une fois entrés dans le magasin, 4% d entre eux font un achat. Sur clients entrés dans le magasin, on désigne par X le nombre de ceux qui ont réellement acheté quelque chose. a) Quelle est la fonction de masse de X? Calculer son espérance et sa variance. b) Calculer la probabilité que moins de 3 personnes aient fait des achats. c) Calculer la probabilité que plus de 5 personnes aient fait des achats. Problème 54 L utilisation d un logiciel de reconnaissance d écriture a produit, à partir de pages de texte, 5 erreurs réparties au hasard. a) Donner une valeur exacte de la probabilité qu une page retranscrite par le logiciel contienne moins de erreurs. b) Calculer la probabilité de cet événement si on remplace la loi du nombre d erreurs par une loi de Poisson bien choisie. Problème 55 Un serveur dessert postes via 5 lignes à haut débit. Aux heures de pointe, chaque poste est occupé en moyenne pendant, 5 secondes par minute. On suppose les postes indépendants. Quelle est la probabilité de saturation du réseau pendant une durée moyenne d une minute de pointe? Problème 56 Une variable aléatoire X a pour densité f(x) = { x 3, x, x <. Calculer sa moyenne et sa variance. Problème 57 La durée de vie d un composant (en années) est une variable aléatoire continue de fonction de densité { k f(x) = x si x 4 si x< a) Trouver k. b) Calculer la fonction de répartition de la durée de vie du composant. c) Calculer la probabilité que la durée de vie du composant excède 3 ans. d) Quelle est la durée de vie moyenne du composant? e) Quel est l écart-type de durée de vie? Problème 58 La fonction de répartition de Pareto à deux paramètres θ>etα>est ( F (x) ={ x ) θ α, x > α., x α a) Vérifier qu il s agit bien d une fonction de répartition. b) Calculer les moments d ordre et. A quelle condition sont-ils finis? Problème 59 On suppose que le temps d attente entre deux jobs successifs d une imprimante est en moyenne de /4 d heure. a) Quelle loi utiliser pour le temps d attente (en heure) entre deux jobs? b) Quelle est la probabilité que le job suivant soit envoyé dans les 5 minutes? 9

20 Problème 6 La durée de vie d un processeur a une moyenne µ =ansetunécart-typeσ =4ans. a) En déduire la valeur des paramètres de la loi (à préciser) décrivant la durée de vie du processeur. b) Calculer la probabilité que le processeur ait une durée de vie entre et5ans. Problème 6 On admet que la température moyenne en hiver à Rome suit une loi normale de moyenne de Cetd écart-type4 C. Pour un hiver de température moyenne inférieure à 4 C, l état de grand froid est décrété. On suppose les températures indépendantes d un hiver à l autre. a) Quelle est la probabilité que l état de grand froid soit décrété un hiver donné? b) Quelle est la probabilité que l état de grand froid ne soit pas décrété sur une période de ans? Problème 6 On joue à pile ou face, et le résultat X vaut pour pile et pour face. Si la pièce tombe sur face, on jette encore un dé équilibré, et on obtient le résultat Y {,...,6}. Soit Z = X + Y le score total. Calculer les espérance et variance conditionnelles de Z sachant X et les utiliser pour vérifier le théorème 67. Problème 63 Un examen d algèbre linéaire consiste en questions à choix multiples, chacune avec quatre choix à disposition, dont un seulement correct. Il faut répondre correctement à questions pour réussir l examen. Ayant pris ses révisions un peu à la légère, un étudiant décide de répondre aux questions de manière aléatoire. Trouver l espérance et la variance du total des points qu il obtiendra. Quelle est la probabilité qu il réussisse son examen? Une fois l examen terminé, il discute avec ses amis, et ils concluent qu il a coché la bonne réponse à six questions, et une fausse réponse à quatre autres questions. Quel est l espérance du total de points obtenus, conditionnée sur cette nouvelle information? Quelle est à présent la probabilité qu il réussisse l examen? Problème 64 Le téléchargement d un logiciel se fait via deux miroirs possibles, l un situé en Europe et l autre aux Etats-Unis. On estime que, selon l état du réseau, le téléchargement via l un de ces deux miroirs met entre a et b secondes, toute durée entre ces deux valeurs étant équiprobable. Les temps de téléchargements via les deux miroirs sont indépendants. a) Quelle est la loi du temps nécessaire au téléchargement en passant par l un des deux miroirs? Donner sa fonction de répartition. b) Adrien demande simultanément le téléchargement du logiciel par les deux miroirs. i) Quelle est la fonction de répartition du temps au bout duquel le premier téléchargement du logiciel sera terminé? ii) Calculer son espérance et sa variance. Problème 65 Un calcul sur ordinateur nécessite l appel à n fonctions, dont les temps de calculs sont indépendants et de loi normales N (µ i,σ i ). On suppose que le programme principal appelant ces fonctions ajoute un temps b, fixe, au temps total de calcul. Quelle est la loi du temps total de calcul? Problème 66 Le nombre N de moustiques dans ma chambre d hôtel une fois la nuit tombée suit une distribution de Poisson de moyenne λ, et chacun d eux me pique indépendamment avec probabilité p. Trouver les moyenne et variance conditionnelles du nombre Z de piqûres que j aurai le matin, sachant qu il y avait N = n moustiques. Utilisant ces résultats, trouver les moyenne et variance non conditionnelles de Z. Utiliser les espérances conditionnelles pour calculer la fonction génératrice des moments de Z. Quelle est la distribution de Z? Problème 67 Les variables aléatoires X et Y sont toutes deux discrètes avec une fonction de probabilité conjointe définie dans le tableau ci-dessous. Y X p p p 3p p p Calculer la fonction de probabilité marginale P X (x) dex. Quevautp? Calculer également E(Y )et E(XY ). Problème 68 On suppose que la durée de vie d un individu est une variable aléatoire de densité { ct f(t) = (t ) si t [, ]. sinon a) Calculer la constante c. b) Quelle est l espérance de vie moyenne d un individu? c) Quelle est la probabilité qu un individu ait une durée de vie entre 5 et 8ans?

21 Problème 69 Un système a une durée de vie aléatoire X de densité donnée (en mois) par : { cxe x/ x> f(x) = x Quelle est la probabilité que le système fonctionne pendant au moins 5 mois? Problème 7 Les timbres produits par la poste sont théoriquement de forme carrée de côté l =.5 cm. Néanmoins, la machine étant mal calibrée, les timbres produits ne sont pas toujours exactement de côté l mais restent toujours carrés. On suppose que l erreur de production est de +/-. cm par côté et que toutes les valeurs entre ces deux bornes sont équiprobables. a) Par quelle loi peut on modéliser les longueurs mesurées? Donner sa fonction de répartition. b) Quelle est la fonction de répartition de l aire du timbre? Problème 7 Adèle attend l ascenseur, dont la capacité maximale est de 75 kilos. L ascenseur arrive avec adultes dedans. On suppose que le poids moyen d un adulte suit une loi normale de moyenne 7 kilos et d écart-type de kilos. a) Quelle est la loi du poids des personnes dans l ascenseur? b) Est-il raisonnable qu Adèle, 55 kilos, entre dans l ascenseur? Problème 7 Des ingénieurs civils ayant participé à la construction du pont de Millau ont estimé que le poids W (en milliers de kilos) que la travée du pont peut supporter sans subir de dommage au niveau de sa structure, suit une loi normale, de moyenne 4 et d écart-type 4. Supposons que le poids (également en milliers de kilos) d une voiture est une variable aléatoire normale de moyenne 3 et d écart-type.3. Combien de voitures devraient se trouver sur cette travée pour que la probabilité de rupture soit supérieure à.? Problème 73 Soit Y une variable aléatoire de loi Gamma de paramètres α =/ etλ =. On rappelle que sa densité est { f Y (y) = πy e y, y >., y Soit X une autre variable aléatoire dont on ne connait que la loi conditionnellement à Y : la loi de X sachant Y est la loi normale N (, Y ). a) Calculer la densité du couple (X, Y ). b) Calculer la densité X. c) Calculer et reconnaître la densité conditionnelle de Y sachant X. Problème 74 Soit X une variable gaussienne centrée réduite et ɛ une variable indépendante de X telle que P (ɛ =)=P (ɛ = ) = /. On note Y = ɛx. a) Calculer Cov(X, Y ). b) Le vecteur (X, Y ) est-il gaussien? c) Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Problème 75 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité conjointe { c(x f X,Y (x, y) = + xy )si x, y sinon a) Déterminer la constante c. b) Déterminer la densité marginale de X et celle de Y. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? c) Calculer P (X >Y). Problème 76 On a calculé qu un certain logiciel produit en moyenne 5 erreurs toutes les heures d utilisation, avec un écart-type de. Donner un majorant de la probabilité d avoir plus de 3 erreurs en heures d utilisation. Qu en est-il si l écart-type passe à 4? Problème 77 Un serveur reçoit des requêtes de 8 lignes de communication. On sait que le nombre de requêtes issues d une quelconque de ces lignes est en moyenne de requêtesparseconde.onsuppose de plus que le nombre de requêtes est indépendant de la ligne. On souhaite savoir si le nombre total de requêtes reçues par le serveur n excède pas le seuil de 5 requêtes par seconde, qui est un seuil critique pour le serveur. a) Utiliser l inégalité de Markov pour obtenir un majorant de cette probabilité. b) Qu obtenez-vous en utilisant l inégalité de Chebyshov?

22 Problème 78 Un disque dur a 35 gigabytes de disponibles. Cela est-il vraisemblablement suffisant pour stocker 3 films de taille moyenne. gigabyte et d écart-type.4? Problème 79 La mise à jour d un logiciel nécessite l installation de 85 fichiers, installés séquentiellement. Le temps d installation est aléatoire, mais prend en moyenne 5 secondes par fichier, avec un écart-type de 4 secondes. Quelle est la probabilité que le logiciel soit mis à jour en moins de minutes? Problème 8 8 messages indépendants sont envoyés d un centre de transmission. Les messages sont traités séquentiellement et le durée de transmission d un message suit une loi exponentielle de paramètre λ = 5 min. Quelle est la probabilité que les 8 messages soient transmis en moins d une heure? Problème 8 Un serveur reçoit requêtes par minute. Néanmoins, suite à des problèmes sur les lignes de communication, on estime que la probabilité qu un requête échoue est de 4%. On suppose l échec ou non des requêtes indépendants. a) Quelle est exactement la probabilité pour que plus de 3 requêtes échouent en une minute? b) Donner deux approximations de la probabilité a), en les justifiant. Problème 8 N touristes veulent se rendre à Zermatt et doivent donc prendre le train à Täsch. Or le train ne comporte que deux wagons de n places chacuns. On admet que les choix des touristes de monter dans la voiture de tête ou de queue sont indépendants les uns des autres et qu un touriste quelconque a une chance sur deux de monter dans le premier wagon. a) Quelle est la probabilité p que tous les touristes ne puissent pas monter dans la voiture qu ils ont choisi? b) Combien aurait-il fallu de places dans le train si on sait que N =etsionveutquep soit inférieur à,? Problème 83 Une entreprise assemble 5 ordinateurs par jour. Les contrôles de qualité montrent que 95% des ordinateurs assemblés fonctionnent correctement. Donner une bonne approximation de la probabilité qu au moins 6 ordinateurs sans défaut aient été assemblés à l issue de 5 journées de travail. Problème 84 Le nombre de clients entrant dans un magasin un jour donné suit une loi de Poisson de paramètre. Quelle est la probabilité de ne pas tomber en-dessous de 5 clients sur un mois de jours ouvrables? On fera les hypothèses d indépendance qui s imposent. Problème 85 A partir d un échantillon aléatoire de 5 temps de réponse d un serveur, on a trouvé un temps de réponse moyen de 5 millisecondes avec un écart-type millisecondes. a) Donner un intervalle de confiance à 95% du temps de réponse moyen. b) Si l on souhaite que la longueur de l intervalle de confiance n excède pas.3 ms, quelle devrait être la taille de l échantillon testé? Problème 86 On admet que la durée de vie d un composant (en mois) est de distribution normale N (µ, 9). On teste de ces composants pour trouver une durée de vie moyenne ȳ =.9. Au seuil 99%, rejette-on l hypothèse µ =? Problème 87 Les connexions internet sont parfois ralenties dû à la latence de transmission du réseau. On souhaite quantifier cette latence. On envoie pour cela 5 paquets sur le réseau. On obtient une latence moyenne de.8 seconde, avec un écart-type de. seconde. Donner un intervalle de confiance au seuil 99.5% de la latence moyenne dans le réseau. Problème 88 L utilisation d un ordinateur consomme de l électricité. Sur 9 ordinateurs on a obtenu les coûts journaliers suivantes exprimés en CHF :,, 8, 6,,, 9, 5, 9, a) Calculer la moyenne et la variance de cet échantillon. b) On suppose que le coût journalier de l utilisation d un ordinateur suit une loi normale. Rejette-on l hypothèse d un coût journalier moyen de CHF au seuil 95%? Problème 89 Soit Y,...,Y n un échantillon aléatoire provenant d une distribution exp(λ). Trouver le test optimal pour tester l hypothèse H : λ = et son alternative H : λ>.

23 Problème 9 Soit Y,...,Y n un échantillon aléatoire provenant d une distribution de Poisson avec moyenne θ. Trouver le test optimal pour tester l hypothèse H : θ = θ et son alternative H : θ>θ. Montrer qu il n est pas toujours possible de trouver une région de rejet de taille α, etproposerune approximation pour la région de rejet si ce n est pas le cas. Problème 9 Dans le cas d un procès où un individu est accusé de crime, quel jugement erroné correspond à une erreur statistique de type I? (Considérer l hypothèse nulle comme étant l innocence de l accusé.) Un étudiant en droit s intéresse aux sentences appliquées à de jeunes adultes convaincus de grave crime à l arme blanche en Angleterre et dans le Pays de Galles. Il sélectionne aléatoirement un échantillon de 6 cas tirés des dossiers de justice pour la fin de l année 9 ; il trouve que la durée moyenne de la peine est de 6.87 mois, avec un écart-type de. mois. a) Construire un intervalle de confiance à 95% pour la durée moyenne de la peine. b) Quelles sont précisément les hypothèses faites en a)? c) Supposer que tous ces condamnés ont purgé la moitié de leur peine. Quelle sont les espérance et écart-type empiriques du temps de peine restant pour son échantillon aléatoire de 6 cas? d) Utiliser les résultats du point précédent pour tester au niveau % l hypothèse que le temps moyen passé en prison était d au moins 5 mois pour les jeunes adultes convaincus de grave crime à l arme blanche en Angleterre et dans le Pays de Galles. Problème 9 Supposer que les variables aléatoires X et X ont pour moyenne µ et µ respectivement et pour variance σ et σ,aveccorr(x,x )=ρ. a) Si a, a, b et b sont constant, prouver que cov(a X + a X,b X + b X )= i= j= en citant précisément les résultats utilisés. b) Prouver l énoncé ci-après, avec ou sans l aide du point précédent. en citant précisément les résultats utilisés. a i b j cov(x i,x j ), var(a X + a X )=a σ + a σ +a a ρσ σ c) Quelle est la distribution de X X, pour deux variable aléatoires indépendantes X et X représentant des moyennes empiriques et satisfaisant ( ) ( ) X N µ, σ X N µ, σ, n n et calculer cov( X, X ). d) On a mesuré et reporté dans le tableau ci-dessous le temps de trajet arrondi à 5 minutes de étudiantes et étudiants en statistiques se rendant à l université. Etudiante Etudiant Tester au niveau 5% si le temps moyen de trajet pour les étudiantes et pour les étudiants est identique. e) Pourquoi est-il raisonnable de penser que les donnée du point précédent peuvent être considérées comme deux échantillons indépendants? Problème 93 Un sondage auprès de 3 étudiants de statistiques a mis en lumière que durant la nuit du 7 au 8 mars, 6 étudiants se sont couchés après 3 heures du matin. Estimer la probabilité qu un étudiant de statistiques de cette université se soit couché après 3 heures du matin cette nuit-là. Donner l approximation d un intervalle de confiance à 95% pour la proportion de la population correspondant à tous les élèves de statistiques de cette université s étant couché après 3 heures du matin. 3

24 Problème 94 Un ingénieur compare l épaisseur de peinture sur des voitures de deux lignes de production (A) et (B) sélectionnées aléatoirement. Il a reporté ses résultats dans le tableau ci-dessous. (A) (B) Est-ce que ces résultats indiquent qu il y a une différence significative d épaisseur de peinture sur les deux lignes de production? Quelles sont les hypothèses faites dans le point précédent? Obtenir un intervalle de confiance à 98% pour l épaisseur de peinture sur la ligne de production (A). Problème 95 On dit qu une variable aléatoire Y suit une loi log-normale de paramètres (m,σ )six = ln Y suit une loi normale N(m,σ ). On dispose d un échantillon de neuf observations d une loi log-normale de paramètres (m,σ ) inconnus :, 3,, 8, 9 4, 6 5, 7 3, 5 4, 5 6, 4 a) Construire un intervalle de confiance pour m (au niveau α =, 5). b) Même question pour σ. Problème 96 Considérons un échantillon aléatoire X,...,X n issu de la loi normale dont la moyenne µ est inconnue mais l écart-type σ est connu. a) Déterminer l estimateur de maximum de vraisemblance de µ. Est-il biaisé? Calculer sa variance. b) Calculer l information observée. Problème 97 Soit X,...,X n un échantillon aléatoire issu d une population de densité { f θ,γ (x) = θ e θ (x γ) si x>γ sinon où θ >. Déterminer les estimateurs de maximum de vraisemblance de θ et γ. Problème 98 Chaque année, la hauteur maximale H de la crue d un fleuve est mesurée. On estime qu une crue supérieure à 6 mètres serait catastrophique. On a modélisé la loi de la variable aléatoire H comme étant de Rayleigh, i.e la densité de H est f H (x) = x x e a, x >, a où a est un paramètre inconnu strictement positif. Pendant 8 ans on a observé les hauteurs de crue (en m), 5, 9, 8, 9, 7,,, 8 a) Donner l estimateur du maximum de vraisemblance de a. b) Une compagnie d assurance estime qu une catastrophe n arrive en moyenne qu au plus une fois tous les mille ans. Ceci peut-il être justifié par les observations? Problème 99 On considère un n-échantillon X,...,X n i.i.d de loi de densité de paramètre α>: { f(x) = α x α si x six<. a) Vérifier que f est une densité de probabilité. b) Déterminer l estimateur de maximum de vraisemblance de α. Problème Sur ampoules électriques choisies au hasard, une durée totale de 88 9 heures a été trouvée. Les durées de vie des ampoules peuvent être modélisées par une loi exponentielle de paramètre λ, inconnu. a) Donner l estimateur de maximum de vraisemblance de λ. b) Donner un intervalle de confiance à 9% de λ. c) Au seuil 9%, rejette-on l hypothèse λ =.? 4

25 Problème Une chaîne de fabrication de composants électroniques produit un pourcentage p de produits défectueux. p est inconnu mais on sait que p.8. On teste n composants. a) Quel est l estimateur du maximum de vraisemblance de p? b) Quelle doit être la taille de l échantillon pour que l erreur quadratique moyenne associée à p soit inférieur ou égal à,? Problème Les temps T,T,...,T n entre deux pannes successives d un ordinateur sont des variables aléatoires indépendantes distribuées identiquement selon la loi Gamma de paramètres α =etλ = θ, qui a pour fonction de densité : f(y) = y θ e y θ si y>, sinon. θ est un paramètre > inconnu et à estimer. a) On observe les n premiers temps t,t,...,t n entre deux pannes successives ; estimer θ à l aide de t,t,...,t n par la méthode du maximum de vraisemblance. b) Donner le biais et l erreur quadratique de l estimateur de maximum de vraisemblance de θ. Problème 3 On s intéresse au nombre moyen de pannes réseau hebdomadaires sur un certain réseau. On se place dans un cadre bayésien et on considère donc que ce nombre moyen, θ, est une variable aléatoire. a) On note X la variable aléatoire égale au nombre de pannes réseau sur une semaine donnée. On suppose que la répartition des pannes sur la semaine est aléatoire. Quelle loi proposez-vous pour X, conditionnellement à θ? b) On a trouvé sur des réseaux similaires un nombre moyen de 4 pannes par semaine avec un écarttype de pannes par semaine. Proposer un choix simple de loi a priori pour θ et préciser ses paramètres. Indication : pensez à la densité conjuguée de la loi proposée en ). c) Deux pannes se sont produites sur le réseau la semaine dernière, et aucune panne cette semaine. Donner la loi a posteriori de θ, son espérance a posteriori et sa variance a posteriori. Problème 4 Un opérateur téléphonique désire mettre à jour la statistique des appels qu il traite. Les dernières statistiques donnaient une moyenne de appels par heure, avec un écart-type de appels. Du fait de l extension du réseau, le nombre moyen θ d appels traités peut avoir évolué. On propose de donner une estimation bayésienne de θ. Une nouvelle enquête est donc menée. Elle révèle que, au cours de heures choisies aléatoirement, 765 appels ont été traités. On note θ la fréquence des appels téléphoniques et X le nombre d appels durant une heure donnée. On suppose que, conditionnellement à θ, X suit une loi de Poisson de paramètre θ : P (X = k θ) = e θ θ k, k =,,... θ! On suppose de plus que θ est de loi Gamma(α,λ ). a) En se basant sur les chiffres de la précédente enquête, quelles valeurs de α et λ préconisez-vous? b) Déterminer la loi a posteriori de θ (la nommer et donner ses paramètres). c) Donner la moyenne et l écart-type a posteriori de θ. d) Déterminer l intervalle de crédibilité au niveau 95% de θ. Problème 5 Le nombre de fautes X et le nombre de cartons Y distribués dans le groupe B lors de la coupe du monde de football de 6 sont donnés dans le tableau qui suit. Match X Y a) Calculer la covariance et la corrélation du nombre de fautes avec le nombre de cartons. b) Donner l estimation de la ligne de régression prédisant le nombre de cartons en fonction du nombre de fautes. c) Prédire le nombre de cartons si un match compte 3 fautes. 5

26 Probabilités et Statistique pour SIC Corrigés aux Exercises Corrigé 66 8 Corrigé 6 3 Corrigé 3 3!9!! Corrigé 4 4!3!5!3! Corrigé 5 C 4 3 Corrigé 6 C 5 5 Corrigé 7 Remarquons qu il y a CC = 67 façons de choisir un comité de 3 hommes et 3 femmes dans un groupe de femmes et 8 hommes. a) Le nombre de comités de 3 hommes qui contiennent les deux hommes qui refusent d être ensemble est C6 = 6. Alors, le nombre de comités de 3 hommes qui ne contiennent pas les hommes qui refusent d être ensembles est C8 3 6 = 5. Il s en suit que la réponse cherchée est C 3 (C 3 8 6) = 5 = 6. b) Le raisonemment ici est similaire. On obtient : (C 3 C 8)C 3 8 = ( 8) 56 = 67. c) Le nombre des comités avec l homme et la femme qui refusent d être ensemble est C 9C 7 = 756. Alors la réponse est C 3 C 3 8 C 9C 7 = = Corrigé 8 Il y a 4! = 4 façons de placer les trois paires de jumeaux dans les 4 chambres. D autre part, pour chaque placement, il y a 3 = 8 façons de distribuer les trois paires de jumeaux dans les lits. Il y a donc 4! 3 = 9 façons d organiser l expérience. Corrigé 9 On a Cn k + (n )! Ck n = (n k)!(k )! + (n )! (n )!(k + n k) = = Cn k (n k )!k! (n k)!k! Corrigé On s apercoit d abord qu il y a + (n k ) = n k manières de placer le bloc A... B de longeur k + dans la rangée. Il faut ensuite tenir compte des permutations de A et B :! =. Et des permutations des (n ) personnes di érentes de A et B :(n )!. Il y a donc (n )!(n k ) façons d avoir k personnes entre A et B. Corrigé a) L ensemble fondamental de cette expérience est = [ où = {(D,D,...)où D i {,, 3, 4, 5} apple i<} (l événement aucun 6 ne sort ) et = [ n={(d,d,...,d n, 6) où D i {,, 3, 4, 5} apple i apple n } (l événement que l expérience s arrête). b) Les points de l ensemble fondamental qui sont contenus dans E n sont de la forme (D,...,D n, 6). L ensemble =([ E n ) c est égal à l événement aucun 6 ne sort, c est à dire. Corrigé a) E \ F = {(, ), (, 4), (, 6), (, ), (4, ), (6, )}. b) E [ F est égal à l événement la somme des dés est impaire ou bien l un des dés montre. c) F \ G = {(, 4), (4, )}. d) E \ F c est égal à l événement la somme des dés est impaire et chaque dé montre un nombre plus grand ou égal à. e) E \ F \ G = F \ G. 6

27 Corrigé 3 a) Le point {...} réprésente l événement personne ne gagne. Les autres points correspondent à des événements où A, B ou C gagne. b) i) Ceux où le numéro se situe dans la place 3n + pour n entier, correspond à l evénement où A gagne. ii) Ceux où le numéro se situe dans la place 3n + pour n entier, correspond à l evénement où B gagne. iii) Ceux où le numéro se situe dans la place 3n pour n entier, correspond à l evénement où C gagne. Finalement, (A [ B) c est égal à l evénement que C gagne ou personne ne gagne. Corrigé 4 a) L ensemble fondamental est formé de tous les arrangements ordonnés possibles de n personnes. Donc #( ) = n!. b) Soit l événement E k = il y a k personnes entre A et B. Déterminons #(E k ) = nombre de cas favorables de E k : On considère d abord le bloc A... k! B de longueur k+. On s aperçoit qu il y a +(n k ) = (n k ) manières de le placer dans la rangée. Il faut ensuite tenir compte des permutations - de A et B :! = permutations, -des (n ) personnes di érentes de A et B :(n )! configurations di érentes. Ainsi, #(E k )= (n k )(n )! et P (E k )= #(E k) #( ) = (n k )(n )! n! = (n k ). n(n ) Remarque : On peut contrôler que P n (n k ) k= n(n ) =. c) Il est facile d établir la liste des 3! = 6 cas possibles. On obtient alors que P (k = ) = 4 6 = 3 et P (k = ) = 6 = 3, ce qui correspond bien à l expression trouvée sous b). Remarque : On a bien P (k = ) + P (k = ) =. 5 Corrigé 5 La probabilité de ne tirer aucun 6 est de moins un 6 est de 6 ' '.48. Alors, la probabilité de tirer au 5 Corrigé 6 La probabilité de que le six apparaisse au moins une fois est 6 5 n probabilité atteigne / il faut que 6 /. C est à dire que ln n ln 6 5 n. Pour que cette donc n. Corrigé 7 La probabilité que les anniversaires de n personnes soient dans des mois di érents est ( n + ) n Alors, la probabilité qu au moins deux personnes entre n personnes aient leur anniversaire le même mois est ( n + ) n Finalement, il faut au moins 5 personnes pour que cette probabilité soit au moins /. Corrigé 8 a) Deux signaux S et S atteignent le récepteur dans l intervalle (,t). Soient X :letemps d arrivée de S et X : le temps d arrivée de S. L ensemble fondamental ou espace des résultats possibles est donc : = (x,x ) R apple x apple t, apple x apple t. 7

28 Un élément de cet ensemble (un couple (x,x )) représente une issue possible de cette expérience (c est-àdire un événement élémentaire de l ensemble fondamental) : le signal S arrive au temps x et le signal S arrive au temps x. b) L événement A qui nous intéresse (i.e. le récepteur se bloque ) est un sous-ensemble de défini par : n o A = (x,x ) x x <. Le fait d admettre que les deux signaux arrivent indépendamment l un de l autre et au hasard nous permet d a rmer qu on a a aire à un modèle équiprobable. On peut alors calculer la probabilité de l événement A comme suit : aire de A P (A) = aire de = t (t ) t = t t. c) Si t, on peut négliger ( t ) par rapport à t, et donc P (A) ' t. Corrigé 9 a) Soit S n le jet numéro n et E n l événement deux piles successifs n apparaissent pas. Remarquons que P n = P (E n )etque P (E n )=P (E n \{S n = P })+P (E n \{S n = F }) Mais et P (E n \{S n = F }) =P (E n \{S n = F }) = P (E n ) P (E n \{S n = P }) =P (E n \{S n = F }\{S n = P }) = 4 P (E n ) On en déduit que P n = P n + 4 P n () b) Remarquons que P n est une fonction décroisante de n (c est à dire que P n+ apple P n ). On en déduit que la limite lim n! P n existe. Appelons la P. En prenant la limite n!dans l équation () on déduit que P = 3 4 P Ceci étant possible seulement si P =. c) Soit G n,i égale à l événement {S 8i = P, S 8i+ = F, S 8i+ = P, S 8i+3 = P, S 8i+4 = P, S 8i+5 = F, S 8i+6 = F, S 8(i+) = P }, et R n,i = G c n,i (c est à dire l événement la suite S j, 8i apple j apple 8(i + ), est di érente de P, F, P, P, P, F, F, P ). Soit R n = \ n/8 8 i= R n,i. Par l indépendance des événements R n,i, apple i apple n/8, on a n/8 Y n/8 P (R n )= P (R n,i )= 8 () i= où dans la dernière égalité on a employé le fait que P (R n,i )= 8. De l équation (), on déduit que lim n! P (R n ) =. Mais clairement P (Q n ) apple P (R n ) (parce que Q n R n ). Alors, lim n! P (Q n ) =. Corrigé a) L ensemble fondamental de cette expérience est = {(Y,Y,Y 3 ) où apple Y,Y,Y 3 apple 6}. b) Soit X le dé qui montre la valeur la plus petite, X 3 le dé qui montre la valeur la plus grande et X le dé qui montre une valeur entre X et X 3 (c est-à dire X apple X apple X 3 ). On veut calculer la probabilité de l événement X + X + X 3 5. On appellera cet événement par E. La table ci-dessous donne les valeurs de X, X et X 3 qui rend leur somme plus grande ou égale à 5. X X X 3 somme poids probabilité / ! / / / / / /6 8

29 La cinquième colonne correspond au nombre de façons qu il y a d obtenir les valeurs de X, X et X 3 données. Et la sixième colonne correspond à la probabilité de chaque configuration (c est-à-dire /6 3 = /6). Alors, la probabilité recherchée est égale à P (E) = ( ) 6 = 6 '.96. Corrigé La probabilité qu aucune des deux pièces ne tombe sur pile est égale à la probabilité d obtenir (F, F). C est à dire /4. Alors, la réponse récherchée est /4 = 3/4. Corrigé On utilise le fait que l événement avoir au moins un succès est le complémentaire de l événement n avoir aucun succès. La probabilité d obtenir au moins un 6 avec 4 dés est donc de ( 6 )4 ', 58, et la probabilité d obtenir au moins un double 6 lors de 4 jets de deux dés est de ( 36 )4 ', 49. Corrigé 3 On ne peut pas en conclure que P (S = 9) = P (S = ) car les configurations ne sont pas équiprobables. Si l on tient compte de l ordre elles le sont, il faut donc tenir compte des permutations possibles de chaque configuration. Ainsi (3,3,3) ne compte qu une fois alors que (5,,) compte triple et (5,3,) compte six fois. On obtient P (S = 9) = 5 6 et P (S = ) = Corrigé 4 P { il gagne } = P { il perd } = Corrigé 5 a) et b) La réponse est la même : c) On obtient P = P = Corrigé 6 Corrigé du problème = =.37. Corrigé 7 Soient RR, NN et RN respectivement les événements, la carte choisie est entièrement rouge, entièrement noire et bicolore. Soit encore R l événement, la face apparente de la carte tirée est rouge. On aura P (RN R) = = P (R RN)P (RN) P (R RR)P (RR)+P (R RN)P (RN)+P (R NN)P (NN) = 3 Corrigé 8 Soit M l événement le patient est atteint, B l événement le patient est en bonne santé, et + l événement le résultat du test est positif. De la formule de Bayes on a P (M +) = = = P (+ M)P (M) P (+ M)P (M)+P (+ B)P (B) '.47 Ceci n est pas un très bon résultat. Pour essayer de l améliorer il faudrait répéter le test... 9

30 Corrigé 9 Soit S n l événement le n eme jour est ensoleillé et N n l événement le nè m e jour est nuageux. Alors, s n = P (S n )=P (S n S n )P (S n )+P (S n N n )P (N n ) = ps n + q( s n ) = (p q)s n + q On démontre que s n = ( + (p q)n ), n par induction sur n. Sin = c est clairement vrai. Supposons maintenant que cette formule est valide pour n apple m. Alors, s m+ = (p q)s m + q = (p q) + (p q)m + q = p + q + (p q)m+ = +(p q)m+. Ceci montre que le résultat est vrai pour m +. Donc s n = ( + (p q)n ) pour tout n. Corrigé 3 X n ne peut prendre que les valeurs et. En e et, il ne peut y avoir plus d une machine en panne au début d une journée. On a P (X n+ = X n = ) = p + p( p)+( p) p = p( p) (soit ni l une ni l autre ne tombe en panne, soit l une tombe en panne et est réparée, soit l autre tombe en panne et est réparée) P (X n+ = X n = ) = p P (X n+ = X n = ) = ( p) P (X n+ = X n = ) = p. Corrigé 3 a) P (A B) =.9 etp (A c B c )=.8. b) Les 4 pièces sont acceptées, donc le contrôle des 3 bonnes pièces est sans erreur et il y a erreur dans le contrôle de la pièce défectueuse. La probabilité d un tel événement est : P (A B) 3 P (A B c )=(, 9) 3, '.46. c) Soit l événement E = il y a erreur dans le contrôle d une pièce. P (E) =P (A c B) P (B)+P (A B c ) P (B c ). D où, puisque P (B c )=,, d) P (B c A) = P (A Bc ) P (B c ) P (A) P (E) =,, 8+,, =,. = P (A B c ) P (B c ) P (A B) P (B)+P (A B c ) P (B c ', 53. ) Corrigé 3 L ensemble fondamental de cette expérience est = {(E,E )oùe est le sexe du premier enfant et E est le sexe du deuxième}. L événement les deux enfants sont des filles est A = {(F, F)}, et l aînée en est une est B = {(F, F), (F, G)}. La probabilité recherchée est P (A B) = P (A \ B) P (B) = P (A) P (B) = /4 / =. Corrigé 33 L ensemble fondamental de cette expérience est = {(D,D ) où apple D i apple 6 et i =, }. Appelons A l événement au moins l un d entre eux montre 6, et B l événement les deux résultats sont di érents. On veut calculer Mais, P (B) = = 5 6 et P (A B) = P (A \ B). P (B) 3

31 Alors, la probabilité recherchée est P (A \ B) =P (B) P (A c \ B) = = P (A B) = 6 9 =/3. Corrigé 34 Soit A l événement la première carte tirée est un pique et B l événement les deux dernières en sont. Remarquons que P (A \ B) = P (B) = P (A \ B)+P (A \ B c )= Alors, la probabilité recherchée est égale à P (A B) = = 5. Corrigé 35 Soit D l événement la personne selectionée est un daltonien, H l événement elle est un homme et F l événement c est une femme. Tout d abord, par la formule de Bayes on a P (H D) = P (D H)P (H) P (D H)P (H)+P (D M)P (M) Si on admet que les hommes sont aussi nombreux que les femmes, alors P (H) =P (F )=/ et P (H D) = 5 5 +,5 = =. Si au contraire il y avait deux fois plus de femmes que des hommes, on aurait, P (H D) = ,5 3 =.5 = 4 4. Corrigé 36 D abord remarquons que si Xavier et ses deux parents ont les yeux marrons et si la soeur de Xavier a les yeux bleus, il faut que les deux parents aient chacun un gène oeil bleu et un autre marron. a) Xavier peut avoir des gènes (M,M), (M,B) et(b,m), alors, la probabilité que Xavier ait un gène oeil bleu est /3. b) On définira par G X, G F et G E les gènes yeux de Xavier, de sa femme et de son enfant. Alors, P (G E =(B,B)) = P (G X {(M,B), (B,M)}) = 3 = 3. Corrigé 37 a) On numérote les boules blanches de à N. Soit X i la v.a. définie par : X i = si la boule blanche numéro i a été tirée, sinon. On a P {X i =} = M + N M + N.M + N M + N... M + N n M + N n + = M + N n M + N, n P {X i =} = M + N. Comme X = P N i= X i, on en déduit que : E(X) = NX E(X i )= Nn M + N. i= b) On numérote les boules noires de à M et pour apple j apple M, on définit Y j par : Y j = si la boule noire numéro j a été tirée avant la première boule blanche, sinon. Pour chaque apple j apple M : P {Y j =} = N +. (les événements la boule noire numéro j est tirée avant toutes les boules blanches et la boule blanche numéro i est tirée avant toutes les autres boules blanches et avant la boule noire numéro j sont équiprobables). Comme X = P M j= Y j +, on obtient : E(X) =+ M N +. 3

32 Corrigé 38 a) On appelle X i la somme de dés au i ème jet : X i {,...,}. OnaP (X i = 5) = /9 et P (X i = 7) = /6. On appelle le temps d arrêt du jeu, =,,...,etf j = { = j} est l événement que le jeu s arrête au j ème jet. On note que on peut ecrire l événement F j comme h i {X j = 5 ou X j =7}\ \ j i= {X i 6= 5etX i 6=7} En utilisant cela et l indépendance des variables X i on obtient que pour tout j P (X j =5 F j )=P ({X j =5} {X j =5}[{X j =7}) = /9 /9+/6 = 5. b) Puisque le jeu va s arrêter presque sûrement (c est à dire P j= P (F j) = ), par la formule de la probabilité totale on arrive à X X P ( le jeu s arrête avec un 5 ) = P (X j =5 F j )P (F j )= P (F j )= 5 5. j= j= c) Par définition de et F j on a E( ) = X jp(f j ). Puisque que P (X i = 5 ou X i = 7) = 5/8, on voit facilement que j 5 5 P (F j )=. 8 8 On est donc en train de calculer l espérance d une loi géométrique de parametre 5/8 et on conclut j= E( ) = 8 5 =3.6 Corrigé 39 a) X suit une loi binomiale de paramètres n et p : P {X = k} = Cnp k k ( p) n k. b) Voir cours. E(X) = np et Var(X) = np( p). Note : Pour montrer que X a pour espérance np et variance np( p), on peut utiliser la décomposition de X sous la forme X = P n i= Y i où Y i sont des variables aléatoires de Bernouilli indépendantes de paramètres p. Les Y i ont pour espérance et variance E(Y i )= P (Y = ) + P (Y i = ) = ( p)+ p = p Var(Y i )=E(Yi ) E(Y i ) = { P (Y = ) + P (Y i = )} p = p p = p( p). On a alors E(X) = nx nx nx E( Y i )= E(Y i )= p = np, i= Var(X) = Var( i= nx Y i )= i= i= nx Var(Y i )= i= nx {p( p)} = np( p). Attention, Var( P n i= Y i)= P n i= Var(Y i) est valable parce que les Y i sont indépendantes mais ce n est pas vrai en général. Par contre E( P n i= Y i)= P n i= E(Y i) est toujours vrai. Corrigé 4 a) Il s agit ici d un tirage avec remise car le même animal peut être noté deux fois par l employé. La probabilité qu une observation quelconque soit celle d un lion est de L/(L + T ). Le nombre de lions notés dans le rapport suit une loi binomiale de paramètres n et p = L/(L + T ). La probabilité que k lions aient été notés vaut k n k L T Cn k, k =,...,n. L + T L + T b) Contrairement au a), on est ici dans le cadre d un tirage sans remise. Le nombre de lions notés dans le rapport suit une loi hypergéométrique de paramètres L, T et n. La probabilité que k lions aient été capturés vaut CL kcn k T CL+T n i=,k = max(,n T ),...,min(l, n). 3

33 Corrigé 4 On suppose que les dates d anniversaire sont également réparties sur l année et, pour simplifier, qu une année comporte 365 jours. a) La probabilité qu une personne au hasard soit née un er janvier est alors de /365. La probabilités que les deux époux soient nées un er janvier est, en supposant l indépendance, /365. Sur les 48 couples mariés en, le nombre de ceux dont les deux époux sont nés un er janvier, X, suit une loi binomiale de paramètres n = 48 et p =/365. On a donc P (X = ) = C =.374. b) La probabilité pour que les deux époux soient nés un même jour est 365 fois plus élevée que la probabilité qu ils soient nés un er janvier. Le nombre Y de couple mariés ayant leur anniversaire le même jour suit donc une loi binomiale de paramètres n = 48 et p =/365. On a donc n= 4798 '. 365 P (X = ) = C Corrigé 4 T est une variable aléatoire géométrique, sa fonction de masse est donnée par P (T = n) =p( p) n n. On a X X X E(T )= np(t = n) = np( p) n = p n( p) n = p d X ( p) n = p d dp dp p = p p = p. n= n= D autre part, ( X X X E(T ) = n P (T = n) = n p( p) n = p n ( p) n = p d ) X n( p) n dp n= n= n= n= ( ) = p d X ( p) n( p) n = p d ( p) dp dp p = p( p 3 + p )= p p. n= La variance de T vaut donc : Var(T ) = E(T ) E(T ) = p p p = p, p (, ]. p Corrigé 43 a) Puisque X X i P {X = i} ==c i! = ce, i= nécessairement c = e. Il s agit de la loi de Poisson de paramètre. b) P {X =} = c o! = e. c) P {X >} = (P (X = ) + P (X = ) + P (X = )) = e ( + + )=e P i=3 Voir cours. E(X) = Var(X) =. Corrigé 44 Commençons par calculer la fonction de masse de X. Pour k entier fixé, on a : i= P {X = k} = X n k P {X = k Z = n}p {Z = n} = X n k C k np k ( p) n k e = e = e = e = e n n! n= (p ) k X C k k! n( p) n k n k k!(n k)! n! (n k)! n k (p ) k X ( p) n k n k k! (n k)! (p ) k k! p (p )k k! n k ( p) e, 33 i i!. d)

34 X est donc poissonienne de paramètre p. Ensuite, pour l entier fixé: P {Y = l} = X n l P {Y = l Z = n}p {Z = n} = X n l P {X = n l Z = n}p {Z = n} = X n l C l np n l ( p) l e n n! = e ( p) (( p) ) l Y est aussi poissonienne de paramètre ( p).enfin: l!, 8k, l, P{X = k et Y = l} = X n P {X = k et Y = l Z = n}p {Z = n} X et Y sont bien indépendantes. = P {X = k et Y = l Z = k + l}p {Z = k + l} = Ck+lp k k ( p) l ( k + l) e l! p (p )k = e e ( p) (( p) ) l k! l!, Corrigé 45 La fonction de masse de X est donnée par et sa FGM M X (t) vaut M X (t) = n= Le premier moment est donné par MX (), soit P (X = n) =p( p) n, X X e tn p( p) n = pe t [e t ( p)] n pe t = e t ( p). n= E(X) = p. Le deuxième moment est donné par la deuxième dérivée de M X (t) évalué en t = et vaut E(X )= p p. Corrigé 46 a) Arnaud mise au tour n la somme de n CHF. b) Puisque chaque tour est une expérience de Bernouilli de paramètre p, le nombre de tours N jusqu au premier succès suit une loi géométrique de paramètre p. Sa fonction de masse est donc En e et, l événement {N = n} alieusiles(n P (N = n) =p( p) n, n =,,... ) premiers tours ont été perdus et le nième a été gagné. c) Soit Y : le montant investi au dernier pari, c est-à-dire lorsque Arnaud gagne pour la première fois. On a Y = N où N est la variable aléatoire du nombre de tours jusqu au premier succès. On a X X E(Y ) = E( N )= ( n )P (N = n) = ( n )p( p) n = p n= X {( p)} n = n= n= p ( p) si p>/ si p apple / Si p apple / il faut être en moyenne infiniment riche pour pouvoir suivre cette stratégie! Si p>/, une fortune finie sera en moyenne su sante. 34

35 Corrigé 47 Considérons pour fixer les idées la première page. Une erreur donnée apparait sur cette page avec la probabilité /35 puisque les erreurs sont équiréparties (c est-à-dire réparties au hasard) et il y a 35 pages au total. Le nombre d erreurs d impression X sur la première page est donc distribué selon un loi de Bernouilli B(n = 45,p = /35), d où P (X 3) = P (X apple ) = X C45 i i= 35 i 45 i 349 ', Puisque n est grand et p est petit, on peut aussi faire l approximation de cette binomiale par une loi de Poisson de paramètre = np '.9 et on obtient alors P (X 3) = P (X apple ) = e + + / ', 4. Corrigé 48 a) Par calcul direct : pour k entier : P {Z = k} = P k l= P {X = l et Y =(k l)} = P k l= P {X = l}p {Y =(k l)} = e ( P + ) k l (k l) = e ( + ) k! l= l! P k l= k! = e ( + ) ( + ) k k!, Z est encore poissonienne, de paramètre ( + ). b) Rappelons que pour tout t réel, Or : (k l)! l! l (k l) (k l)! M Z (t) =E[e tz ]=E[e tx e ty ]=E[e tx ]E[e ty ] (par ind.). M X (t) =e X e tk k= k k! = e e et =exp( (e t )). Ainsi : M Z (t) =exp( (e t )) exp( (e t )) = exp(( + )(e t )), on retrouve le fait que Z est poissonienne de paramètre ( + ). Corrigé 49 Soit X la variable aléatoire de la taille d un homme âgé de 5 ans. P (X >85) ' 4, 78 % et P (X >9 X >8) = P (X >9) ', 4 %. P (X >8) Corrigé 5 Soit X le nombre de kilomètres couverts par une batterie de voiture avant défaillance. X E( )avec =/. P (X >5) = Z 5 e x dx = e 5 = e. Corrigé 5 Il faut d abord calculer c. Pour que f soit une densité on doit avoir R + f(x)dx =, c est à dire c = R x exp( x/)dx. On fait une intégration par parties et on obtient Z Z x exp( x/)dx = x exp( x/) + exp( x/)dx =4, donc c=/4. Par conséquent la probabilité que le système fonctionne au moins 5 mois est égale à Z 5 x 4 exp( x/)dx = exp( x/) 5 x exp( x/) 5 = e 5/ + 5 e 5/ '

36 Corrigé 5 On doit trouver a tel que R f(x)dx =. Donc a = R x exp( bx )dx. Si on fait le changement de variable y/ p b = x on obtient Z 3 Z x exp( bx )dx = p y exp( y /)dy = b 3 p Z + p b y p exp( y /)dy. La dernière intégrale est égale à (c est la variance d une variable normale standard) et donc a = 4 p b 3/. Corrigé 53 E(X) = Z Z x ( + x ) dx = Z x ( + x ) dx + x ( + x ) dx. et comme Z x ( + x ) dx = ln +x =, diverge, on en déduit que X n admet pas d espérance mathématique. Corrigé 54 a) On calcule ( ) = Z e y y dx = e y y +( ) ( ) = ( ) ( ) ( >). Puisque () =, on en déduit que, pour n un nombre entier, ( n) =(n )!. b) On a E(X) = ( ) Z x e x dx = ( ) Z y e y dy = Corrigé 55 Soit P l événement la pièce acheté est pirate. On a alors ( + ) ( ) =. On en déduit que (t) =P (P T >t) = = = P (T >t P)P (P) P (T >t) 4 e 5t 4 e 5t e t +3e 3t lim (t) = lim P (P T >t)=. t! t! Corrigé 56 La fonction génératrice des moments est définie par M X (t) =E(e tx ). Ainsi E(Y ) = E(e X )=M X () = exp(/), E(Y ) = E(e X )=M X () = exp(), Var(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = exp() exp(). Corrigé 57 a) X et Y étant des durées de vie, on utilise la loi exponentielle. D après l énoncé, X suit une loi exponentielle de paramètre et Y une loi exponentielle de paramètre. donc b) On a F X (t) = Z t f X (t) = e t si t sinon e f X (x)dx = t si t sinon e et f Y (t) = t si t sinon 36 e et F Y (t) = t si t sinon

37 c) F T (x) =P (T apple x) =P ([X apple x] \ [Y apple x]). Xet Y étant indépendantes, on a F T (x) = P (X apple x)p (Y apple x) =F X (x)f Y (x) ( e = x )( e x )= e x e x + e 3x si x sinon d) F S (x) =P (S apple x) =P ([X apple x][[y apple x]) = P ([X >x]\[y > x]).xet Y étant indépendantes, on a F S (x) = P ([X >x])p ([Y > x]) = ( F X (x))( F Y (x)) e = x e x = e 3x si x sinon e) On cherche P (X >x S apple x). On a P (X >x S apple x) = f) On cherche P (T >t X apple x). On a P (X >x\ S apple x) P (S apple x) = ( F X(x))F Y (x) F S (x) P (T >t\ X apple x) P (T >t X apple x) = P (X >x) = ( F Y (t))f X (x) F X (x) Corrigé 58 Tout d abord remarquons que Mais P (X = P (X >x\ Y apple x) P (S apple x) = e x ( e x ) e 3x = P (Y > t\ X apple x) P (X apple x) = F Y (t) =e t. P (min(x,...,x n ) t) =P (X t,..., X n t)=p (X t) n t)=e t.d où P (min(x,...,x n ) t) =e tn, et donc la fonction de répartition de min(x,...,x n )est P (min(x,...,x n ) apple t) = e tn. On en déduit que min(x,...,x n ) est une variable aléatoire exponentielle de paramètre n. Corrigé 59 On regarde pour y R P (Y apple y) = Z y f Y (z)dz. Du fait que la fonction logarithme soit inversible (elle est strictemement croissante), on peut écrire P (Y apple y) =P (log X apple y) =P {X apple exp(y)} = On fait le changement de variable z = log x et on obtient d où P (Y apple y) = Z y exp(z)exp{ exp(z)}dz = f Y (z) =exp{z Z y exp(z)}. Corrigé 6 Tout d abord nous calculerons la loi de Y. C est-à-dire, P (Y x) = P (X ln x) = p Z = Z p x e (ln y ) Z exp(y) y dy exp{z e y ln x exp( dy x)dx. exp(z)}dz, où dans la dernière égalité on a fait le changement de variable y! ln y.onendéduitqueladensitéde la loi de Y est ( (ln y) p f(y) = e y si y si y< 37

38 Corrigé 6 a) Soit f X la densité de X et f Y la densité de Y. Remarquons que f Y (y) = Z f(x, y)dx = xe x(+y) ( + y) On en déduit que Y a une loi donnée par P (Y < a)= f X (x) = Z + e x(+y) ( + y) a +a. D autre part, f(x, y)dy = e x = ( + y) On en déduit que X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre. X et Y ne sont pas indépendantes parce que f(x, y) 6= f X (x)f Y (y). b) Soit f X la densité de X et f Y la densité de Y. Remarquons que D autre part, f X (x) = f Y (y) = Z Z y x Z f(x, y)dy = 6x f(x, y)dx = 6y Z X et Y ne sont pas indépendantes parce que f(x, y) 6= f X (x)f Y (y). Corrigé 6 On a pour tout réel z : Puis Corrigé 63 a) On a F Z (z) = F X (z)f Y (z), x y y dy = x( x) 3 xdx = 3y ( y) F Z(z) = ( F X (z))( F Y (z)) = F X (z)+f Y (z) F X (z)f Y (z). 8t, P{Z apple t} = b) Rappelons que : f Z (z) = f X (z)f Y (z)+f X (z)f Y (z), f Z(z) = f X (z)( F Y (z)) + f Y (z)( F X (z)). = Z t Z t Z t e u { u e v dv}du e u ( e (t u) )du = ( e t ) e t = Z t e ( )u du ( e t )+ (e t e t ) si 6= ( + t)e t si = = 8t R, M Z (t) =E[e tz ]=E[e tx e ty ]=E[e tx ]E[e ty ] (par ind.). Dans le cas d une variable exponentielle : d où : 8 t<, M X (t) = Z + 8 t<min(, ), M Z (t) = e u e tu du = t t t c) On déduit du b) que si =, Z est une variable Gamma de paramètres =et.., 38

39 Corrigé 64 a) On a pour apple x apple. De même f(x) = Z p x p x dy = p x, g(y) = p y, pour apple y apple. X et Y ne sont pas indépendantes car h(x, y) 6= f(x)g(y). b) Cov(X, Y ) = par symétrie. Corrigé 65 L ensemble des valeurs possibles prises par X est S = {,, 3, 4, 5, 6}. L énumération des di érents cas possibles donne : P (X = ) = /36 P (X = ) = / P (X = 3) = 5/36 P (X = 4) = 7/36 P (X = 5) = 9/36 P (X = 6) = /36 De même, pour X, P (X = ) = /36 P (X = ) = 9/36 P (X = 3) = 7/36 P (X = 4) = 5/36 P (X = 5) = 3/36 P (X = 6) = /36 On obtient les graphes suivants : Fonction de masse de X Fonction de masse de X P(x) P(x) x x Corrigé 66 a) On vérifie que la somme de lignes vaut. b) F X () =.5, F X () =.7, F X () =.9, F X (3) =. F X () =.7, F X () =.9, F X (3) =. Fonction de repartition de X Fonction de repartition de X F(x) x F(x) x c) P (Y = ) = P (X = )P (X = ) =.35. P (Y = ) = P (X = )P (X = ) + P (X = )P (X = ) =.4. 39

40 P (Y = ) =.3 P (Y = 3) =.3. P (Y = 4) =.4. P (Y = 5) =.. On vérifie : =. d) F Y () =.35, F Y () =.59, F Y () =.8, F Y (3) =.95, F Y (4) =.99, F Y (5) =. Fonction de repartition de Y F(y) y Corrigé 67 La variance se décompose var(3x Y + ) = 9var(X) cov(x, Y ) + 4var(Y ). On a cov(x, Y ) = corr(x, Y ) p var(x)var(y ) =. D où var(3x Y +) = 48. Par bilinéarité de la covariance, cov(x +Y,X Y ) = var(x)+cov(x, Y ) var(y ) =. Par linéarité de l espérance, E(3X Y +Z) = () E(Z) = E(Y ) 3E(X). D où E(Z) =. Corrigé 68 var(x X ) = var(x ) + var(x )=n ( ) et on en déduit var(s) =n ( ). Corrigé 69 a) Par linéarité de l espérance, E(5X 3Y + 9) = 5E(X) 3E(Y ) + 9 = 7. b) On a que cov(x + Y ) = var(x) + var(y ) + cov(x, Y )etquecov(x Y ) = var(x) + var(y ) cov(x, Y ). De là on tire le système d équations : ( cov(x, Y ) = 96 var(x) cov(x, Y ) = 64 + var(x), d où l on déduit var(x) = var(y ) = 4 et cov(x, Y ) = 6. La corrélation est alors donnée par 6 p 4 4 =.4. Corrigé 7 a) X et X sont distribuées selon une loi binomiale de paramètres (n, /6). En e et, la loi binomiale est une somme de lois Bernoulli, qui représentent chacune la probabilité d un succès ou d un échec. b) On a var(x ) = var(x )=n 6 ( 6 )=n c) La variable U représente le nombre total de et de obtenus pendant n lancés. Elle est Bin(n, /3), donc sa variance vaut n 9.Onaquecov(X,X )= [var(x ) + var(x ) var(x + X )] = n 36. D où corr(x,x )= n 36 / 5n 36 = 5. d) On a var(v ) = var(x ) + var(x ) cov(x,x )= n 36. En outre, corr(u, V )= cov(u,v ) p,où var(u)var(v ) cov(u, V ) = var(x ) + var(x ). Ainsi, corr(u, V )= n 4 p. 6 Corrigé 7 On utilise f Z (z) = Z f X (x)f Y (z avec ici f X (x) =f Y (y) =siapple x apple et nulle sinon. On a donc x)dx f X (x)f Y (z x) =siapple x apple etz apple x apple z, sinon. Il y a plusieurs cas à considérer : Siz> ou z<, alors { apple x apple }\{z apple x apple z} est vide et f Z (z) =. Siapple z apple, alors { apple x apple }\{z apple x apple z} = { apple x apple z} et f Z (z) =z. Siapple z apple, alors { apple x apple }\{z apple x apple z} = {z apple x apple } et f Z (z) = (z ) = z. On retrouve bien la densité voulue. 4

41 Corrigé 7 Enumérant les événements possibles, on observe que P(Z = ) = P(Z = 7) = / et que P(Z = ) = =P(Z = 6) = /6. E(Z X = x) =3.5+x. On calcule d abord var(z X = ) = E(Z X = ) E(Z X = ) =/6(6 + + ) 3.5 = 35/, par ailleurs var(z X = ) correspond à la même loi, transposée d une unité. Ainsi, var(z X = x) = 35/ ne dépend pas de x. Le théorème 67 est vérifié, puisque E(Z) = =4etE x{e(z X = x)} = ( ) = 4. Corrigé 73 Si z =, P(Z = z) =P(X = )P(Y = ) = ( p)p. Pour z, P(Z = z) =P(X = )P(Y = z)+p(x = )P(Y = z ) = p( p) z ( p + p ). On a E(Z X = x) =E(Y )+x et de même E(Z Y = y) =E(X)+y, avece(x) =p( p) ete(y )=( p)/p. Corrigé 74 On note A, B, C les variables aléatoires des temps de calcul pour chacune des trois sections du programme. a) On a cov(a, C) = corr(a, C) A C =..5.3 =.65. b) On a E(T )=E(A + B + C) =E(A)+E(B)+E(C) = = 3.4, et var(t ) = var(a + B + C) = var(a + C) + var(b) = var(a) + var(c) + cov(a, C) + var(b) = = 6. c) Le temps de calcul de la section B est la somme de temps de calculs identiquement distribués et indépendants. D après le théorème central limite, la distribution de B est approximativement normale. Ses paramètres sont ceux obtenus empiriquement, B 'N(3.4, 6.76). d) La loi de T est approximativement normale comme somme de lois normales avec T 'N(3.4, 6). On a alors T Pr(T apple ) = Pr p apple p = (.85)., 6 6 et Pr(T T ) = Pr p p = (.65) Corrigé 75 a) Comme X est une variable aléatoire positive, par l inégalité de Markov, : P {X >85} applee( X 85 )=75 ', b) La connaissance du ième moment de X permet d améliorer la majoration précédente, par l inégalité de Chebyshov : On a aussi : P {X >85} = P {X > 85 }apple 85 E(X )= + E(X) = 85 ', 78. P {65 apple X apple 85} = P { X E(X) apple} = P { X E(X) > } =3/4. c) Puisque les notes de chacun des n étudiants sont des variables indépendantes, leur moyenne arithmétique X n = nx X k n est encore d espérance 75, et sa variance vaut n (n.5) = 5/n. Onaensuite: k= P { X n E(X n ) apple5} = P { X n E(X n ) > 5} avec étudiants notre probabilité vaut au moins, 9. 5/n 5 = n n, 4

42 d) Voyons s il est pertinent d utiliser le T.C.L. Si celui-ci s applique, on a : P { X n E(X n ) apple5} ' Z = P ( 5 apple Z n apple 5) = P ( p apple Z apple p ) 5/n 5/n (où Z n est normale centrée de variance 5/n et Z normale centrée réduite). Le nombre minimum d étudiants obtenu est cette fois n = 3, un résultat franchement di érent! Avec n =, on est en e et pas dans ls cas asymptotique et le TCL ne s applique donc pas. Corrigé 76 a) =. b) Par définition F Mn (x) =P (max appleiapplen X i apple x). Alors, Z x n x F Mn (x) = ydy = n n x n = D autre part f Mn (x) = df Mn (x) dx. Alors, et µ = E(M n ) = µ = E(M n) = Z Z f Mn (x) = n xn n x n xn n x n xn n dx = n n+ n n + = n n + dx = n n+ n n + = n n + c) Il faut montrer que pour tout > on a ; lim n! P ( M n ) =. Mais, par l inégalité de Chebyschov, P ( M n ) apple E((M n ) ) d où le résultat. = E(M n M n + ) = n 4n n + n + + = (n + )(n + ) Corrigé 77 Soient X,X,...,X 5 les nombres considérés, A,...,A 5 leurs arrondies et U,U,...,U 5 P les variables d erreur correspondantes. On a donc X k = A k + U k. La somme obtenue en arrondissant est 5 k= A k et la somme exacte est P 5 i=k X k, donc l erreur sur la somme est X5 X5 X k k= k= X5 A k = U k. La variable P 5 k= U k est centrée (son espérance est nulle), de variance 5 / (par indépendance). On a donc, par application du T.C.L : X5 P { U k > 3} 'P ( Z > k= (où Z est normale centrée réduite) k= 3 p 5/ )= P (Z > 3 p 5/ ) ', 44. Corrigé 78 Soit T la variable aléatoire de durée de vie du système ; T suit approximativement une loi normale d espérance 5 = 5 et de variance = 5 = 5 (d après l indépendance des variables de durée de vie de chaque ampoule). On a donc : (où Z est normale centrée réduite) P {T >55} 'P (Z > 55 5 p 5 ) ', 3. 4

43 Corrigé 79 Dans notre problème, une première ampoule de durée de vie X est placée puis, lorsque celle-ci est en fin de vie, on la change par une autre ampoule de durée de vie X,etc. On s intéresse à la somme des durées de vie de ces ampoules. Puisqu on s intéresse à la somme, l ordre des X i importe peu. Appelons X A la somme des durées de vie des ampoules de type A. Puisque 4 3 et que l on peut estimer que la durée de vie d une ampoule est indépendante d une autre, on peut appliquer le théorème central limite qui nous dit que la somme X A obéit approximativement à une loi normale de moyenne µ A = 4 = 4 [heures] et de variance A A = 4 = 4 [heures ]. A De même, si l on appele X B la somme des durées de vie des ampoules de type B, on obtient grâce au TCL (et à l indépendance des durées de vie) que X B obéit approximativement à une loi normale de moyenne µ B = 6 = 3[heures] et de variance B B = 6 = 5 [heures ]. B On s intéresse ici à la somme des durées de vie de toutes les ampoules qui est X = X A + X B. Grâce à l additivité de la loi normale et à l indépendance des durées de vie, X est approximativement une variable normale de moyenne µ = µ A + µ B = 7 et de variance = A + B = 55. Ayant obtenu la loi de X on peut maintenant calculer notre probabilité P (X 65) = P (X apple 65) = 65 7 p 55 = (.67) =.75. Corrigé 8 Le nombre de six obtenus lors de jets suit une loi binomiale de paramètres n = et p = /6. Cette variable aléatoire a pour moyenne np = /6 = et variance np( p) = /6 5/6 ' 6, 7. Par le TCL, on approxime le nombre de six obtenus lors de jets par une variable aléatoire X normale de moyenne µ = et de variance = 6, 7. La probabilité d avoir moins de 6 fois le nombre six est alors donné par P (X <5, 5) = P (Z < 5, 5 µ )=P (Z <, ) ', 35, où Z est une variable aléatoire normale centrée réduite. Corrigé 8 Soit X le nombre de faces obtenus. X est égal à la somme de 5 variables aléatoires indépendentes de Bernoulli de paramètre /. X est donc une v.a. binomiale de paramètres n = 5 et p =/. Son espérance et sa variance valent donc µ := E(X) =np = 5 = 5 et := Var(X) = np( p) = 5 = 5. Par application du TCL, on a ensuite P (5 apple X apple 5 + ) = P (4 apple X apple 6) ' P 4 µ apple Z apple 6 µ = P (, 894 apple Z apple, 894) = P ( apple Z apple, 894) =, 34 =, 68, où Z est une variable gaussienne centrée réduite Corrigé 8 a) Puisque que Y =lnx on a et E(Y )= Z ln x dx = x ln x x =, applez var(y )=E Y (E(Y )) = (ln x) dx =x(ln x) x ln x +x =. b) On observe que la fonction ln est strictement croissante et donc et que, si on pose Y i =lnx i, on obtient P Z< 4 = P (ln Z< 4 ln ), X ln Z = Y i, c est à dire ln Z est la somme de variable indépendentes avec la même distribution (et on a calculé en (a) l espérance et la variance de Y i ). On va donc utiliser le TCL et remplaçer ln Z par la variable W de loi N (, ). Finalement on obtient! P Z< 4 ' P (W < 4 ln ) = P W p E(W ) 4 ln + < ' (.79) '.78. var(w ) i= 43

44 Corrigé 83 La médiane est une mesure de localisation au même titre que la moyenne (confondues dans le cas gaussien par exemple). La médiane est très peu influencée par une perturbation importante d une observation, et donc peu sensible à la présence d ouliers, au contraire de la moyenne par exemple. Corrigé 84 La corrélation empirique est définie comme P n i= (x i x)(y i ȳ) pp n n i= (x i x) P n i= (y i ȳ), où x et ȳ sont les moyennes empiriques de x,...,x n et de y,...,y n respectivement. Corrigé 85 Toutes les observations sont égales. Corrigé 86 La corrélation empirique mesure l association (linéaire) des variables X et Y et est toujours comprise entre et. On peut donner comme contre-exemple à d) les observations (x,y )=(, ) et (x,y )=(, ), pour lesquelles la corrélation est nulle. Corrigé 87 La covariance empirique mesure l association des variables X et Y mais n est pas bornée. On peut donner comme contre-exemple à c) les observations (x,y )=(, ) et (x,y )=(, ), pour lesquelles la covariance est nulle. Contrairement à la corrélation, la covariance n est pas standardisée et dépend des unités de X et Y. Corrigé 88 a) La moyenne empirique vaut 5.3 grammes et l écart-type empirique 33. grammes. Supposant le poids des pommes normalement distribué, alors les bornes d un intervalle de confiance à 9% se calculent comme suit : 5.3±.9 33., autrement dit un intervalle de confiance [.4, 8.]. b) Un intervalle de confiance à 9% pour la moyenne recouvre en moyenne (si on cueille plusieurs autres échantillons de pommes) 9 fois sur la vraie moyenne. Corrigé 89 On estime la proportion de la population qui a donné une mauvaise réponse à / =.. On pose X comme la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses, c est-à-dire X Bin(,.). On applique le théorème central limite pour déduire un intervalle de confiance, ici. (.) [. ±.96 ]=[.99,.]. Corrigé 9 a) On a x =9ets =6.5. b) Si X est la variable aléatoire pour le temps de conversation, on cherche P(X ). On suppose X N( x, s ), et écrivant X = X X s, la probabilité recherchée est P( X.4) = (.4) =.345. c) On utilise le test du rapport de vraisemblances {`(8) `a( x)} = (.4 +.5) =.44. Le quantile à 95% de la loi étant 3.84, on ne peut rejeter l hypothèse nulle au niveau 5%. Corrigé 9 a) Avec n mesures, l intervalle de confiance à ( ) = 9% pour m est : [X n p n z / ; X n + p n z / ] (X n étant la moyenne arithmétique des n mesures). L IC a pour longueur ( / p n)z /. Pour diminuer de moitié la longueur de cet intervalle, il faut donc quadrupler le nombre de mesures e ectuées, autrement dit e ectuer 75 mesures supplémentaires. b) Soit =, et =, 5, Pour obtenir un intervalle de confiance à 95% pour m ayant la même longueur que l IC à 9%, il faut donc un nombre n de mesures qui soit tel que : p p n n z ' / z / ' 5, 958, soit n = 35.5, donc mesures supplémentaires. Corrigé 9 a) On sait que : p 6( ˆmX m ) ˆX suit une loi de Student à 5 degrés de liberté. On a ensuite : P { ˆm X a apple m apple ˆm X + a} = P { ˆm X m applea} = P {m a apple ˆm X apple m + a} p p p = P { a apple m ) apple a Cette probabilité vaut, 95 si : a p 6 ˆX ˆX (ˆm X ˆX }. ˆX ', 57. Ici : ˆx ', 673, on obtient donc : a ', 756, puis I x = [47, 44; 5, 96]. 44

45 De même, p ( ˆmY m ) ˆY ˆm Y + a } vaut donc, 95 pour p ˆY suit une loi de Student à degrés de liberté, la probabilité P { ˆm Y.(a ) ',, ainsi I y = [47, 9; 49, 5]. a apple m apple b) p 6( ˆm X m vaut, 95 pour a p 6 ) suit une loi normale centrée réduite, et : p 6 P { ˆm X m applea} = P { a apple p 6( ˆm p X m 6 ) apple a }, ', 96, i.e. : a ', 65. Le nouvel intervalle de confiance à 95% pour m est donc J x = [47, 935; 5, 465]. Pour le deuxième échantillon, les calculs donnent : a ',96 ', 98, et le nouvel intervalle de confiance à 95% pour m est donc J y = [47, 4; 49, 38]. c) ( ˆm X ˆm Y ) est encore normale, d espérance (m m ) et de variance : /6+ / = /3, I = [(49, 48, 4), 64. p /3; (49, 48, 4) +, 64. p /3] = [, 54;, 4] fournit donc un intervalle de confiance à 9% pour la di érence (m m ). Corrigé 93 a) On a : ˆm = S = ( ) ', 73, 999 (9 (, 73) + (3, 73) (3, 73) ) ', 8. b) Soit Z une variable N (; ). On a : P {Z >, 96} ', 5,P{Z >, 58} ', 5. L intervalle de confiance à 95% pour la moyenne m est donc : [ˆm, 96 S, 96 S p ;ˆm + p ] ' [, 5;, 95]. L intervalle de confiance à 99% pour la moyenne m est : [ˆm, 58 S, 58 S p ;ˆm + p ] ' [, 44;, ]. Corrigé 94 On note X la variable aléatoire égale au nombre de cafés bus annuellement par un employé. D après l énoncé, X est normal. Noons µ et respectivement sa moyenne et variance, tous deux inconnus. A partir des quantité de cafés X,...,X n bus annuellement par les n = 3 employés, on a trouvé une moyenne empirique X = 5 et une variance empirique S = des quantités de café bus annuellement par un employé. Un intervalle de confiance à 95% de la moyenne annuelle µ est alors donné par : [ X t n ( /)S/ p n, X + t n ( /)S/ p n], où n = 3 et t n ( ) estle( )-quantile de la loi de Student à (n ) degrés de liberté (égal ici à z car n = 3 est grand), =.5. On trouve alors l IC à 95% de µ : [488.66, 58.79]. Note : Avec la table, on utilise t n ( ) =t ( ) =z le ( ) quantile de la loi normale centrale réduite et on obtient l IC à 95% de µ : [488.68, 5.3]. Un intervalle de confiance à 95% de la variance de X est donné par : [ (n )S (n )S ( /), n ( /)], n où n ( ) estle -quantile de la loi du à (n ) degrés de liberté. On obtient l IC : [857.39, 88.53]. 45

46 Corrigé 95 a) Puisque n = est asez large, on peut supposer que le salaire moyen suit une loi normale. Un intervalle de confiance au seuil 9% du salaire moyen est (avec =.) [ X z / S/ p n, X + z / S/ p n] = [47375, 4864]. b) Cela revient à tester l hypothèse H : le salaire moyen est ǵal à 5 CHF. D après la question préc dente, on rejette cette hypothèse au seuil 9%, donc on conclut que l a rmation n est pas raisonnable. Corrigé 96 La vraisemblance vaut L( ) = = ny f (y i ) i= n n e P n i= yi n Q n i= y i, >, apple puis : 7! 3n log 8 >, L( ) =Cte exp P n i= y i atteint son maximum en ˆ = ( P 3n n i= y, i ) nx y i +3n log, i= qui est l estimateur du maximum de vraisemblance de. Corrigé 97 La vraisemblance est L( ) = my (e zi z i! ), i= = e ( )z+...+zm m,. > z!...z m! D où 8 >, L( ) =Cte exp {(z z m ) log m }. L(.) atteint son maximum en P m i= ˆ = z i m = z, qui est l estimateur du maximum de vraisemblance de. Corrigé 98 a) Soient x,...,x 4 les données ( ) de l échantillon. Pour tout k>: L(k) = Y4 f k (x i ) i= Y4 = k 8 ( x i )e k P x i i= = Cteexp n8 log k k X x i o, k 7! 8 log k k P x i atteint son maximum en ˆk = 8 P xi = x =. b) La log-vraisemblance vaut `(k) =Cte + 8 log k k X x i, 46

47 d où `(k) = 8/k ` (k) = 8/k. X xi, L information observée en ˆk vaut donc J(ˆk) = 8/ˆk = 8. Un IC approximatif pour k au niveau ( ) = 95% est [ˆk J(ˆk) / z /, ˆk + J(ˆk) / z / ]=[.93,.7]. c) La proportion de familles économisant moins de maravedis est donc : = Z xe x dx = e ' 6%. Corrigé 99 a) On a : P { apple r} = r R =( r R ), si apple r apple R,, si r>r. La fonction de densité f R de la variable est donc nulle en dehors de l intervalle [; R] ettelleque: 8r [; R],f R (r) = r R. b) Puisque les variables,..., n sont indépendantes : L(R) = ny f R ( i ). On a donc si apple R<maxappleiapplen L(R) = i, n ( Q n i= i)/r n si R max appleiapplen i et la fonction de vraisemblance L(.) atteint son maximum en : i= ˆR = max appleiapplen i. Puisque P {(max appleiapplen i ) apple r} = P ( apple r) n =( r R )n, ˆR a pour densité et le bias de ˆR vaut E( ˆR) = n R n Un estimateur sans biais de R est donc f ˆR(r) = n R n rn, r >, R = Z R r r n dr = n n + R. n + n Corrigé a) La densité de la loi uniforme U(,b)est max appleiapplen i. f(x) = b pour apple x apple b. La vraisemblance est L(b) = b n pour apple X,...,X n apple b qui atteint son maximum lorsque b est le plus petit possible, i.e. lorsque b est égal à la plus grande des x i. L estimateur de maximum de vraisemblance de b est donc ˆb = max n i= X i. 47

48 Corrigé a) En notant U a (resp. U b ): X provient provient de la loi uniforme sur [,a], on a 8 < F X (x) = = et la fonction de densité est : 8 >< >: six< P (X apple x U a )P (U a )+P (X apple x U b )P (U b )siapple x apple b six>b six< p x a +( p +( six>b p) x b p) x b si apple x apple a si a apple x apple b 8 six< >< p ( p) f X (x) = a + b si apple x apple a ( p) >: b si a apple x apple b six>b b) Les variables étant supposées indépendantes, chacune des X i appartiendra à l intervalle [,a]avec la probabilité F X (a). Ainsi N a suit la loi binomiale de paramètre n et p = p + ( p)a b. Son espérance est n p et sa variance n p( p). c) La vraisemblance pour p est L(p) = p a + p Na p b b n Na et en dérivant par rapport à log = N a b a pb +( p)a (n N a ) p, d où on tire Corrigé On a E (X a + b ) = E ( ( nx i= X i n ˆp = N ab b na. a ) a + b n ) = nx i= E ( X i n a + b (b n ) a) = n (la variance d une somme de variables indépendantes centrées vaut la somme de leurs variances et X i /n est de loi uniforme sur [ a n, b (b a) n ], donc de variance n ). Corrigé 3 a) On a E( T )= / etvar( T )= n donc E( )= et Var( )= 3n!. b) P (M n <m)=p (T <met T <m... et T n <m), donc 8 < (m/ ) n si m [, ] P (M n <m)= sim> : sim apple Par intégration, E(M n )= n n+ et E(M n)= n n+ donc Var(M n n)= (n+)(n+). c) On prend = n+ n M n.onae( )= et Var( )= n(n+)! quand n!. d) Puisque la variance de est plus faible que la variance de (donc risque quadratique plus faible), il est préférable d utiliser. e) M n et convergent vers en probabilité car : et P { ˆ > } = P { M n n n + > 8 >, P{ M n > } = P {( M n ) > } =( ) n! n n + } = P {M n < n n + ( )} + P {M n > n ( + )}!. n + 48

49 Corrigé 4 a) La densité a posteriori s écrit f( t) = f(t )f( ) f(t) b) La vraisemblance a posteriori s écrit / f(t )f( ) = e ( +t) / e ( +t). L( ) =f( t,...,t n ) / f(t,...,t n )f( ) =f( ) qui est maximale lorsque soit l estimateur du maximum a posteriori n n n + ˆ MAP = Corrigé 5 a) D après l énoncé, la loi a priori de p est ny i=! nx t i = i= n + P n i= T i P (p =.5) = P (p =.) =.5. Pour p fixé, X suit une loi binomiale de paramètres n = et p : b) D après la formule des proabilités totales, P (X = k p) =C k np k ( p) n k. f(t i ) = n e ( +P n i= ti) P (X = 3) = P (X =3 p =.5)P (p =.5) + P (X =3 p =.)P (p =.) = =.49. c) Parmi les composants, 3 composants ont été détectés comme défecteux. Les probabilités a posteriori de p =.5 et p =. sont, d après le théorème de Bayes, P (p =.5 X = 3) = P (p =. X = 3) = P (X =3 p =.5)P (p =.5) = =.386 P (X = 3).49 P (X =3 p =.)P (p =.).9.5 = =.764 P (X = 3).49 Il est a posteriori trois fois plus probable que % des composants soient défectueux, plutôt que 5%. d) L espérance a posteriori de p est E(p X = 3) =.5 P (p =.5 X = 3) +. P (p =. X = 3) =.88. La variance a posteriori de p est Var(p X = 3) = E(p X = 3) {E(p X = 3)} =.5 P (p =.5 X = 3) +. P (p =. X = 3) {E(p X = 3)} =.4 e) La moyenne a posteriori de p n est ni en accord avec le chef de production (qui a rme que p =.5), ni en accord avec l inspecteur (qui estime que p =.). Néanmoins, la valeur donnée par l inspecteur est la plus proche de la moyenne a posteriori. 49