Le théorème de Thalès et agrandissement/réduction
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- Marthe Paradis
- il y a 6 ans
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1 Le théorème de Thalès et agrandissement/réduction A) Le théorème de Thalès. 1. Enoncé du théorème. Théorème : Si ACE et ABD sont deux triangles tels que : B est un point de [AC). D est un point de [AE). (BD) parallèle à (CE). AB AD BD Alors on a l égalité :. AC AE CE Rédaction : Dans le triangle ACE on a : B [AC] D [AE] (BD) est parallèle à (CE) D après le théorème de Thalès on a : AB AD BD AC AE CE 2. Application du théorème. Exercice n 1 : À l aide de la figure ci-contre représentée à main levée, calcule RV.
2 B) Agrandissement et réduction. 1. Définition. Définition : Quand deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est l'agrandissement ou la réduction de l'autre. Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservées. Remarques : Si F est un agrandissement de F' alors F' est une réduction de F. Le coefficient de proportionnalité est le rapport d'agrandissement ou de réduction. 2. Application. Exercice n 2 : On considère la figure ci-contre : On sait que : Les droites (VL) et (CN) sont sécantes en A. (LC) et (VN) sont perpendiculaires à (CN). Le triangle LAC est-il une réduction du triangle VAN? Justifie ta réponse. Exercice n 3 : Pour chacune des figures ci-dessous, rédige soigneusement la démarche te permettant de calculer la longueur en cm du côté marqué d un «?», en utilisant le théorème de Thalès. Exercice n 4 : Soit deux rectangles R1 et R2. Le rectangle R2 est-il une réduction du rectangle R1? Justifier votre réponse.
3 Exercice n 5 : Il y a longtemps, à peu près en 600 avant J.C., un homme appelé Thalès de Milet a réussi à mesurer la hauteur d une pyramide (celle de Kheops), ce qui était très difficile. Pour cela, il a juste utilisé son ombre et sa tête! Il est parti du principe simple qu à un certain moment de la journée, la longueur de son ombre était égale à sa taille. Lorsque le moment est arrivé, Thalès s est placé de façon que le haut de son ombre coïncide avec le haut de l ombre de la pyramide. Il a ensuite mesuré sa distance à la pyramide, et sa distance au haut de son ombre. Il a dit alors : «À cet instant précis, la hauteur de cette pyramide est égale à la longueur de son ombre, je sais donc que cette pyramide mesure environ 136 m!» Peux-tu expliquer le raisonnement de Thalès? Exercice n 6 : 1) Construis un triangle ABC tel que : AB = 3,4 cm ; AC = 4,5 cm et BC = 7 cm. 2) Construis un triangle CDE qui soit un agrandissement de rapport 2 du triangle ABC et tel que D appartient a la demi-droite [CA) et E appartienne a la demi-droite [CB). 3) Démontrer que (DE) et (AB) sont parallèles. Exercice n 7 : Thomas veut louer un appartement dans un immeuble situé près de la mer. Une maison est malheureusement construite entre la plage et son immeuble. À quelle hauteur minimale doit se situer son appartement pour que Thomas puisse apercevoir un bout de la plage de chez lui?
4 Exercice n 8 : Construis un segment [AB] de longueur 4cm. Construis le cercle de centre A et de rayon 3cm. C est le point du segment [AB] tel que : AC = 2,5cm. La droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par C coupe le cercle en deux points M et N. Trace la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par B. Elle coupe (AM) en E et (AN) en F. 1) Construis la figure. 2) Calcule, en cm, la longueur AE. Exercice n 9 : Sur la figure ci-contre, ABCD est un parallélogramme tel que : AB = 5cm ; BC = 3cm. E est un point de la demi-droite [BC) tel que : CE = 4cm. Les droites (AE) et (DC) se coupent en F. Calcule, en cm, la longueur FC. Donne l arrondi au dixième du résultat. Exercice n 10 : Vu au Brevet Des élèves participent à un cross. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté ci-après : On peut y lire les indications suivantes : AB = 400 m ; AC = 300 m ; l'angle CAB est droit ; BE = 2AB et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 1) Calculer BC. 2) Calculer AD puis CD. 3) Calculer DE. 4) Vérifier que la longueur du parcours ABCDE est m.
5 Exercice n 11 : Sur la figure ci-dessous, le point A appartient au cercle de diamètre [CT] et de centre S. Les droites (HS) et (CA) sont perpendiculaires. 1) Démontrer que CHS est une réduction du triangle CAT. 2) En déduire que H est le milieu du segment [CA]. 3) Que peut-on en déduire pour l aire de ces deux triangles? Exercice n 12 : Vu au Brevet Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre. 1) Tracer un rectangle ABCD tel que AB = 8 et BC = 4. Placer le point I sur le segment [AB] tel que AI = 6 puis le point J, milieu du segment [BC]. Tracer la parallèle a la droite (IJ) passant par A : cette parallèle coupe le segment [DC] en K et la droite (BC) en H. 2) Calculer BH. 3) Quelle est la nature du triangle ABH? 4) Préciser la position du point K sur le segment [DC]. 5) Que peut-on en déduire pour les droites (KJ) et (DB)? Justifier la réponse. Exercice n 13 : Vu au Brevet Funiculaire : chemin de fer a traction par câble pour la desserte des voies à très forte pente. La longueur AD de la voie du funiculaire est de 125 m. 1) De quelle hauteur AH s'est-on élevé a l'arrivée? 2) Lorsque le funiculaire a parcouru 42 m, il s'est élevé d'une hauteur MP. Faire un dessin à l'échelle 1/ ) Que peut-on dire des droites (MP) et (AH)? Justifier la réponse. 4) Calculer MP.
6 Exercice n 14 : Sur la figure ci-dessous, les droites (MN) et (BC) sont parallèles et AB = 10 cm. 1) Calcule BC. 2) Démontre que le triangle ABC est rectangle. Exercice n 15 : Sur la figure ci-dessous : EF = 3 cm ; BG = 4 cm et GC = 2 cm. Les droites (FE) et (AD) sont parallèles. Les droites (EG) et (DC) sont parallèles. 1) Justifier que BAD est un agrandissement de BEF dont on précisera le coefficient. BE 2) Calculer. BD 3) En déduire AD. Exercice n 16 : D'après le code de la route (Article R313-3) : «Les feux de croisement d'une voiture permettent d'éclairer efficacement la route, la nuit par temps clair, sur une distance minimale de 30m.» Afin de contrôler régulièrement la portée des feux de sa voiture, Jacques veut tracer un repère sur le mur au fond de son garage. Les feux de croisement sont à 60 cm du sol. À quelle hauteur doit-il placer le repère sur son mur pour pouvoir régler correctement ses phares?
7 Exercice n 17 : Vu au Brevet Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois. (Sur le schéma ci-dessous, les mesures sont en mètres.) 1) En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS. 2) Calculer les longueurs SM et SN. 3) Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol. Exercice n 18 : Vu au Brevet Dans le croquis ci-dessous, le tiki représente Moana, un élève de 3e qui mesure 1,80 m. Moana a d abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis il s est ensuite placé exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la 7 ème noix de coco. À l aide d informations qui proviennent des documents précédents, calcule la hauteur du cocotier en expliquant clairement ta démarche.
8 Exercice n 19 : La ville BONVIVRE possède une plaine de jeux bordée d une piste cyclable. La piste cyclable a la forme d un rectangle ABCD dont on a «enlevé trois des coins». Le chemin de G à H est un arc de cercle dont le centre est le sommet K du carré HCGK. Les chemins de E à F et de I à J sont des segments. Les droites (EF) et (AC) sont parallèles. K Quelle est la longueur de la piste cyclable? Justifier la réponse.
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