À quoi ça sert de factoriser?

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1 La factorisation

2 À quoi ça sert de factoriser? A AC mesure 12 cm DB mesure 7 cm Quelle est la mesure de AD? D 7 C B Un rectangle a une longueur mesurant 30 cm de plus que le double de sa largeur. Son aire est de 108 cm 2. Détermine la mesure des cotés.

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6 A) Retour sur les lois des exposants Rappelle-toi, AVANT DE CALCULER QUOI QUE CE SOIT, de respecter la priorité des opérations PEMDAS En te référant aux rappels joints à la fin de ce document, effectue les pages du cahier et corrige-les! p.16, p.17#3, p.18, p.19 #8, p.20#12

7 B) La mise en évidence simple Exemple 1: En Art, les proportions sont très importantes. Partons de ce fait afin d'explorer l'utilité de notre première méthode de factorisation! La face latérale d'un cylindre en carton a été utilisée pour découper de petits rectangles isométriques. Nous savons que la hauteur du cylindre avait 2 cm de plus que 4 fois son rayon. Les rectangles que nous désirons découper doivent avoir une longueur 8 fois moins grande que la circonférence de la base du cylindre initial. Quant à la largeur, elle doit correspondre à 1 cm de plus que le double du rayon du cylindre. Combien de rectangles pouvons-nous découper?

8 Exemple 2 60x 4-15xy x 2 Quel est le plus grand diviseur de 60, 15 et 45? C'EST 15!!! Quel est le plus grand diviseur de x 4, x et x 2? C'EST x!!! 15x ( 4x 3-1y 3 +3x ) 15x 4x 3 = 60x 4 15x -1y 3 = -15xy 3 15x 3x = 45x 2 Donc nous avons ressorti le plus grand diviseur du polynome et nous avons écrit notre polynome de départ comme un produit de facteurs. Exemple 3 4a(2b+3) - 7(2b+3) Chacun des termes est divisible par (2b+3) Mettons le en évidence! (2b+3) ( 4a - 7) Nous pouvons valider! (2b+3) ( 4a - 7) = 4a(2b+3) - 7(2b+3) Donc la méthode de factorisation par simple mise en évidence consiste à : Ressortir le plus grand diviseur COMMUN à TOUS les termes de notre expression algébrique Écrire notre polynome de départ sous la forme d'un produit de facteur Valiser que nous obtenons bien l'expression de départ. Devoir Cahier p.17 #4 et #5

9 C) Le binôme au carré et le trinome carré parfait b a a b À quoi ça sert? Voici une des situations pour laquelle le trinome carré parfait nous sera d'un grand secours! Détermine la mesure des cotés d'un carré dont l'aire est de (9x x + 25) unités carrées 9x x + 25 Sans procéder par la multiplication de binome par binome ( sans la pince de crabe ), trouve le trinome associé à chacun des binomes au carré: Manuel p.64#10 Trouve le binome au carré associé à chacun des trinômes suivants: Manuel p.64#9

10 D) La double mise en évidence Partons d'un exemple! L'aire d'un rectangle est (6x 2 +2x-15x-5) unités carrées. Détermine l'expression algébrique de chacun des cotés de ce rectangle. Il est parfois utile de manipuler notre expression algébrique! 16x 2 + 6x +56x +21 Cahier p. 21 #15

11 E) La différence de carrés Différence de carrés Qu'est ce que les différences de carrés ont de particulier? a 2 - b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Exemple1 : 16x 2-25 Exemple 2 : 81x 4-1 Cahier p.23#19 ET Manuel p. 63#7

12 Cahier p. 21 #15 Cahier p.23#19 ET Manuel p. 63#7

13 F) Produit-somme Rappelons-nous que l'objectif de la factorisation est d'écrire un polynôme sous la forme d'un! Utilisons le trinome 4x x + 9 afin d'étudier cette méthode de factorisation. 1) Est-ce un trinome carré parfait? Cela signifie que nous n'avons pas un binôme au carré. Visuellement, nous pouvons résumer en disant que le trinome représente l'aire d'un rectangle et non l'aire d'un carré. 2) Alors nous utiliserons la méthode Produit-Somme! Étape A) Réécrire notre terme du centre comme la somme de deux monomes. Mais comment savoir quelle somme utiliser... Est-ce 1x+19x? ou bien 2x+18x? ou 3x+17x? ou 4x+16x? ou 5x+15x? ou 6x+14x? ou 7x+13x? ou 8x+12x? ou 9x+11x? ou 10x+10x? Produit Somme 4x x + 9 Étape B) Effectuer une double mise en évidence et c'est fini YOUPI!

14 Exemple 2: Le cercle possède plusieurs propriétés. L'une d'entre elles est la suivante: ab=cd a d c b Utilisons cette propriété afin de déterminer la valeur de x! N'oublions pas de valider notre réponse! 6x 2 (x + 23 ) Les deux fonctionnent! Nous prendrons la mesure positive!!! x=1/2 Wouhou! Cahier p.21 #16 p.22 au complet

15 Cahier p.21 #16 p.22 au complet

16 G) Division d'un polynôme par un binôme (4x 2 +9x-9) (x + 3) 4x 2 +9x -9 x + 3 (4x 2 +8x-9) (2x - 3) 4x 2 +8x -9 2x - 3 (9x 2-16y 2 +9x+12y) (3x + 4y) 9x 2-16y 2 +9x +12y 3x + 4y Manuel p.62 #4 Cahier p.19#9

17 Manuel p.62 #4 Cahier p.19#9

18 H) Les fractions rationnelles Factoriser le numérateur Factoriser le dénominateur Réduire! Exemple 1 : 4x - 1 = x x-30 Exemple 2 : 4x 2-12x + 9 2x 2 + 3x a - 5 a 2-9 Cahier p.20#14 p.23#22 p.24 au complet

19 Cahier p.20#14 p.23#22 p.24 au complet

20 Mises en situation Fraisinette désire construire une clôture afin de délimiter l'endroit où elle plantera ses fraises. Voici les informations qu'elle possède sur l'espace rectangulaire dont elle dispose pour planter ses fraises: L'aire est de 143m 2 L'expression algébrique représentant l'aire est 6x 2-13x -5 DÉTERMINE LA LONGUEUR DE CLÔTURE DONT ELLE AURA BESOIN! (3x+1) (2x-5) 6x 2-13x-5 6x 2-13x-5 P: =-30 S: =-13 6x 2 +2x -15x +5 2x(3x+1) -5(3x+1) (2x-5) (3x+1) Mon rectangle a une aire de 6x 2-13x-5 Pour obtenir ce polynôme, on a fait le produit de la largeur et de la longueur du rectangle. Pour déterminer les polynôme représentant la largeur et la longueur du rectangle, il suffit de factoriser! On sait que notre 6x 2-13x-5 = 143 Notre travail est d'amener notre équation égale à 0. 6x 2-13x-148 = 0 Factorisons! P: =-888 S: =-13 6x 2-37x+24x-148 = 0 6x 2 +24x+-37x-148= 0 6x(x+4) -37(x+4)=0 (6x-37)(x+4)=0 On sait alors que c'est soit (6x-37) qui vaut 0 ou bien que c'est (x+4) qui vaut 0. 6x-37=0 OU x+4=0 x=37/6 6,1667 x= -4 Substituons dans nos mesures de cotés. Nous prendrons la réponse nous donnant des mesures positives! (2x-5) = 2 (37/6)-5 = 44/6 7,3333 (3x+1) = 3 (37/6)+1 = 117/6 19,5 OU (2x-5) = 2 (-4)-5 = -13 (3x+1) = 3 (-4)+1 = -11 On sait donc que notre x vaut 37/6 et nous pouvons calculer facilement le périmètre du rectangle. 44/6+117/6+44/6+117/6 = 322/6 unités = 161/3 unités 53,6667unités

21 L'équation de la parabole décrite par le ballon lorsque notre joueur a botté le ballon est y= x 2-88x Détermine è combien de mètres du botteur est-ce que le ballon est retombé. Réponse: 88m

22 12x 2 +66x +36x x 2 +14x+20 2x+7 6 6x 2 +24x+18 À l'intérieur de chacun des rectangles se trouve l'expression algébrique représentant son aire. Ton travail sera de déterminer l'aire exacte (en valeur numérique!) du carré blanc sachant que l'aire totale du grand rectangle de bordure bleue est de 108cm 2 Réponse: 25cm 2 Factorisons chacun des polynômes et déterminons le coté manquant au rectangle bleu. L'objectif sera de déterminer la valeur du x et également l'expression algébrique de chacun des cotés du carré. 1) 2x 2 +14x+20 P: S: x 2 +8x+5x+20 2x(x+4) +5(x+4) (2x+5)(x+4) 3) 6x x+18 2) 12x 2 +66x + 36x x 2 +36x + 66x x ( x+3) +66 (x+3) (12x+66)(x+3) Oh oh! 12 et 66 se divisent en 3... cela veut dire que nous avons oublié la PLUS importante des étapes! LA MISE EN ÉVIDENCE!!! 12x 2 +66x + 36x (2x 2 +11x + 6x + 33) 6 (x(2x+11) + 3(2x+11) ) 3 (x+3)(2x+11) Comme notre expression de départ était : 12x 2 +66x + 36x Il ne reste que (x+3)(2x+11) Ne nous faisons pas avoir! Faisons notre mise en évidence! 6(x 2 +4x+3) x 2 +4x+3 P:3 1 3 S: x 2 +1x+3x+3 x(x+1)3(x+1) (x+3)(x+1) (2X+5) (X+4) (X+4) 2x 2 +14x+20 (2x+5)(x+4) (x+3)(x+1) 2x+7 (X+3) 12x 2 +66x +36x (x+3)(2x+11) (X+3) 6x 2 +24x+18 Plaçons nos mesures de cotés en tenant compte des mesures communes aux rectangles. Premièrement les rectangles turquoise et verts on (x+3) en commun. De ce fait, on remarque que pour obtenir notre mesure verticale de 2x+7, il ne manque que (x+4). Cela nous dit que pour le rectangle rose, la mesure verticale est (x+4). De plus, cela se trouve à être la mesure d'un côté de notre carré blanc! Les dimensions de notre grand rectangle bleu sont de (2x+7) par (2x+5 + x+4) donc par (3x+9) (2x+7)(3x+9) = 6x 2 +18x +21x + 63 On sait que l'aire est de 6x 2 +39x+ 63 = 108cm 2 6x 2 +39x -45 = 0 P 45-6= -270 S 45-6= 39 6x 2-6x + 45x - 45 = 0 6x(x-1) + 45(x-1) = 0 (6x+45) (x-1) = 0 soit 6x+45=0 donc x=-7,5 ou x-1=0 donc x=1 La mesure du côté du carré blanc est de (x+4) donc si nous prenons -7,5, notre mesure de côté serait négative...cela est impossible! C'est donc x=1 et chaque côté mesure (1+4) = 5 L'aire du carré est de 5 5 = 25cm 2