CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

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1 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Une équation diophantienne est une équation algébrique pour laquelle on cherche des solutions en entiers. Nous étudierons trois équations x + y = z (Pythagore) x 4 + y 4 = z 4 (Fermat en degré 4) x dy = ±1 (Pell) 1. L équation de Pythagore Pour l équation de Pythagore x +y = z on étudiera les solutions positives et primitives. Si on connaît les solutions positives on connaît toutes les solutions de tous les signes, car les solutions de l équation de Pythagore sont les (x, y, z) = (±x 0, ±y 0, ±z 0 ) avec (x 0, y 0, z 0 ) une solution positive. Une solution est dite primitive si pgcd(x, y, z) = 1. Il suffit encore de connaître les solutions primitive pour en connaître les autres ; elles sont les (x, y, z) = (dx 0, dy 0, dz 0 ) avec d entier et (x 0, y 0, z 0 ) une solution primitive. Proposition 1.1. Les solutions de l équation de Pythagore x + y = z sont de la forme (x, y, z) = (±dx 0, ±dy 0, ±dz 0 ) avec (x 0, y 0, z 0 ) une solution positive et primitive, et d entier. Avant de commencer l analyse des solutions positives et primitives, considérons le lemme suivant. Lemme 1.. Soit (x, y, z) une solution en entiers de l équation de Pythagore x + y = z. Alors les quatre conditions suivantes sont équivalentes. pgcd(x, y, z) = 1, pgcd(x, y) = 1, pgcd(x, z) = 1, pgcd(y, z) = 1. Preuve. Clairement si on a pgcd(x, y) = 1 ou pgcd(x, z) = 1 ou pgcd(y, z) = 1, on a aussi pgcd(x, y, z) = 1. Donc il faut montrer que pgcd(x, y, z) = 1 implique pgcd(x, y) = 1 et pgcd(x, z) = 1 et pgcd(y, z) = 1. Donc supposons que pgcd(x, y, z) = 1 et montrons pgcd(x, y) = 1. Si d est un diviseur commun de x et y, alors d divise x + y = z, ce qui implique que d divise z aussi. Donc d est un diviseur commune de x, y, z, dont le pgcd est 1, et on a d = 1. Donc on a pgcd(x, y) = pgcd(x, y, z) = 1. Similairement tout diviseur commu de x et z divise y aussi, et tout diviseur commun de y et z divise x aussi. Donc dans une solution primitive de Pythagore, x, y, z sont premiers entre eux deux à deux. Maintenant supposons que (x, y, z) est une solution positive et primitive de l équation de Pythagore. Cherchons ce qu elle peut être. Par le lemme, x et y sont premiers entre eux, et donc pas pairs tous les deux. Rappelons que pour tout a pair quand on regarde modulo 4, on a a 0 (mod 4). Et pour tout b impair, on a b 1 (mod 4). Aucun carré n est congru à ou 3 (mod 4). On en déduit 34

2 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 35 que dans une solution de Pythagore, on ne peut avoir x et y impairs tous les deux, car cela donnerait z x + y (mod 4), ce qui est impossible. Donc dans une solution primitive (x, y, z) de Pythagore, un parmi x et y est pair et l autre impair. On peut supposer que x est impair et y est pair (quitte à les permuter). On voit alors de z = x + y que z est aussi impair. Donc on a x et z impairs, et y pair. On peut réécrire l équation sous la forme y = z x = (z + x)(z x). Maintenant y, z + x et z x sont tous pairs. On peut les diviser par et trouver ( y ) = z + x z x. (1) Maintenant montrons que z+x et z x sont premiers entre eux. Supposons d un diviseur commun. Alors d divise z+x + z x = z, et d divise aussi z+x z x = x. Mais z et x sont premiers entre eux. Donc le seul diviseur commun de z+x et z x est d = 1, et z+x et z x sont bien premiers entre eux. Maintenant on a le lemme suivant, qu on démontrera plus tard. Lemme 1.3. Soit a, b, c entiers strictement positifs, et supposons qu on a a pgcd(b, c) = 1. Alors b et c sont carrés. = bc avec En appliquant le lemme à l équation (1), on voit qu il existe m et n entiers naturels avec z+x = m et z x = n. En plus m et n sont premiers entre eux comme leurs carrés. On a alors x = z+x z x = m n et z = z+x + z x = m + n. Et on a ( y ) = m n et donc y = mn et y = mn. Finalement, pour que x soit positif, il faut m > n, et pour que x soit impair il faut que m et n soient de parité opposée (l un pair, l autre impair). On a montré la direction difficile du théorème suivant. Théorème 1.4. Les solutions positives et primitives de l équation de Pythagore x + y = z sont données (quitte à permuter x et y) par x = m n, y = mn, z = m + n () avec m et n des entiers naturels premiers entre eux, de parité opposée, et vérifiant m > n 1. Pour compléter la démonstration du théorème, on vérifie que pour tout m et n, les x, y, z donnés par () sont une solution de l équation de Pythagore. En effet, on a x + y = (m n ) + (mn) = (m 4 m n + n 4 ) + 4m n = m 4 + m n + n 4 = (m + n ) = z. On devrait montrer aussi que les conditions sur m et n suffisent pour obtenir x, y, z positifs et premiers entre eux, mais on laisse cela au lecteur.

3 36 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Les premières solutions primitives de l équation de Pythagore sont (m, n) = (, 1) (x, y, z) = (3, 4, 5), (m, n) = (3, ) (x, y, z) = (5, 1, 13), (m, n) = (4, 1) (x, y, z) = (15, 8, 17), (m, n) = (4, 3) (x, y, z) = (7, 4, 5), (m, n) = (5, ) (x, y, z) = (1, 0, 9), (m, n) = (5, 4) (x, y, z) = (9, 40, 41). Il y a aussi des solutions imprimitives comme (x, y, z) = (6, 8, 10) et (x, y, z) = (10, 4, 6). Il reste à montrer le lemme 1.3. Preuve du lemme 1.3. On va par récurrence sur a. Pour a = 1, on a a = 1 = bc, ce qui implique b = c = 1, et donc b et c sont carrés. Pour a, supposons qu on a a = bc avec pgcd(b, c) = 1. Supposons aussi l hypothèse de récurrence forte que pour tout a 1 avec 1 a 1 < a, si on a a 1 = b 1c 1 avec pgcd(b 1, c 1 ) = 1, alors b 1 et c 1 sont carrés. Alors comme on a a, a est divisible par un premier p. Ce p divise a = bc, donc il divise b ou c. Comme b et c sont premiers entre eux, p ne divise pas les deux. Donc p divise un parmi b et c, et est premier avec l autre. Supposons que p divise b et est premier avec c. Comme p divise a, p divise a Comme p est premier avec c, il doit diviser b. On a donc ( ) a p = b p = bc. c avec pgcd( b, c) = 1. p Par l hypothèse de récurrence forte, il existe m et n avec b p = m et c = n. Donc b = (pm) et c = n sont carrés.. La descente infinie de Fermat Grâce au travail d Andrew Wiles, on sait maintenant que pour tout n 3 l équation x n + y n = z n n a pas de solutions avec x, y, z des entiers tous non nuls. Fermat avait démontré les premiers cas n = 3 et 4. Voici la démonstration de Fermat pour n = 4. Il a démontré même un peu plus. Théorème.1. Il n y a pas de solutions en entiers tous non nuls de l équation x 4 + y 4 = t. On en déduit qu il n y a pas de solutions en entiers tous non nuls de x 4 + y 4 = z 4, car une solution (x, y, z) de l une équation, donne une solution (x, y, t) = (x, y, z ) de l autre. Preuve. Il suffit de démontrer qu il n y a pas de solution positive et primitive de x 4 + y 4 = t, car si l équation avait une solution en entiers tous non nuls (x 0, y 0, t 0 ), on poserait d = pgcd(x 0, y 0 ) et trouverait une solution positive et primitive (x, y, t) = ( x 0 d, y 0 d, t 0 ). d On démontrera par une récurrence forte sur t qu il n y a pas de solution positive et primitive de x 4 + y 4 = t. Clairement il n y a pas de solution positive avec t = 1. Soit t, et supposons par récurrence qu il n existe pas de u, v, w strictement positifs avec u 4 + v 4 = w et pgcd(u, v) = 1 et 1 w < t. Supposons par contraire qu il existe x, y positifs avec x 4 + y 4 = t et pgcd(x, y) = 1. En déduisons une contradiction.

4 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 37 On a (x ) + (y ) = t. Donc (x, y, t) est une solution primitive de Pythagore. Alors un parmi x et y est pair et l autre impair, et quitte à les permuter, on peut supposer x impair et y pair. Donc par le théorème 1.4 il existe m et n premiers entre eux, de parité opposée, avec m > n avec x = m n, y = mn, t = m + n. On a x + n = m, qui donne une nouvelle solution (x, n, m) de Pythagore. Comme m et n sont premiers entre eux, c est une solution primitive, avec x et m impairs et n pair. Donc il existe r et s premiers entre eux, etc., avec x = r s, n = rs, m = r + s. On a donc y = mn = 4rs(r +s ) et ( y ) = rs(r +s ). On sait déjà que r et s sont premiers entre eux. On en déduit que r + s est premier avec r et avec s. (Un premier qui divise r et r + s divise aussi s, et un premier qui divise s et r + s divise aussi r, mais il n y a pas de premier divisant r et s, donc r + s est premier avec r et s.) Donc on a ( y ) = rs(r + s ) avec r, s, et r + s premiers entre eux deux à deux. Du lemme 1.3 on déduit qu il existe u, v, w avec r = u, s = v, r + s = w On trouve alors u 4 + v 4 = r + s = w. Comme r et s sont premiers entre eux, leurs racines carrées u et v le sont aussi, et on a pgcd(u, v) = 1. On a aussi 1 w = m < m < m +n = t. Donc u, v, w vérifient toutes les conditions de l hypothèse de récurrence, et l hypothèse de récurrence dit qu ils n existent pas. On a une contradiction. Or l existence de u, v, w était déduit de la supposition qu il existe x, y positifs avec x 4 + y 4 = t et pgcd(x, y) = 1. Donc ces x, y n existent pas. On a donc montré par récurrence que pour tout t 1 il n existe pas de x, y positifs avec x 4 + y 4 = t et pgcd(x, y) = 1. Fermat a présenté 3. L équation de Pell Soit d un entier positif non carré. On cherche des solutions en entiers (x, y) de l équation x dy = ±1. Encore une fois, on cherche surtout des solutions positives, les autres étant obtenues en changeant les signes des solutions positives. Pour d =, on a les solutions suivantes de x y = ±1 (x, y) = (1, 1), (3, ), (7, 5), (17, 1), (41, 9), (99, 70),... (3) Pour d = 3 on a les solutions suivantes de x 3y = 1 (x, y) = (, 1), (7, 4), (6, 15), (97, 56),... (4) Pour étudier l équation de Pell, on travaille avec l ensemble Z[ d] = {a + b d a, b Z} On présente quelques propriétés de cet ensemble. C est ce qu on appelle un anneau commutatif ou plus précisément un sous-anneau commutatif de R. C est à dire, c est un sous-ensemble de R contenant 0 et 1 avec les propriétés que les sommes, produits et opposés de membres de Z[ d]

5 38 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES restent dans Z[ d]. Pour les sommes et opposés, cela est assez évident. Pour les produits, on a (a + b (a 1 + b 1 = (aa1 + bb 1 + (ab 1 + ba 1 ) d. Dans Z[ d] il y a une opération de conjugaison, définie par a + b d = a b d. Cette conjugaison n est pas la conjugaison complexe car tous ces nombres sont réels, mais elle a beaucoup des mêmes propriétés formelles. En particulier on a (a + b + (a 1 + b 1 = (a + b + (a1 + b 1 (5) (a + b (a 1 + b 1 = (a + b (a1 + b 1 (6) La somme des conjuguées est la conjuguée de la somme, et idem pour les produits. Maintenant on définit la norme d un membre de Z[ d] comme N(a + b = (a + b (a + b = (a + b (a b = a db Z. (7) La norme d un membre de Z[ d] est ainsi toujours un entier relatif. La propriété principale de la norme est la suivante Lemme 3.1. Pour (a + b et (a 1 + b 1 dans Z[ d] on a Preuve. On a N ( (a + b (a 1 + b 1 ) = N(a + b N(a1 + b 1. N ( (a + b (a 1 + b 1 ) = (a + b (a1 + b 1 (a + b (a1 + b 1 ) = (a + b (a 1 + b 1 (a + b (a1 + b 1 = (a + b (a + b (a 1 + b 1 (a1 + b 1 = N(a + b N(a 1 + b 1. Lemme 3.. Les solutions (x, y) de l équation de Pell x dy = ±1 correspondent aux éléments x + y d de Z[ d] avec N(x + y = ±1. Ces x + y d avec N(x + y = ±1 s appellent les unités ou inversibles de Z[ d]. Corollaire 3.3. Le produit de deux unités de Z[ d] est une unité. Les puissances d une unité de Z[ d] sont des unités. Par exemple 1 + est une unité de Z[ ] car N(1 + ) = (1 + )(1 ) = 1 = 1.

6 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 39 Ses puissances (1 + ) = 3 +, (1 + ) 5 = , (1 + ) 3 = 7 + 5, (1 + ) 6 = , (1 + ) 4 = ,... sont aussi des unités. Elles correspondent aux solutions de l équation de Pell x y = ±1 données au début du paragraphe. Similairement + 3 est une unité de Z[ 3] car N( + 3) = 1. Ses puissances ( + 3) = , ( + 3) 4 = , ( + 3) 3 = ,... sont aussi des unités. Elles correspondent aux solutions de l équation de Pell x 3y = 1 données au début du paragraphe. Théorème 3.4. Soit d un entier positif non carré. (a) Il existe une unité x 0 + y 0 d de Z[ d] avec x0 > 0 et y 0 > 0, appelée l unité fondamentale, telle que pour toute unité x+y d de Z[ d] avec x > 0 et y > 0 on a x 0 +y 0 d x+y d. (b) Les unités x + y d de Z[ d] avec x > 0 et y > 0 sont les puissances positives de l unité fondamentale x 0 + y 0 d. L unité fondamentale de Z[ ] est 1 +. Celle de Z[ 3] est + 3. Celle de Z[ 5] est + 5. Mais quelles sont les unités fondamentales de Z[ 6] et de Z[ 7]? Entrent les fractions continues. On a un théorème. Théorème 3.5. Soit ξ un réel, et p q une fraction avec p q ξ < 1 q. Alors p q est une réduite de la fraction continue de ξ. Lemme 3.6. Soit p+q d une unité de Z[ d] avec p > 0 et q > 0. Alors on a p q d < 1 et par conséquent p q est une réduite de la fraction continue de d. Preuve. On a (p + q (p q = ±1, d où on déduit ( p q + ) p d q d = 1 q On a d > 1 et aussi p q 1 (car q dq = p ± 1 = q p). Donc on a p q + d >, et p q d < 1 q. On peut trouver exactement quelles réduites de d donnent des unités de Z[ d] et donc des solutions de l équation de Pell. On rappelle que pour d un entier positif non carré, la fraction continue de d est de la forme [a 0, a 1, a,..., a n 1, a n ] avec a n = a 0. q,

7 40 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Théorème 3.7. Soit [a 0, a 1, a,..., a n 1, a n ] la fraction continue de d, et soit p 0 q 0, p 1 q 1, p q,... ses réduites. Les unités de Z[ d] avec coefficients positifs sont les p kn 1 +q kn 1 d avec k 1. Elles vérifient N(p kn 1 + q kn 1 = p kn 1 q kn 1 d = ( 1)kn, (8) L unité fondamentale de Z[ d] est p n 1 + q n 1 d. p kn 1 + q kn 1 d = (pn 1 + q n 1 k. (9) Comme la fraction continue de 6 est [,, 4] et ses réduites sont 1, 5, 9,..., l unité fondamentale de Z[ 6] est 5 + 6, et les autre unités (5 + 6) = , (5 + 6) 3 = ,... La fraction continue de 13 est [3, 1, 1, 1, 1, 6] et ses réduites sont 3 1, 4 1, 7, 11 3, 18 5, ,.... L unité fondamentale de Z[ 13] est Démonstrations des théorèmes sur l équation de Pell On démontre les théorème 3.5 et 3.7. Le théorème 3.4 est une version moins précise du théorème 3.7. La preuve du théorème 3.5 est basée sur le théorème suivant, qui caractérise exactement les nombres dont pq est une réduite de leur fraction continue. Théorème 4.1. Soit p q un rationnel en forme réduite avec fraction continue [a 0,..., a N 1, a N ] et avec deuxième fraction continue [a 0,..., a N 1, a N 1, 1]. Alors on a [a 0,..., a N 1, a N + 1] = p N 1 + p N q N 1 + q N, Pour un réel ξ, la fraction p q [a 0,..., a N 1, a N 1, ] = p N p N 1 q N q N 1. est une réduite de toutes les fractions continue de ξ si on a p N 1 + p N < ξ < p N p N 1 q N 1 + q N q N q N 1 p N p N 1 < ξ < p N 1 + p N q N q N 1 q N 1 + q N si N est impair, si N est pair. (10) De plus il est une réduite d une des deux fractions continues de ξ pour ξ = p N 1+p N q N 1 +q N ξ = p N p N 1 q N q N 1, et il n est pas une réduite de ξ pour tout autre ξ. et est une réduite de toutes les fractions conti- Idée de la preuve du théorème 4.1. Le nombre p q nues de ξ ssi on a ξ = [a 0,..., a N 1, a N + η] ou ξ = [a 0,..., a N 1, a N 1, 1 + η] avec 0 η < 1. Les ξ de cette forme sont exactement les ξ vérifiant (10). Quand η = 1, p q est une des deux fractions continues du rationnel ξ. Mais p q n est pas une réduite des autres réels.

8 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 41 Preuve du théorème 3.5. Comme p q = p N qn = [a 0,..., a N 1, a N ] l avant-dernière réduite de p N 1 +p N q N 1 +q N = [a 0,..., a N 1, a N, 1], on a p q p N 1 + p N q N 1 + q N = 1 q N (q N 1 + q N ) > 1 = 1 q Similarement p q = p N qn = [a 0,..., a N 1, a N 1, 1] est l avant-dernière réduite de p N p N 1 q N q N 1 = [a 0,..., a N 1, a N 1, 1, 1], donc on a q N p q p N p N 1 q N q N 1 = 1 q N (q N q N 1 ) > 1 q N = 1 q. Donc les deux bouts de l intervalle (10) contenant les ξ avec p q comme réduite sont à une distance > 1 de p q q. Par conséquent si on a p q ξ < 1. alors ξ est dans l intervalle où p q q est une réduite de toutes les fractions continues de ξ. Pour démontrer le théorème 3.7, on a besoin de quelques lemmes. Lemme 4.. Quand on développe la fraction continue de d, on trouve Soit p i q i d = [a0, a 1,..., a r 1, ξ r ], ξ r = d + Ur V r (i = 0, 1,,... ) les réduites de la fraction continue de d. Alors on a U r = ( 1) r 1 (p r 1 p r dq r 1 q r ), (11) V r = ( 1) r (p r 1 dq r 1). (1) Preuve. On a d = [a0, a 1,..., a r 1, ξ r ] = p r 1ξ r + p r d + Ur, ξ r = q r 1 ξ r + q r V r En substituant, on trouve et ainsi p d+ur r 1 d = V r + p r = q d+ur r 1 V r + q r p r 1 d + pr 1 U r + p r V r q r 1 d + qr 1 U r + q r V r q r 1 d + (q r 1 U r + q r V r ) d = p r 1 d + (pr 1 U r + p r V r ), (q r 1 U r + q r V r p r 1 ) d = p r 1 U r + p r V r q r 1 d. On a un multiple entier de l irrationnel d qui vaut un entier. Ce n est possible que si les deux membres de la dernière équation sont 0 (car 1 et d sont linéairement indépendants sur Q). On a ainsi { { pr 1 U r + p r V r q r 1 d = 0, pr 1 U r + p r V r = q r 1 d, ou q r 1 U r + q r V r p r 1 = 0, q r 1 U r + q r V r = p r 1. C est une équation matricielle (pr 1 q r 1 ) ( ) p r Ur = q r V r ( qr 1 d p r 1 ).

9 4 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Pour la résoudre, on multiplie à gauche par l inverse de la matrice ( ) 1 ( ) ( ) pr 1 p r 1 qr p = r = ( 1) q r 1 q r p r 1 q r p r q r 1 q r 1 p r qr p r. r 1 q r 1 p r 1 On trouve donc ( ) ( ) ( ) ( ) Ur = ( 1) V r qr p r qr 1 d = ( 1) r q r 1 p r 1 p r qr q r 1 d p r p r 1 r 1 qr 1 d +. p r 1 On en déduit le lemme. Lemme 4.3. Soit x + y d une unité de Z[ d], c est à dire on a (x + y (x y = ±1. (a) Si on a x = 0 ou y = 0, alors x + y d = 1 ou x + y d = 1. (b) Si x > 0 et y > 0 alors x + y d > 1. (c) Si x < 0 et y < 0, alors x + y d < 1. ( Si x et y sont non nuls de signes opposés, on a x + y d < 1. Preuve. (a)(b)(c) sont faciles et laissés au lecteur. Pour ( on a (x + y (x y = ±1 et donc x + y d = 1 x y d. Si x et y sont de signes opposés, alors x et y sont du même signe, par le (b) ou (c) on a x y d > 1. D où x + y d < 1. Preuve du théorème 3.7. Par le lemme 3.6 si on a une unité p + q d de Z[ d] avec p > 0 et q > 0 et p dq = ±1, alors p pr q est une réduite q r de d. Par le lemme 4. on a p r dqr = ( 1) r+1 V r+1, donc les unités correspondent plus précisément aux réduites pr q r avec V r+1 = ±1. Or la fraction continue de d est de la forme [a 0, a 1, a,..., a n 1, a n ] avec a 0 = [ d] et a n = a 0. Quand dans ξ r+1 = d+ur+1 on trouve un dénominateur ±1, c est parce qu on est V r+1 arrivé à la fin d une période avec ξ r+1 = d+[ d], et on a r+1 = kn, U kn = [ d], et V kn = 1. Donc les unités p + q d avec p et q positifs sont les p kn 1 + q kn 1 d, et elle vérifient p kn 1 dq kn 1 = ( 1)kn V kn = ( 1) kn. Cela démontre la partie (a) du théorème 3.7. Montrons maintenant la partie (b) du théorème. Par le lemme 4.3 les unités p + q d avec p > 0 et q > 0 sont exactement les unités avec p+q d > 1. Elles forment une suite strictement croissante p n 1 + q n 1 d < pn 1 + q n 1 d < p3n 1 + q 3n 1 d < (13) Par le corollaire 3.3 les puissances d une unité sont des unités, donc on a une suite p n 1 + q n 1 d < (pn 1 + q n 1 < (p n 1 + q n 1 3 < (14) C est une suite strictement croissante d unités > 1 (car on a p n 1 + q n 1 d > 1), donc (14) est une sous-suite de (13). Montrons par récurrence que les deux suites sont les mêmes, c est à dire qu on a (p n 1 + q n 1 k = p kn 1 + q kn 1 d pour tout k 1. Le cas k = 1 est évident.

10 CHAPITRE 4 : QUELQUES ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 43 Soit k et supposons qu on a (p n 1 + q n 1 k 1 = p (k 1)n 1 + q (k 1)n 1 d. Comme (p n 1 + q n 1 k est plus grand, il est plus loin dans la suite, donc il est au moins aussi grand que le prochain membre de la suite (p n 1 + q n 1 k p kn 1 + q kn 1 d. Or maintenant divisons les deux membres par le nombre positif (p n 1 + q n 1 k 1 = p (k 1)n 1 + q (k 1)n 1 d. On trouve p n 1 + q n 1 d p kn 1 + q kn 1 d p (k 1)n 1 + q (k 1)n 1 d > 1. Mais le nombre p kn 1 + q kn 1 d p (k 1)n 1 + q (k 1)n 1 d = ±(p kn 1 + q kn 1 (p(k 1)n 1 q (k 1)n 1 p est une unité par le corollaire 3.3. Donc on a une unité kn 1 +q kn 1 d p (k 1)n 1 +q (k 1)n 1 d qui est > 1 est p n 1 + q n 1 d, le plus petit unité > 1. On doit donc avoir égalité et On en déduit p kn 1 + q kn 1 d p n 1 + q n 1 d p (k 1)n 1 + q (k 1)n 1 d p kn 1 + q kn 1 d = (p(k 1)n 1 + q (k 1)n 1 )(p n 1 + q n 1 = (p n 1 + q n 1 k 1 (p n 1 + q n 1 = (pn 1 + q n 1 k. Références [1] M. Demazure. Cours d algèbre : Primalité. Divisibilité. Codes. Nouvelle Bibliothèque Mathématique, 1. Cassini, Paris, [] G. Hardy and E. Wright. Introduction à la théorie des nombres. Paris : Vuibert ; Paris : Springer., 007. Traduit de l anglais par François Sauvageot. [3] A. Y. Khinchin. Continued fractions. Dover Publications Inc., Mineola, NY, Traduit du russe. Réédition de la traduction américaine de 1964 [University of Chicago Press, Chicago]. [4] D. E. Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. : Seminumerical Algorithms. Boston : Addison- Wesley, 3rd edition, [5] H. W. Lenstra, Jr. Solving the Pell equation. Notices Amer. Math. Soc., 49() :18 19, 00. [6] W. J. LeVeque. Topics in number theory. Vol. I, II. Dover Publications Inc., Mineola, NY, 00. Reprint of the 1956 original [Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.]. [7] I. Niven. Irrational numbers. The Carus Mathematical Monographs, No. 11. The Mathematical Association of America. Distributed by John Wiley and Sons, Inc., New York, N.Y., [8] I. Niven and H. S. Zuckerman. An introduction to the theory of numbers. John Wiley & Sons, New York- Chichester-Brisbane, 4th edition, [9] A. Weil. Number theory for beginners. Springer-Verlag, New York, Avec la collaboration de Maxwell Rosenlicht.