Complément de cours d électrotechnique S2

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1 CAU Philippe E1 ENSEIRB 2004 Complément de cours d électrotechnique S2 22 juillet 2004

2 Table des matières Avant-propos 2 1 Tensions et courants sinusoïdaux monophasés et triphasés Notation Régime sinusoïdale monophasé Représentation de Fresnel Impédance d un dipôle Puissances et thórème de Boucherot Systèmes triphasés équilibrés Définition Couplage Formules à retenir pour la puissance Mesures de puissances Monophasé Triphasé Exercices Exo Exo Exo Corrections Exo Exo Exo Circuits magnétiques et transformateurs Circuits magnétiques Équations de Maxwell : rappels Définition d un Circuit Magnétique (CM) Analyse des CM linéaires. Loi d Hopkinson. Valable pour un cycle d hystérésis à faible surface Analyse des CM non-linéaires

3 2.1.5 CM en régime variable alternatif. Boboine à noyau de fer

4 Avant-propos Je tiens à remercier l ensemble des personnes qui a permis la réalisation de ce complément de cours dont voici la liste par ordre d apparition : la source : M. Tesson Philippe CAU (promo 2006) 3

5 Chapitre 1 Tensions et courants sinusoïdaux monophasés et triphasés Le réseau EDF est : considéré comme une source idéale de tension, une onde de la forme A sin(2π f 0 t) avec f 0 = 50Hz à moyenne nulle. Dans tout le chapitre on s intéresse aux grandeurs électriques en régime permanent, c est-à-dire après extinction des transistoires, donc après la mise sous tension. 1.1 Notation F correspond à la valeur efficace de f(t), par défaut toute fonction f est périodique de période T, ω = 2πf avec f la fréquence et ω la pulsation, T = 1 avec T la période de f(t) qui est périodique, f ϕ correspond au déphasage, U=la notation complexe de U. 1.2 Régime sinusoïdale monophasé Représentation de Fresnel C est une représentation vectorielle à partir de la notation complexe du signal : on met la partie Re en abscisse et Im en ordonne. On note le signal 4

6 tension sinusoïdal de la façon suivante : 1. en notation réelle : u(t) = U 2 cos(ω t + ϕ u ) 1 T U = U efficace = T u 2 (t)dt, 0 ω = 2π f 0, ϕ u = la phase de u(t) à l origine des temps, (ω t + ϕ u ) la phase. 2. en notation complexe : U = U e jϕu U = U efficace, ϕ u = la phase de u(t) à l origine des temps. Pour un courant, les notations sont les mêmes en remplaçant les u par i. important : On définit le déphasage entre la tension u(t) et le courant i(t) par ϕ = ϕ u ϕ i i(t) est donc pris comme origine. On en déduit : ϕ > 0 la tension est en avance sur le courant, ϕ < 0 la tension est en retard sur le courant. soit g(t) une grandeur alternative, alors : < g(t) >= Impédance d un dipôle Fig. 1.1 Dipôle passif Z parcouru par i(t) et ddp en ses bornes u(t) On peut alors noter Z le dipôle passif de plusieurs façon : Z = Z e jϕ avecz = U I, Z = R + jx 5

7 R=résistance, X=réactance (associé à l énergie réactive) Y = 1 Z = G + jy G=conductance, Y= susceptance Puissances et thórème de Boucherot Définitions à connaître Voici un tableau récapitulatif : Puissance Formule Unité P instantanee p(t)=u(t) i(t) W P active P =< p(t) > T W P apparente S = U I VA=Volt Ampère Facteur de puissance F p = P S P reactive Q = UIsin(ϕ) VAR=VA Réactif P apparente complexe S = U I = P + jq rem : S = S Tab. 1.1 Définitions à connaitre application importante en régime sinusoïdal : P active = UIcos(ϕ) + UIcos(2ωt + ϕ) = P active + P fluctuante (t) P = UIcos(ϕ) On en déduit des relations faciles à redémontrer : S = P 2 + Q 2, tan(ϕ) = Q P, cos(ϕ) = P S, sin(ϕ) = Q S. Remarque sur le facteur de puissance : EDF impose F p 0, 93, Quand I augmente, cos(ϕ) diminue, F p correspond à l angle que fait un dipôle avec l axe des Re dans le plan de Fresnel. Quelques calculs à partir de P apparente complexe : Pour une résistance R : S = U I = RI 2 = P + jq. Donc : { P = R I 2 Q = 0 6

8 Pour un condensateur C : S = U I = U ( jωc) U = jωcu 2. Donc : { P = Re(S) = 0 Q = Im(S) = ω C U 2 Pour une bobine L : S = U I = jωlii 2 = jωli 2. Donc : Théorème de Boucherot { P = Re(S) = 0 Q = Im(S) = L ω I 2 Théorème 1 (Boucherot) Dans une installation, c est-à-dire un groupement de dipôle, on a : les puissances actives P de chaque dipôle s ajoutent algébriquement, les puissances réactives Q de chaque dipôle s ajoutent algébriquement. Cas des fonctions périodiques non sinusoïdales Comme toute fonction périodique peut se décomposer en série de Fourier on a : + u(t) = + 2Uk cos(kωt + ϕ k + θ k ), i(t) = + + k=1 k=1 2Ik cos(kωt + ϕ k ). Avec : les indices k correspondent aux harmoniques k, θ k = déphasage de la tension u par rapport au courant de l harmonique k. Voici les modifications par rapport au tableau 1.1 : Il y a deux cas particuliers : 1. u(t) sinusoïdal, i(t) périodique quelconque, tableau i(t) est sinusoïdal et u(t) est périodique quelconque. Dans ce cas il suffit de remplacer dans le tableau 1.3 les u par i. Dans ces 2 cas, la puissance active P est portée par le fondamental. Je rappelle que le correspond à a 0 2 dans la décomposition en série de Fourier et que ce terme est appelé composante continue en physique. Le terme d indice 1 est appel composante fondamentale, et les autres sont juste des harmoniques k. 7

9 Nom Formule Remarques + U efficace U 2 = 2 + P active P = P Uk 2 + k=1 P k k=1 pour i(t) chager U par I 1 P reactive Q = k=1 k U ki k sin(θ k ) égalité S 2 = P 2 + Q 2 + D 2 D=puissance déformante en VAD Tab. 1.2 changement de définition dans le cas de signaux non sinusoïdaux Nom Formule la tension u(t) = 2Ucos(ωt) + le courant i(t) = + 2Ik cos(kωt + ϕ k ) k=1 P active P = UI 1 cos(ϕ 1 ) P reactive Q = UI 1 sin(ϕ 1 ) P apparente S=U*I D = U 2 + P deformante + Ik 2 k=1 Tab. 1.3 Cas particulier u=sin et i=periode T 8

10 1.3 Systèmes triphasés équilibrés Pour transporter de l énergie électrique, on peut utiliser un signal monochromatique. Mais on peut également utiliser 3 sources déphasées de 2π 3. C est ce qu on appelle un système triphasé. Le principale avantage est que à puissance transportée égale, il y a moins de pertes en lignes. De plus le triphasé permet de réaliser des champs tournants pour les machines de fortes puissance Définition Soient 3 courants i 1 (t), i 2 (t) et i 3 (t) sinusoïdaux. Ils définissent un système de courant Triphasé Équilibré Direct noté T.E.D. si : i 1 (t) + i 2 (t) + i 3 (t) = 0 donc le système est équilibré, i k (t) = 2Icos(ωt 2kπ), avec k=0,1,2 ; un déphasage de + 2π est 3 3 positif. On dit alors que le système est direct. En notation complexe, on peut introduire l opérateur complexe a = e j 2π 3. On a alors : 1 + a + a 2 = 0, I 2 = a 2 I 1, I 3 = ai Couplage Sources Les sources de tensions et de courant peuvent se présenter en étoile (figure 1.2) ou triangle (figure 1.3). Fig. 1.2 Montage en étoile : V 1, V 2 et V 3 sont TED 9

11 Fig. 1.3 Montage en triangle : U 12, U 23, U 31 sont TED Remarque : EDF met le Neutre à la terre pour le domestique (montage en étoile). Toutes les masses sont reliíees à la Terre. On parle du régime TT (Tout à la Terre). Dans un couplage en étoile, chaque phase par rapport au neutre délivre une tension simple. Le couplage en triangle délivre des tensions dites composées. Charges De la même manière que les sources peuvent être en étoile ou en triangle, les charges peuvent être en étoile ou en triangle. Dans ce cas les charges ont 3 bornes en triangle, et 4 en étoile. Dans le cas des charges, on dit que les courants qui viennent de chaque source sont les courant de lignes. Les courants qui traversent les charges sont appelés courants simples, et les tensions aux bornes des charges sont dites tension simple. Liaisons La liason entre source et charge permet 4 différentes combinaisons : Étoile- Étoile, Étoile-Triangle, Triangle-Triangle, Triangle-Étoile. Pour une liaison étoile-étoile entre sources TED et charges équilibrées, on a : U 12 = V 1 V 2, U 23 = V 2 V 3, U 31 = V 3 V 1, U = 3V, pour le démontrer il suffit de faire le cacul de U, U 12 = 3V 1 e j π 6, il suffit de détailler le calcul de U 12 = V 1 V 2 avec v k = 2V k cos(ωt 2kπ ) et k=0,1,

12 1.3.3 Formules à retenir pour la puissance Sur chaque branche on a : Nom Impédance d un récepteur équilibré P apparente P active P reactive Facteur de puissance Expression Z = Ze jϕ S = 3UI P = 3UIcos(ϕ) Q = 3UI F p = P = cos(ϕ) S Tab. 1.4 Formules du triphasé 1.4 Mesures de puissances Pour mesurer la puissance active d un élement d un circuit, on utilise un Wattmètre. Il en existe de 2 sortes : Wattmètre électrodynamique : permet la mesure de puissance de circuit monophasé, Wattmètre à effet Hall : permet la mesure de puissance de circuit triphasé Monophasé Fig. 1.4 Schéma de principe du Wattmètre électrodynamique On a les relations suivantes : P = V Icos(ϕ), M =< v m i m >, avec M la puissance affichée par le wattmètre électrodynamique. 11

13 1.4.2 Triphasé Fig. 1.5 Schéma de principe du Wattmètre à effet Hall pour mesurer P Les puissances moyennes mesurées sont notées M n kl, avec : (k,m) le couple qui correspond à la tension U km, n correspond à la ligne parcourue par le courant i n. Ainsi on peut ćrire : On en déduit, avec ϕ = arg(z) : N Mkm n = M j jn = P j=1 P = 3UIcos(ϕ)Q = 3UIsin(ϕ)S = 3UI Voici le détail de quelques calculs, avec V N = 0 et une charge Z = Ze jϕ qui introduit un déphasage par rapport aux lignes de ϕ et (k, m) [ 1, 3 ] : u km (t) = v k (t) v m (t) = V 2[cos(ωt 2kπ 2mπ ) cos(ωt 3 3 )] = V (k + m)π ( k + m)π 2( 2)sin(ωt )sin( ) 3 3 u km (t) = 2 ( k + m)π (k + m)π 2V sin( )sin(ωt ) 3 3 U km = 1 T T u 2 km (t)dt 0 12

14 = = = = U km = 3 V 1 T T 4 2 V 2 sin 2 ( 0 1 T 2V T 2 [( 0 2cos(ωt 2mπ 3 1 T T 2 V 2 (1 [cos( 0 2 V 2 [1 cos( 2kπ 1 + cos(2ωt 2 ) )]cos(ωt 2kπ 3 )]dt 2( k + m)π )] 3 ( k + m)π )sin 3 2 (ωt (k + m)π )dt cos(2ωt 2 2mπ 3 ) 2 2( k + m)π ) + cos(2ωt 3 (k + m)π )])dt 3 P = M1N 1 + M2N 2 + M3N 3 = + + = + + = P 1 + P 2 + P 3 = 3P 1 = 3 V I cos(ϕ) = 3 3 V I cos(ϕ) P = 3U km Icos(ϕ) Pour ces calculs, on peut reprendre les figures 1.2 et 1.3. À retenir : Si on a une charge Z équilibrée, alors : P = 3UIcos(ϕ) Q = 3UIsin(ϕ) S = 3UI Dans un système triphasé avec une charge équilibrée, Z = Ze jϕ qui introduit un déphasage par rapport aux lignes de ϕ, on a : Ce graphe permet de voir le π sans développer le calcul. De plus il prend 6 en compte le ϕ introduit par la charge. Pour mesurer Q, on réalise le schéma suivant : On a l égalité suivante : Q = M = 3UIsin(ϕ) 13

15 Fig. 1.6 Diagramme de Fresnel pour montrer l influence d une charge équilibrée sur les déphasages Fig. 1.7 Schéma de principe pour mesurer Q 14

16 1.5 Exercices Exo 1 Une installation monophasée 220V, 50Hz comporte différents appareils fonctionnant simultanément : 30 lampes de 100W chacune, 2 moteurs identiques absorbant chacun une puissance de 2kW, leur facteur de puissance étant 0,7. 1. Quelles sont les puissances active et réactive consommées par l installation? 2. Quel est son facteur de puissance? 3. Quelle est l intensité efficace du courant dans un fil de ligne? 4. Quelle est la capacité du condensateur à placer en parallèle avec l installation pour relever le facteur de puissance à 0,93? Exo 2 Le dipôle de la figure 1.8 est inductif. Les ampèremètres indiquent les valeurs efficaces suivantes : I 1 = 10A, I 2 = 6A, I 3 = 5A. De plus R=20Ω. 1. En utilisant une méthode graphique, calculer le facteur de puissance du dipôle. 2. Calculer les puissances active et réactive qu il absorbe. Fig. 1.8 Schéma de l exo 2 15

17 1.5.3 Exo 3 Un réseau 220/380V-50Hz, alimente 2 récepeurs triphasés équilibrés : le preimier récepteur A est constitué de 3 éléments résistifs montés en étoile et de R A = 30Ω chacun, le deuxième récepteur B est constitué de trois dipôles inductifs, montés en triangle. Chaque dipôle peut être assimilé à une résistance R B = 27, 5Ω en série avec une bobine de réactance L B ω = 47, 5Ω. 1. Etude du récepteur triphasé A : calculer (a) l intensité efficace J A dans chacun des fils de phase, (b) les puissances actives et réactive totales. 2. Etude du récepteur triphasé B : calculer (a) l imp dance et le facteur de puissance de chaque bobine réelle ; (b) l intensité efficace dans chaque fil de phase ; (c) les puissances active et réactive totales. 3. Etude de l installation : calculer (a) les puissances actives, réactive et apparente totales ; (b) l intensité efficace dans chaque fil de ligne ; (c) le facteur de puissance global. 1.6 Corrections Exo 1 En électrotechnique, toutes les valeurs données sont TOUJOURS des valeurs efficaces. 1. D àprès le théorème de Boucherot, on a : P tot = P lampes + P moteurs = P tot = 7kW De même pour les P reactive : Q tot = Q lampes + Q moteurs = 0 + P moteurs cos(ϕ) sin(ϕ) = P moteurs tan(ϕ) = P moteurs tan(arccos(f p )) Q tot = 4, 08kΩ 16

18 2. On reprend la définition de F p : Q tot P tot = 4, 08 7 = tan(ϕ) cos(ϕ) = 0, 864 < 0, 93 On peut également faire le calcul de la façon suivante : S = P 2 + Q 2 et F p = Ptot S. 3. Calcul de I : P tot = U eff I eff cos(ϕ) I eff = 36, 8A 4. on cherche à augmenter F p. Pour cela on place un condensateur C en paralèlle du montage (figure 1.9). Fig. 1.9 Schéma de principe pour changer la valeur de F p Notons ϕ C la phase ϕ corrigée par le condensateur. On a : Or (théorème de Boucherot) : Donc : tan(ϕ C ) = Q tot P tot P tot = P question1 + P ducondensateur = P question1 + 0 Q tot = Q question1 + Q ducondensateur = Q question1 + ( ωcu 2 eff) tan(ϕ C ) = Q question 1 + ( ωcu 2 eff) P question1 Comme on veut cos(ϕ C ) = 0, 93 et que U = U eff = 220V, alors : C = P (tan(ϕ) tan(ϕ C)) ω U 2 = 86, 5µF 17

19 1.6.2 Exo 2 Fig Schéma du circuit dans le repère de Fresnel 1. Le dipôle D est inductif, donc il a une partie Im. La résistance est Re. On en déduit la figure 1.10 : ϕ, l angle formé par l axe des Re et I 3, correspond au facteur de puissance F p du dipôle D. En effet D est parcouru par I 3. on peut alors écrire (théorème de Pythagore) : I 2 1 = I I I 2 I 3 cos(θ) cos(θ) = I2 1 I 2 2 I I 2 I 3 Puis on en déduit : ϕ = π θ cos(ϕ) = 0, 64 = F p 2. On a : P = UIcos(ϕ) Or, u(t) la tension aux bornes de D s crit : u(t) = U 2 cos(ωt) = RI 2cos(ωt) U = RI 2 Donc : D où : P D = U 3 I 3 F p P D = RI 2 I 3 F p A.N. :P D = 384W Q D = P D tan(ϕ) A.N. :Q D = 462V AR Exo 3 La première tension indiquée, ici 220V, correspond à un système en étoile. La deuxième valeur, ici 380V, correspond à système en triangle. 18

20 Fig Schéma d une branche du triangle 1. (a) D après la figure 1.11, on a : i 1 (t) = I 2 cos(ωt) i 2 (t) = I 2 cos(ωt 2π 3 ) i 3 (t) = I 2 cos(ωt 4π 3 ) Donc : U RA = R A I I = J A = U R A A.N. :I = 220 = 7, 3A 30 (b) On applique le thórème de Boucherot : P A = P A1 + P A2 + P A3 = (U I cos(ϕ)) 3 = 3 U 2 R A = P A = 4840W (1.1) Comme R A R, alors ϕ = 0 et Q=0. 19

21 2. On a : Fig Schéma d une branche du triangle On en déduit : Fig Schéma du circuit dans le repère de Fresnel D où : tanϕ) = L B ω R B F p = cos(ϕ) = 0, 5 R 2 B + (ω L B ) 2. Comme Z = R B +jωl B, alors Z = Z e jϕ ; avec Z = Le réseau est : 220V pour l étoile et 380V pour le triangle. Donc : I = U Z A.N. :I = , 9 = 6, 92A = J B (b) (a) On applique le théorème de Boucherot pour calculer P : P = P 1 + P 2 + P 3 = 3 U J B F P = , 92 0, 5 P = 3946W 20

22 Idem pour le calcul de Q : Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 = 3 U J B sin(ϕ) = , 92 sin(1, 047rad) Q = 6829V AR 3. (a) On applique le théorème de Boucherot pour calculer P : Idem pour calculer Q : P tot = P A + P B = 8786W Q tot = Q A + Q B = Q B = 6829V AR (b) On passe par le repère de Fresnel, figure On peut alors écrire : I 2 source = I 2 A + ( 3I B ) I A 3I B I A cos(ϕ) cos(ϕ) = cos(arctan( Q P )) Fig Schéma du circuit dans le repère de Fresnel (c) Maintenat qu on a Q tot et P tot, on trouve : tan(ϕ) = Q P = cos(ϕ) = 0, 79 21

23 Chapitre 2 Circuits magnétiques et transformateurs 2.1 Circuits magnétiques Équations de Maxwell : rappels On se place en régime quasi-stationnaire. Dans ce cas la longueur d onde λ est trs grande devant la longueur caractéristique du circuit d : λ d. Les équations de Maxwell s écrivent alors : rot( E ) = B t div( B ) = 0 rot( H ) = J c div( D) = ρ avec : E le champ électrique, B le champ magnétique (appelé en électotechnique induction magnétique), H le vecteur H (champ d excitation magnétique), J c le vecteur de densité surfacique de courant de conduction, D le vectur de déplacement électrique, ρ la densité volumique de charge. On définit un tube de force de la façon suivante : tube de force (ou d induction) : tube s appuyant sur les surfaces S 1 et S 2, normales aux lignes du champ B, sur lesquelles B est uniforme d intensité 22

24 B 1 et B 2 respectivement et tel que : φ = B 1 S 1 = B 2 S 2 = C ste On remarque que : D et H sont liés aux sources, E et B sont à l origine des forces : F = q( E + v B ). Des équations de Maxwell on déduit : théorème d Ampère : Γ H d l = k I k, la somme algébrique des courant enlacés par le contour orienté Γ. Conservation du flux de B : S B. ds = V div( B )dv = 0. On a également les relations constitutives suivantes entre les champs : Pour un milieu DLHI (Diélectrique Linéaire Homohène Isotrope) : ɛ = ɛ r ɛ 0 et D = ɛ E avec ɛ la permittivité diélectrique, ɛ r la permittivité relative, ɛ 0 la permittivité dans le vide. Pour un milieu ferromagnétique LHI µ = µ r µ 0 et B = µ H avec µ la perméabilité du matériau. Il faut également prendre en compte le phénomène d hystérésis, caractérisé par les valeurs remarquables suivantes : B s le champ magnétique de saturation, B r le champ magnétique rémanent, H c le champ coercitif. Remarques : Voici 3 ordres de grandeurs à connaitre : La composante principale du champ magnétique terrestre B T, Pour un électoaimant ou une machine électrique B 1 à 1,5 T, µ r vaut dans les 10 3 ou 10 3, çà dépend du matériau. 23

25 Fig. 2.1 Un cycle d hystérésis Définition d un Circuit Magnétique (CM) Un circuit magnétique est un ensemble d éléments magnétiques (noyaux, culasses, aimants), d enroulements et d entrefers. Par exemple les transformateurs, les machines... Fig. 2.2 Un circuit magnétique avec culasse, entrefer, enroulement, bobine Analyse des CM linéaires. Loi d Hopkinson. Valable pour un cycle d hystérésis à faible surface Soit un CM linéaire fermé homogène tel que : µ = C ste } Donc B est entièrement canalisé c est-à-dire que φ = C ste le long du circuit. µ r 1 un enroulement de N spires est traversé par le courant I. la section S = C ste B = C ste. Donc le CM est un tube de force. On a la loi d Hopkinson : E = R φ avec E la force magnétomotrice notée f.m.m en Ampère Tour [A.t] R a reluctance. Si la section S est constante, alors R = 1 µ S sinon, R = 1 µ Γ dl avec Γ la fibre de moyenne longueur L du CM. S À noter : les lois d associations de CM linéaires : association en série, association en parallèle, loi des noeuds, loi des mailles. 24

26 2.1.4 Analyse des CM non-linéaires cf exos CM en régime variable alternatif. Boboine à noyau de fer Inductance propre Soit la bobine à noyau de fer suivante : non saturable, linéaire, c est-à-dire que µ = C ste, sans hystérésys, fermé sur un enroulement de N spires traversées par un courant variable i(t). Dans ce cas, on peut crire : E = n i(t) = R φ On définit l inductance propre du CM par : flux total embrassé par N spires L = courant parcourant les spires = N φ i L = N 2 R avec L en Henry [H] Si la section S du CM est constante, et D sa longueur de fibre moyenne, on a : L = µ S N 2 D Inductance de fuite Il est à priori impossible de localiser avec précision les lignes de champs du flux de fuite. On distingue : un flux magnétique de fuite globalisé noté ϕ f, un flux commun ϕ c qui correspond au flux utile dans le fer. 25

27 On note alors le flux ϕ = ϕ c + ϕ f Ainsi pour N spires, le flux total embrassé est : On en déduit : ϕ t = N ϕ L = L p + L f avec { Lp = N ϕc i L f = N ϕ f i l inductance principale (ou propre) l inductance de fuite Inductance mutuelle On a : un CM linéaire de fer fermé, 2 enroulements de N 1 et N 2 spires (en gros on a 2 bobines à noyau de fer), les N 1 spires sont parcourues par un courant variable i 1 (t), le circuit 2 n est parcouru par rien du tout. Dans ce cas, i 1 (t) traversant le CM 1 cré un flux magnétique qui traverse le CM 2, c est-à-dire les N 2 spires. Ce flux magnétique est appelé mutuelle induite par le CM 1. On définit la mutuelle inductance du circuit 1 sur le circuit 2 par : M 12 = flux total embrassé par N 2 spires courant dans les N 1 spires = N 1 N 2 R = M 21 = L 1 L 2 M 12 = M La mutuelle est la même pour les 2 CM Deux cas peuvent se présenter : 1. on considère les fuites globalisées ramenées toutes sur la bobine 1, 2. on considère les fuites partagées entre les enroulements L f1 = l 1 et L f2 = l 2. Cas 1 Dans ce cas l inductance L 1 s écrit : L 1 = L p1 + L f1 = N 1 (ϕ c + ϕ f i 1 26

28 avec L p1 = N 2 1 R L f1 = N 2 1 R f L 2 = L p2 = N 2 2 R 27