Comparaison de plusieurs moyennes

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1 Master 1 de Santé Publique UE de biostatistique : cours 1 Comparaison de plusieurs moyennes M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 1

2 Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de la variance Les sujets de la population se répartissent en classes. On s'intéresse à une variable X dont on veut comparer les moyennes dans les classes de la population. Hypothèses testées : H 0 : H 1 : µ 1 = µ = = µ il y a au moins une différence entre les moyennes M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes

3 Exemples : Comparaison des poids de naissances moyens de différentes portées de souris L'intérêt est le "facteur portée", pas la différence entre portées particulières Comparaison des valeurs moyennes d un dosage biologique de six groupes de patients traités par six traitements différents On est intéressé par une comparaison globale, mais peut-être aussi par des comparaisons à, voire un classement des traitements. Comparaison de la durée moyenne de séjour en service de réanimation néonatale de prématurés selon leur terme de naissance classé en 4 groupes : 8 semaines 9-3 semaines semaines semaines Le facteur "terme" est en fait quantitatif. C'est un problème proche d'une régression. M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 3

4 Principe de l analyse de la variance Considérons le cas où il y a 4 populations ( = 4) σ total σ T µ 1 µ µ 3 µ 4 µ Les moyennes µ 11, µ, µ 3, et µ 4 sont égales : σ T = σ σ total σ T µ µ 4 µ µ 1 µ 3 Les moyennes µ 11, µ, µ 3, et µ 4 sont différentes : σ T > σ M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 4

5 σ total σ T µ µ 4 µ µ 1 µ 3 La variance σ T a deux composantes : - σ qui est la variance interne à chaque groupe (variance intra-groupe) - la dispersion entre les µi qui correspond à la variabilité entre les groupes (variance inter-groupes) Principe de l analyse de la variance : décomposer σ T en ces parties tester si σ T est différent de σ M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 5

6 Notations X : variable à laquelle on s intéresse : nombre de populations (et donc de moyennes) comparées Chaque population est repérée par l indice j n j : taille de l échantillon extrait de la population j Chacun des sujets de l échantillon est repéré par l indice i > x ij : i ème observation de l échantillon j M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 6

7 Décomposition de la variabilité des observations Somme des carrés des écarts totale : SCE T = ( x ij m) S T = SCE T n 1 ij ( ) SCE T = x ij m j + m j m ij ( ) + ( m j m) = x ij m j ij les termes (x ij m ij ) caractérisent la variabilité intra-groupe les termes (m j m) caractérisent la variabilité inter-groupes On montre que : SCE T = ( x ij m j ) + n j m j m ij j ( ) M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 7

8 SCE T = ( x ij m j ) + n j m j m ij j ( ) SCE T Somme des carrés des écarts totale SCE R Somme des carrés des écarts résiduelle SCE A Somme des carrés des écarts due au facteur étudié ( ) SCE A = n j m j m ne dépend que de la dispersion des moyennes m j des groupes comparés = somme des carrés des écarts entre groupes (ou somme des carrés des écarts due au facteur A) SCE A a (-1) degrés de liberté Variance correspondante (entre groupes) : σ A, estimée par s A = SCE A 1 M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 8

9 SCE T = ( x ij m j ) + n j m j m ij j ( ) SCE T Somme des carrés des écarts totale SCE R Somme des carrés des écarts résiduelle SCE A Somme des carrés des écarts due au facteur étudié SCE R = ( x ij m j ) n j = x ij m j ij i=1 ( ) ne dépend que de la dispersion des valeurs x ij au sein de chaque échantillon = somme des carrés des écarts intra-classe ou résiduelle SCE R a (n-) degrés de liberté Variance correspondante (résiduelle) : σ R, estimée par s R = SCE R n M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 9

10 Principe de l analyse de la variance 1. Décomposer s T (en fait SCE T ) en parties : SCET = SCEA + SCER σ total µ µ 4 µ µ 1 µ 3 σ A σ T σ T σ ( = σ R ). Tester si σ T est égal à σ (σ = σ R ) c est-à-dire comparer s T et s R en fait, s T et s R ne sont pas indépendants et on montre qu il faut comparer s A et s R, c est-à-dire tester l hypothèse H 0 : σ A = σ R pour interpréter correctement cette comparaison, on a besoin des valeurs σ A et σ R. M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 10

11 Valeurs théoriques des sommes des carrés des écarts SCE T Somme des carrés des écarts totale On montre que : SCE R Somme des carrés des écarts résiduelle SCE A Somme des carrés des écarts due au facteur étudié E(SCE T ) = (n 1)σ + n j (µ j µ) E(SCE A ) = ( 1)σ + n j (µ j µ) E(SCE R ) = (n )σ D où : E(s T ) = σ T = E SCE T n 1 = σ + 1 n 1 E(s A ) = σ A = E SCE A 1 = σ E(s R ) = σ R = E SCE R n = σ n j (µ j µ) n j (µ j µ) M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 11

12 E(s T ) = σ T = E SCE T n 1 = σ + 1 n 1 E(s A ) = σ A = E SCE A 1 = σ E(s R ) = σ R = E SCE R n = σ n j (µ j µ) n j (µ j µ) H 0 : µ 1 = µ = = µ = µ H 0 : σ A = σ R H 1 : il y a au moins une différence entre les moyennes <=> H 1 : σ A > σ R La comparaison des variances σ A et σ R permet ainsi de tester H 0 M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 1

13 Test de comparaison des moyennes Analyse de la variance H 0 : µ 1 = µ = = µ H 0 : σ A = σ R H 1 : il y a au moins une différence entre les moyennes <=> H 1 : σ A > σ R Si H 0 est vraie et si X a une distribution normale de même variance dans chaque population, on montre que : F 0 = s A s suit une loi de Fisher F 1 n R M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 13

14 Exécution du test H 0 : σ A = σ R H 1 : σ A > σ R 1. Calculer F 0 = s A s R à partir des observations sur l échantillon. Comparer F 0 à la valeur seuil de F 1 n : => règle de décision F 0 F 1 n (α): rejet de H 0 (au risque α) F 0 < F 1 n (α) : non rejet de H 0 Conditions d application : X a une distribution normale de même variance dans chaque population. M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 14

15 Exécution des calculs Tableau d analyse de la variance Source de variation Somme des carrés des écarts ddl Carré moyen (ou variance) F Entre groupes (facteur A) SCE A -1 s A = SCE A 1 F 0 = s A s K Résiduelle SCE R n- s R = SCE R n Total SCE T = SCE A +SCE R n-1 SCE A = n j m j m = T j n j ( ) T G n = nm j j nm T G = total général = i,j x ij T j = total de l'échantillon j = i x ij M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 15

16 SCE R = ( x ij m j ) n j = x ij m j ij i=1 = x ij i,j T j n j = (n j 1)s j j ( ) n j i=1 ( x ij m j ) (n j 1) s R = SCE R n = n j = s j ( x ij m j ) i=1 = ( n j 1)s j ( n j 1)s j n n = n n => n- = (n 1-1) + + (n -1) Donc : s R = (n 1 1)s 1 + (n 1)s +... (n 1 1) + (n 1) +... M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 16

17 Exemples Mois de Nov Déc Février Mars Avril prélèvement n VGM (en µ 3 ) x x Nombre de leucocytes (10 6 par l) m 8,4 7,49 7,16 7,17 7,69 s 6,7 5,07,90 4,1 3,77 M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 17

18 Comparaison des moyennes du VGM Mois de Nov Déc Février Mars Avril prélèvement n VGM (en µ 3 ) x x SCE A = T j n j T G n = = , ,456 = 464,75 SCE R = x ij i,j T j n j = = ,04 = 6.06,80 SCE T = 464, ,80 = 6 491,55 ou x T G n = = 6 491,54 M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 18

19 Source de variation Somme des carrés des écarts d.d.l. Carré moyen (ou variance) F Entre mois SCE A = 464,75 4 s A = 464,75 4 = 116,19 Résiduelle SCE R = 6.06, s R = 6 06, = 19,38 F 0 = 116,19 19,38 = 6,00 Total SCE T = 6.491, F 0 doit être comparé avec la valeur seuil de F 311 α 0,05 0,05 0,01 0,001 4 F 00,4,85 3,41 4,81 4 F F 500,39,81 3,36 4,69 Les moyennes de VGM varient avec le mois de prélèvement (p<1 ). Mois de prélèvement Nov Déc Février Mars Avril Moyenne 93,6 91,4 94,4 93,0 93,5 M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 19

20 Comparaison des moyennes du nombre de leucocytes Mois de Nov Déc Février Mars Avril prélèvement n Nombre de leucocytes (106 par l) m 8,4 7,49 7,16 7,17 7,69 s 6,7 5,07,90 4,1 3,77 m = 1 n j m j T j = n n 30 8, ,69 = 316 = 351, = 7,44 SCE A = n j m j nm = 30 8, , ,44 = , ,14 = 3,6 SCE R = ( n j 1)s j = 9 6, ,77 = 1 34,85 SCE T = SCE A + SCE R = 1.366,87 M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 0

21 Source de variation Somme des carrés des écarts d.d.l. Carré moyen (ou variance) F Entre mois SCE A = 3,6 4 s A = 3,6 4 = 8,16 F 0 = 8,16 4,6 = 1,9 Résiduelle SCE R =1.34, s R = 4,6 Total SCE T = 1.366, F 0 doit être comparé avec la valeur seuil de F 311 α 0,05 0,05 0,01 0,001 4 F 00,4,85 3,41 4,81 4 F F 500,39,81 3,36 4,69 On ne met pas évidence de différence entre les nombres moyens de leucocytes selon le mois de prélèvement. M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes 1

22 Attention aux arrondis Calcul sans arrondis m = 30 8, , = 351, = 7,44 SCE A = 30 8, , ,44 = , ,14 = 3,6 F 0 = 1,9 non significatif m arrondi à 7,44 donne : SCE A = 30 8, , ,44 = , ,74 = 4,0 F 0 =,47 significatif M1 de Santé Publique Biostatistique Cours 1 - Comparaison de plusieurs moyennes