CQP 208. Chapitre 4 Taux liés et différentielles. Olivier Godin. 13 novembre Université de Sherbrooke. Taux liés et différentielles 1 / 32

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1 CQP 208 Chapitre 4 Taux liés et différentielles Olivier Godin Université de Sherbrooke 13 novembre 2015 Taux liés et différentielles 1 / 32

2 Plan du chapitre 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 2 / 32

3 Taux liés Taux liés 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 3 / 32

4 Taux liés Taux liés Lorsqu on gonfle un ballon avec de l air, tant le volume que le rayon du ballon augmentent, et les taux auxquels ils croissent sont liés l un à l autre. Il est cependant beaucoup plus facile de mesurer directement le taux d accroissement du volume que celui du rayon. Pour résoudre un problème de taux de variation liés, on doit calculer le taux de variation d une grandeur en fonction de celui de l autre (souvent plus facile à mesurer). La démarche consiste à trouver une équation qui lie les deux grandeurs, puis, au moyen de la règle de dérivation en chaîne, à dériver les deux membres par rapport à une même variable, souvent le temps. Taux liés et différentielles 4 / 32

5 Taux liés Taux liés Pour résoudre ce type de problème, il est judicieux d appliquer systématiquement une stratégie rigoureuse : 1 Lire attentivement l énoncé. 2 Si possible, dessiner un schéma. 3 Introduire une notation suggestive. Affecter des symboles à toutes les grandeurs qui sont fonctions de la variable indépendante, souvent le temps. 4 Exprimer l information donnée et le taux recherché en terme de dérivées. 5 Écrire une équation qui lie les variables du problème. Au besoin, employer la géométrie pour éliminer une des variables par substitution. 6 Au moyen de la règle de dérivation en chaîne, dériver les deux membres de l équation par rapport à la variable indépendante. 7 Effectuer les substitutions dans l équation résultante pour résoudre par rapport au taux inconnu. Taux liés et différentielles 5 / 32

6 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 6 / 32

7 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 7 / 32

8 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 8 / 32

9 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 9 / 32

10 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 10 / 32

11 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 11 / 32

12 Taux liés Taux liés Taux liés et différentielles 12 / 32

13 Différentielles Différentielles 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 13 / 32

14 Différentielles Différentielles Nous avons vu que lorsque x tend vers 0, la pente de la droite tangente à la courbe y = f (x) en un point (x, f (x)) est presqu égale à la pente de la droite sécante passant par les points (x, f (x)) et (x + x, f (x + x)). On a donc f (x) f (x + x) f (x). x Taux liés et différentielles 14 / 32

15 Différentielles Différentielles Par conséquent, on a que f (x) x f (x + x) f (x). }{{} y Ainsi, la variation y de la variable dépendante peut être approximée par la valeur f (x) x. Cela nous amène à définir le concept de différentielle. Si y = f (x), où f est une fonction dérivable, alors la différentielle dx est une variable indépendante, c est-à-dire qu on peut attribuer à dx la valeur de n importe quel nomre réel. La différentielle dy est alors définie en termes de dx par l égalité dy = f (x)dx. Taux liés et différentielles 15 / 32

16 Différentielles Différentielles dy est donc une variable dépendante, elle dépend des valeurs de x et de dx. Si l on attribue à dx une certaine valeur et à x un certain nombre du domaine de définition de f, la valeur numérique de dy s en trouvera déterminée. Taux liés et différentielles 16 / 32

17 Différentielles Différentielles Taux liés et différentielles 17 / 32

18 Différentielles Différentielles Taux liés et différentielles 18 / 32

19 Différentielles Différentielles Taux liés et différentielles 19 / 32

20 Variation absolue et variation relative Variation absolue et variation relative 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 20 / 32

21 Variation absolue et variation relative Variation absolue et variation relative Comme mentionné précédemment, on peut utiliser les différentielles pour estimer la variation absolue ( y) ou la variation relative ( y y ) de la variable dépendante suite à une faible variation absolue ( x = dx) ou relative ( x x = dx x ) de la variable indépendante. Taux liés et différentielles 21 / 32

22 Variation absolue et variation relative Variation absolue et variation relative Taux liés et différentielles 22 / 32

23 Approximation linéaire Approximation linéaire 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 23 / 32

24 Approximation linéaire Approximation linéaire Soit une fonction dérivable f (x). L expression f (x) + f (x)dx permet de donner une approximation linéaire de la valeur de f (x + x). Plus x = dx est de faible amplitude, meilleure est l approximation. On a donc que f (x + dx) f (x) + f (x)dx Taux liés et différentielles 24 / 32

25 Approximation linéaire Approximation linéaire Taux liés et différentielles 25 / 32

26 Calcul d incertitude Calcul d incertitude 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 26 / 32

27 Calcul d incertitude Calcul d incertitude La lecture d une mesure sur un instrument entraîne une incertitude sur cette mesure, puisque la précision des instruments utilisés est limitée. On appelle incertitude absolue l évaluation quantifiée des difficultés éprouvées lors de la prise de mesure. On la note x, et elle dépend de la précision de l instrument, de même que d autres facteurs externes. L incertitude relative, notés x x donne quant à elle l importance de l incertitude absolue par rapport à la mesure prise sur l instrument. On l exprime généralement en pourcentage. Taux liés et différentielles 27 / 32

28 Calcul d incertitude Calcul d incertitude Taux liés et différentielles 28 / 32

29 Calcul d incertitude Calcul d incertitude Taux liés et différentielles 29 / 32

30 Références Références 1 Taux liés 2 Différentielles 3 Variation absolue et variation relative 4 Approximation linéaire 5 Calcul d incertitude 6 Références Taux liés et différentielles 30 / 32

31 Références Réseau de concepts Taux liés et différentielles 31 / 32

32 Références Références Éric Brunelle and Marc-André Désautels. Calcul différentiel. Les Éditions CEC inc., Gilles Charron and Pierre Parent. Calcul différentiel, 6e édition. Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, Josée Hamel and Luc Amyotte. Calcul différentiel, 2e édition. Éditions du renouveau pédagogique, Stéphane Beauregard and Chantal Trudel. Calcul différentiel. Groupe Modulo, Taux liés et différentielles 32 / 32