La théorie du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet

Transcription

1 . Définition et classifications La théorie du signal est une discipline indispensable de nos jours. Il a pour objet l'élaboration ou l'interprétation des signaux porteurs d'informations. Son but est donc de réussir à extraire un maximum d'information utile sur un signal perturbé par du bruit (Un bruit correspond à tout phénomène perturbateur gênant la transmission ou l'interprétation d'un signal) en s'appuyant sur les ressources de l'électronique et de l'informatique. La notion de signal est très vaste. En physique, nous appelons signal toute grandeur mesurable qui dépend d autres quantités telles que l espace, le temps, la température, l éclairement, etc. Autrement dit, Un signal est la représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire. La description mathématique des signaux est l'objectif de la théorie du signal. Elle offre les moyens d'analyser, de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement de l'information. Généralement, un signal peut être modélisé par une fonction d une ou plusieurs variables. Cette représentation ne se résume pas toujours en une expression mathématique compacte. 2. Signaux continus ou discrets Une première classification des signaux repose sur les représentations du temps et de l amplitude. Temps et amplitude peuvent varier de manière continue ou décrire des ensembles dénombrables de points, où nous pouvons distinguer quatre types de signaux : signaux analogiques : temps et amplitudes continus ; signaux échantillonnés : temps discret et amplitude continue ; signaux quantifiés : temps continu et amplitude discrète ; signaux numériques : temps et amplitudes discrets. La figure suivante illustre ces quatre types pour un même signal analogique initial (fig..a) où le temps et amplitudes continus. Sur la figure.b le signal n'est défini

2 qu à des instants régulièrement espacés (signal échantillonné ; temps discret et amplitude continue). Sur la figure.c le signal est quantifié en amplitude (les valeurs de quantification sont représentées par les pointillés horizontaux), mais continu en temps. La dernière représentation est le signal numérique où le signal est à la fois est à la fois échantillonné et quantifié. En première approximation les signaux analogiques correspondent au monde réel alors que l informatique ne sait traiter que des signaux numériques. Figure : Représentation des signaux continus et discrets 3. Signaux périodiques Un signal s(t) est dit périodique s il reprend la même valeur à des intervalles de temps égaux : R R () = ( + ). 2

3 L intervalle de temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur du signal est appelé période T. La fréquence f (f=/t )est l inverse de la période. 4. Signaux déterministes ou aléatoires Un signal déterministe ne présente aucune incertitude, son évolution en fonction du temps est parfaitement connue. Un tel signal ne peut que très rarement représenter un signal réel. Les signaux réels présentent en effet très souvent des éléments d incertitude qui empêchent leur prédiction parfaite. Ce sont des signaux aléatoires. 4.. Causalité Considérons un signal dérivant d un phénomène physique. La conséquence ne pouvant précéder la cause, si ce phénomène physique débute à t = 0 (choix de l origine des temps) le signal doit être nul pour t < 0. Un signal est causal s il est nul pour t < 0. S il est nul pour t >0 le signal est dit anti-causal Parité Un signal s(t) est pair si s(t) = s(-t) ou impair si s(t) = -s(-t). Tout signal réel s(t) est la somme d'un signal pair sp(t) et d'un signal impair si(t). () = [() + ( )] 2 () = 2 [() ( )] 3

4 Figure 2 : Représentation d'un signal pair (a) et un signal impair (b), sommes (c) 4.3. Transformations temporelles élémentaires Les signaux peuvent subir de nombreuses transformations. Nous citons ici deux transformations élémentaires qui agissent sur la variable temporelle. Nous pouvons faire subir aux signaux des translations temporelles. Le signal s(t) retardé de τ s écrit : [()] = ( ) Figure 3 : Signal retardé par τ =2 L échelle temporelle peut être dilatée ou contractée. Si le signal s(t) subit une dilatation temporelle nous avons : [()] = () 4

5 Figure 4 : Signal dilaté par α = Puissance et énergie Toute transmission d'énergie est liée à un transfert d'énergie, de cette raison la puissance et l'énergie jouent un rôle fondamental dans tous les processus réels. Considérons une résistance R traversée par un courant i(t) et soumise à une tension u(t). La puissance dissipée dans la résistance est donnée par la relation suivante : () = (). () = () i(t) R u(t) Figure 5 : Résistance électrique en convention récepteur La généralisation de ce résultat nous permet d'écrire la puissance et l'énergie de n'importe quel signal. 5.. Puissance instantanée d un signal Considérons un signal x(t), qui peut être complexe. On définit la puissance instantanée de ce signal comme le module au carré du signal : () = () 5

6 5.2. Puissance d interaction De manière générale, on définit la puissance d interaction de deux signaux x(t) et y(t) par : () = () () 5.3. Puissance moyenne Si x(t) est périodique, on définit la puissance moyenne sur une durée T par : () = () Si x(t) est non périodique, la puissance moyenne est obtenue à l'aide de l'intégral suivant : () = lim () 6. Énergie d un signal L énergie d un signal est définie comme l intégrale de la puissance sur une durée finie ou infinie : = () Les signaux à énergie finie possèdent une puissance moyenne nulle et une énergie finie et les signaux à puissance moyenne finie possèdent une énergie infinie. 7. Signaux particuliers Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules, certains signaux fréquemment rencontrés en théorie du signal disposent une modalisation propre. 7..Échelon unité Le signal échelon unité, notée u(t), ou encore fonction de Heaviside, est défini par : 6

7 0 < 0 () = () = > 0 Figure 6 : Fonction Échelon unité 7.2. Rampe La rampe unitaire, notée r(t), est définie par : 0 < 0 () = () =. () = > 0 Figure 7 : Fonction Rampe 7.3. Fonction signe La fonction signe est une fonction impaire définie comme suit : < 0 () = ( ) + () = + > 0 7

8 Théorie du signal Chapitre : Généralités sur les signaux Dr. Djilali Benyoucef Figure 8 : Fonction Signe 7.4. Fonction Porte ou Rectangulaire : La fonction porte de largeur T, notée (t/t) ou rect(t/t), est définie par : (/) = = < 2 0 > 2 NB: Si T=, la fonction est dite porte unité Figure 9 : Fonction Rectangulaire 7.5. Fonction Triangulaire La fonction triangle de largeur T, notée (t/t), est définie par : (/) = / < [( + ) 2() + ( )] = 0 > 8

9 Figure 0 : Fonction Triangulaire 7.8. Sinus Cardinal La fonction sinus cardinal joue un rôle très important en traitement de signal, où elle intervient comme transformée de Fourier d une fonction rectangle. Une fonction rectangle permet de représenter par exemple des opérateurs idéaux de filtrage. Elle notée sinc(t) et comme suit : (/) = (/) / () = Figure : Fonction sinus cardinal 7.6. Impulsion de Dirac L impulsion de Dirac, notée (t), correspond à une porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à. Elle est également la dérivée généralisée de l échelon unité : 9

10 () = lim (/) = lim (/) = lim sinc(/) = () Figure 2 : Fonction Impulsion de Dirac Lorsqu une fonction f(t) présente une discontinuité a t = α, sa dérivée généralisée : () = () + [( ) ( )]( ) 7.6. Propriétés de l'impulsion de Dirac Intégrale () = ; ()() = (0) ; ()( ) = ( ); () = () Produit ()() = (0)() ()( ) = ( )( ) Identité () = () () Translation () ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) Changement de l'échelle ( ) = ( ) 0

11 7.7. Peigne de Dirac On appelle peigne de Dirac une succession périodique de l'impulsion de Dirac. La suite appelée aussi fonction d'échantillonnage ou train d'impulsion () = ( ) Figure 3 : Peigne de Dirac

12 TD n : 0: Généralités sur les signaux Exercice n : 0 -Représenter les signaux suivant : ( + ), ( ), 2( + ), () = ( + 3) 2() + ( 3) 2-Écrire () = (), en fonction de l'échelon 3-Tracer y(t), puis calculer l'énergie de ce signal Exercice n : 02 - A l'aide des signaux usuels (échelon rampe, impulsion) reconstituer les signaux suivant 2 x(t) 2 y(t) 2 t 2 3 t 2- Calculer l'énergie et la puissance moyenne de chaque signal, puis l'énergie et la puissance de x(t)+y(t) et x(t).y(t) 3-Tracer x(2t), y(2t) puis x(2t+), y(2t+) 4- Trouver et représenter la dérivée de: x(t) et y(t) Exercice n : 03 Calculer la valeur moyenne et la puissance moyenne de s(t). Déduire l'énergie de s(t) 2

13 Théorie du signal Chapitre : Généralités sur les signaux Dr. Djilali Benyoucef Exercice n : 04 Donner l'expression des signaux suivant en fonction de u(t), (t) et (t) x(t) y(t) 2 t t τ z(t) h(t) T t t Exercice n : 05 Tracer le signal s(t) = 2r(t) 2r(t 2) 4u(t 3) puis y(t)=s'(t) Calculer : = () = () ( ), ( ), = ( ) () = () [2( )] Exercice n : 06 Soit s(t) un signal ni pair ni impair où : 0 < 0 () = > - Décomposer ce signal en deux signaux l'un est pair sp(t) et l'autre impair si(t) 2- Tracer les unes en dessous des autres les représentations graphiques de si(t), sp(t) et s(t) 3