Sujet d'examen. Thème: 2012_Gr_B: (Sujet groupement B Session 2012)

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1 NOM:... PRENOM:... Date:... Classe:... Section:... Sujet d'examen Thème: 2012_Gr_B: (Sujet groupement B Session 2012) Table des matières EXERCICE n 1: (12 points)...2 Partie A. Résolution d'une équation différentielle...2 Partie B. Étude locale d'une fonction...3 Partie C. Calcul intégral...5 EXERCICE n 2: (8 points)...7 Partie A. Loi normale...7 Partie B. Loi binomiale...9 Partie C. Intervalle de confiance...12 M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 1/14

2 EXERCICE n 1: (12 points) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : y' + 2 y = 5 e 2 x. où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et dérivable sur R, et y' la fonction dérivée de y. 1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E 0 ) : y' + 2 y = Soit g la fonction définie sur R par g(x) = 5 x e 2 x. Démontrer que la fonction g est une solution de (E). 3. En déduire les solutions de l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1. CORRECTION 1. (E 0 ) : y' + 2 y = 0. C'est une équation du premier ordre du type (E 0 ) : a(x) y' + b(x) y = 0. Variable : x, fonction : y(x) Identification de a et b : a(x) = 1 ; b(x) = 2. Hypothèse n 1 : a(x) 0. l'hypothèse est vraie. Hypothèse n 2 : a'(x) = 0 et b'(x) = 0. Théorème : g(x) = b(x) / a(x) donc g(x) = 2. Soit G la primitive de g alors G(x) = 2 x. Les solutions de s'écrivent y 0 (x) = k e G(x) soit : y 0 (x) = k e 2 x. 2. La solution particulière y p est ici notée g avec g(x) = 5 x e 2 x. g est une fonction de type U V avec : U(x) = 5 x U ' (x) = 5 V(x) = e 2 x V ' (x) = 2 e 2 x donc g' = U ' V + U V ' g' (x) = 5 e 2 x + 5 x ( 2 ) e 2 x soit g' (x) = ( x ) e 2 x. La méthode à utiliser est la méthode par vérification (E) : g' + 2 g = ( x ) e 2 x + 2 ( 5 x ) e 2 x = ( x 10 x ) e 2 x = 5 e 2 x = 2 nd membre de (E) La fonction g est bien solution particulière de (E). 3. Les solutions de (E) s'écrivent : y g = y 0 + y p soit y g (x) = k e 2 x 5 x e 2 x. 4. f (0) = 1 y g (0) = 1 k e 0 = 1 k = 1. La solution f est donc : f (x) = 1 e 2 x 5 x e 2 x. Remarque(s) : On retrouve la fonction f de la Partie B. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 2/14

3 Partie B. Étude locale d'une fonction Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ( 1 5 x ) e 2 x. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 1. On admet le résultat suivant : lim 5 x e 2 x =0. x a) Calculer lim x f x. b) Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. La courbe C admet une asymptote en + dont une équation est : 2. Développement limité y = 1 5 x y = 0 x = 0 a) A l'aide du développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t e t, déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction : x e 2 x b) En déduire que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction f est : f (x) = 1 7 x + 12 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0. d) Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe C est au-dessus de la droite T. Recopier sur votre copie la justification exacte. 12 x 2 est positif au voisinage de 0. x 2 ε(x) est positif au voisinage de x est positif au voisinage de 0. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 3/14

4 CORRECTION 1. D'après le résultat admis, il est judicieux de développer la fonction f. On obtient : f (x) = e 2 x 5 x e 2 x. a) En utilisant la notation pratique, on a pour x +, 2 x donc e 2 x 0 + Par addition des deux limites, celle admise et celle précédente, on a : lim x f x =0. b) D'après la limite ci-dessus et la représentation graphique de la fonction f (Voir ANNEXE), la courbe C admet une asymptote en + d'équation : y = 0. (Réponse B) 2. Développement limité ou DL a) Écrivons le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction t e t, développement limité extrait du formulaire, e t = 1 + t / (1!) + t 2 / (2!) + t 2 ε(t) avec lim ε(t) = 0 pour t 0. Remplaçons t par ( 2 x ) et uniquement dans la fonction et dans la partie régulière du développement limité, afin d'obtenir le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction x e 2 x. Dans le terme complémentaire qui contient la variable t, t est remplacé par x. On obtient : e 2 x = 1 + ( 2 x) / (1!) + ( 2 x) 2 / (2!) + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. Rappel(s) sur la notation factorielle : factorielle n (n N) noté n! est le produit des entiers de 1 jusqu'à n. on a donc 1! = 1, 2! = 2, 3! = = 6 En utilisant ce rappel, on obtient : e 2 x = 1 2 x + 2 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. b) Règle n 1 sur les développements limités : toutes les opérations ne portent que sur les parties régulières des développements limités. Appliquons cette règle : ( 1 5 x ) e 2 x = ( 1 5 x ) ( 1 2 x + 2 x 2 ) + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. Simplifions = 1 2 x + 2 x 2 5 x + 10 x 2 10 x 3 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. ( 1 5 x ) e 2 x = 1 7 x + 12 x 2 10 x 3 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. Règle n 2 sur les développements limités : On ne fait apparaitre dans l'expression d'un DL que les termes de rang p inférieur ou égal à l'ordre n imposé du DL. En appliquant cette règle, le terme de rang 3 en x 3 (c'est à dire 10 x 3 ) n'apparaît pas dans le DL car l'ordre n imposé et n = 2. On obtient finalement : f (x) = 1 7 x + 12 x 2 + x 2 ε(x) avec lim ε(x) = 0 pour x 0. c) Propriété n 1 sur les développements limités : le terme a 0 + a 1 x du développement limité est l'équation y = a x + b de la tangente T Y à la courbe C f au point Y d'abscisse x = 0. Une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 est donc : T : y = 1 7 x d) Propriété n 2 sur les développements limités : L'étude du signe du terme qui suit l'équation de T Y dans le DL de f (de rang 2 ou 3) au voisinage de x = 0 donne la position (dessus ou dessous) de la courbe C f par rapport a la tangente T Y : si le signe est positif, alors C f est au dessus de T Y et si le signe est négatif alors C f est au dessous de T Y. Le terme qui suit l'équation de T Y dans le DL est : + 12 x 2 (Réponse A) M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 4/14

5 Partie C. Calcul intégral 1. On note I = 1 2 f (x) dx, où f est la fonction définie dans la Partie B. 2. a) Démontrer, à l'aide d'une intégration par partie, que I = 23e 4 13e 2 b) Donner la valeur approchée de I arrondie à 10 2 près. a) Donner, sans justification, le signe de f (x) pour x dans l'intervalle [ 1 ; 2 ] b) Interpréter graphiquement le nombre I. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte. 4 CORRECTION 1. On note I = 1 2 f (x) dx. 2. a) Appliquons une par une les étapes de l'intégration par partie avec f (x) = ( 1 5 x ) e 2 x. Étape n 1 : Identification des fonctions u et v ' et recherche des fonction u ' et v. u(x) = ( 1 5 x ) dérivée u ' (x) = 5 v (x) = ½ e 2 x primitive v ' (x) = e 2 x. Étape n 2 : Application du formulaire : I = u (x) v ' (x) dx = [ u (x) v (x) ] u ' (x) v (x) dx = [ ( 1 5 x ) ( ½ ) e 2 x ] 5 ( ½ ) e 2 x dx Étape n 3 : Recherche de la primitive de la fonction dans le second terme en utilisant les résultats de l'étape n 1. 5 ( ½ ) ( ½ ) e 2 x primitive 5 ( ½ ) e 2 x I = u (x) v ' (x) dx = [ ( 1 5 x ) ( ½ ) e 2 x ] [ 5 ¼ e 2 x ] Étape n 4 : Regroupement des termes entre [ ] et simplification. I = u (x) v ' (x) dx = [ ( 1 5 x ) ( ½ ) e 2 x ] [ 5 ¼ e 2 x ] = [ ( x ) ( ¼ ) e 2 x ] [ 5 ¼ e 2 x ] = [ ( x ) ( ¼ ) e 2 x ] A ce stade, nous avons une primitive de la fonction f (x) = ( 1 5 x ) e 2 x, c'est la fonction : F(x) = ( x ) ( ¼ ) e 2 x Étape n 5 : Calcul de I à l'aide de F(x). F(2) = 23 ¼ e 4, F(1) = 13 ¼ e 2 donc : b) I 0,33. (I s'exprime en unités d'aires u.a) I = 23e 4 13 e 2 4 a) Le signe de f (x) pour x dans l'intervalle [ 1 ; 2 ] est : négatif. b) I représente l'aire du domaine délimité par les droites verticales d'équation x = 1 et x = 2, la courbe C (y = f(x) et l'axe des abscisses (y = 0) (Voir ANNEXE) M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 5/14

6 ANNEXE EXERCICE n 1: Partie B. et Partie C. Représentation graphique de f (x) = ( 1 5 x ) e 2 x, Représentation graphique de T : y = 1 7 x, Domaine d'aire I. C T : y = 1 7 x M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 6/14

7 EXERCICE n 2: (8 points) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Un particulier souhaite acheter, auprès d'un producteur, des bottes de paille pour l'isolation de sa maison. Partie A. Loi normale Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à On prélève au hasard une botte de paille dans la production du 20 juillet On note X la variable aléatoire qui, à chaque botte ainsi prélevée, associe son épaisseur, exprimée en millimètres. On admet que X suit une loi normale de moyenne 360 et d'écart-type 18. Calculer la probabilité P ( 350 X 370 ). 2. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque botte prélevée dans la production de cette journée, associe sa densité exprimée en kg/m 3. On admet que Y suit la loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée ait une densité comprise entre 90 kg/m 3 et 110 kg/m On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. Une botte de paille est conforme aux normes d'isolation si son épaisseur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [ 350 ; 370 ] et si sa densité, exprimée en kg/m 3, appartient à l'intervalle [ 90 ; 110 ]. Calculer la probabilité qu'une botte prélevée dans la production de cette journée soit conforme aux normes d'isolation. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 7/14

8 CORRECTION,σ 1 Loi N ( m ; σ) 1. On cherche p = P ( 350 X 370 ). Méthode n 1: Avec le formulaire et en utilisant la transformation de la loi normale N ( m ; σ ) vers la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ) (voir figure ci-contre), on obtient : p = P ( t 1 T t 2 ) = Π( t 2 ) Π( t 1 ). Donnée(s): m = 360, σ = 18, x 1 = 350, x 2 = 370. Calcul(s): t 2 = ( x 2 m ) / σ t 2 = + 10 / 18 t 2 + 0,56 et Π( t 2 ) Π( 0,56 ) = 0,7123 Calcul(s): t 1 = ( x 1 m ) / σ t 1 = 10 / 18 t 1 0,56 et Π( t 1 ) 1 Π( 0,56 ) La probabilité p demandée est donc : p Π( 0,56 ) ( 1 Π( 0,56 )) = 2 Π( 0,56 ) 1 soit p 0,42 Méthode n 2: Avec les calculatrices (CASIO ou TI), on obtient : CASIO GRAPH 35+ MENU STAT + touche EXE X = σ T + m P(x 1 < X x ) 2 X,x 1,m 0,x 2 +,σ = 1 Loi N ( 0 ; 1) P(t 1 < T t ) 2 T,t 1,m = 0,t 2 + TI-82 STATS Touche 2 nd VARS T = X m,σ Touche F5 (sous menu DIST) : Distribution Touche F1 (sous menu NORM) : Loi normale Touche F2 (sous menu Ncd) : Calcul cumulé Entrée des données + touche EXE Choix de la seconde fonction : normalcdf( + touche EXE Entrée des données + touche EXE Résultat : P ( 350 X 370 ) 0,42 Résultat : P ( 350 X 370 ) 0,42 2. En appliquant la même méthode (formulaire ou calculatrice) pour Y, on obtient : P ( 90 Y 110 ) = P ( 2 T 2 ) = Π( 2 ) Π( 2 ) = Π( 2 ) ( 1 Π( 2 ) ) = 2 Π( 2 ) 1. Π( 2 ) = 0,9772 (cf. formulaire) La probabilité demandée est donc : P ( 90 Y 110 ) 0,95 3. Soit A l'événement «la botte est conforme aux normes d'isolation pour son épaisseur.» Soit B l'évènement «La botte est conforme aux normes d'isolation pour sa densité.» On cherche P ( A B ). Comme A et B sont indépendants (variable X et Y indépendantes) on a : P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0,42 0,95 soit : P ( A B ) 0,40 Remarque(s): cette valeur de p = 0,40 est celle donnée dans la Partie B. de l'exercice. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 8/14

9 Partie B. Loi binomiale On considère un stock important de bottes de paille, dont une partie est destinée à un usage d'isolation. On note E l'évènement : «une botte prélevée au hasard dans le stock est conforme aux normes d'isolation». On suppose que P (E) = 0,4. On prélève au hasard 5 bottes de paille dans le stock pour vérification de la conformité aux normes d'isolation. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 5 bottes. On considère la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 5 bottes ainsi défini, associe le nombre de bottes de paille conformes aux normes d'isolation. 1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, toutes les bottes de paille soient conformes aux normes d'isolation. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins quatre bottes de paille soient conformes aux normes d'isolation. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 9/14

10 CORRECTION 1. Z est une variable aléatoire qui représente le nombre k de bottes de paille conformes aux normes d'isolation dans un lot de n = 5 bottes de paille (k prend les valeurs entières entre 0 et 5.). A chaque tirage ou épreuve, il y a deux issues possible : une issue appelée succès, ici, «la botte est conforme» de probabilité p = 0,4. une issue appelée échec, ici, «la botte est non conforme» de probabilité q = 1 p = 0,6. Comme ce prélèvement des n = 5 bottes s'effectue sous l'hypothèse d'un tirage avec remise, chaque tirage ou épreuve, appelée épreuve de Bernouilli, se répète de manière identique un certains nombre de fois, ici, n = 5 fois. De plus chacun des résultats des tirages sont indépendants les uns des autres. Ceci est la définition mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,4, donc : Z suit la loi binomiale B ( n = 5, p = 0,4 ) 2. On rappelle que Z représente le nombre k de bottes de paille conformes aux normes d'isolation dans un lot de n = 5 bottes de paille (k prend les valeurs entières entre 0 et 5.). On cherche ici P ( Z = 5 ) : Probabilité d'obtenir toutes les bottes conformes. Méthode n 1: Avec le formulaire : Donnée(s): n = 5, p = 0,4 et Z = k = 5. P X =k =C k n p k q n k avec C k n! n = k! n k! Rappel(s): Les applications factorielle! et combinaison s'obtiennent à la calculatrice de la manière suivante : Fonction CASIO GRAPH 35+ TI-82 STATS Factorielle! MENU / RUN / OPTN / PROB / x! MATH / PRB /! Combinaison MENU / RUN / OPTN / PROB / ncr MATH / PRB / ncr Calcul de P ( Z = k ) Résultat P ( Z = 5 ) 0,01 P ( Z = 5 ) 0,01 Remarque(s): La probabilité est relativement faible pour que les 5 bottes de paille choisies (c'est à dire toutes les bottes) soient conformes aux normes d'isolation. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 10/14

11 Méthode n 2: Avec uniquement les calculatrices (CASIO ou TI), on obtient : CASIO GRAPH 35+ MENU STAT + touche EXE TI-82 STATS Touche 2 nd VARS Touche F5 (sous menu DIST) : Distribution Touche F5 (sous menu Binm) : Loi binomiale Touche F1 (sous menu Bpd) : Calcul ponctuel Entrée des données x = k, n et p + touche EXE Choix de la fonction : binompdf( + touche EXE Entrée des données n, p et k + touche EXE Résultat : P ( Z = 5 ) 0,01 Résultat : P ( Z = 5 ) 0,01 3. On rappelle que Z représente le nombre k de bottes de paille conformes aux normes d'isolation dans un lot de n = 5 bottes de paille (k prend les valeurs entières entre 0 et 5.). On cherche ici P ( Z 4 ) : Probabilité d'obtenir au moins quatre bottes conformes. Méthode n 1: P ( Z 4 ) = P ( Z = 4 ) + P ( Z = 5 ) On calcule P ( Z = 4 ) de la même manière que le calcul de P ( Z = 5 ) effectué dans la question précédente et on additionne les résultats. Calcul de P ( Z = 5 ) Calcul de P ( Z = 4 ) CASIO GRAPH 35+ TI-82 STATS Résultat P ( Z 4 ) 0,09 P ( Z 4 ) 0,09 Méthode n 2: P ( Z 4 ) = 1 P ( Z < 4 ) soit P ( Z 4 ) = 1 P ( 0 Z 3 ) On calcule la probabilité cumulée (CASIO : Touche Bcd et TI : fonction binomcdf) que Z soit compris entre k = 0 et k = 3 puis on soustrait la probabilité à 1. Calcul de P ( 0 Z 3 ) CASIO GRAPH 35+ TI-82 STATS Résultat P ( Z 4 ) 0,09 P ( Z 4 ) 0,09 Remarque(s): Les calculatrices ne peuvent pas calculer directement la probabilité cumulée suivante P ( 4 Z 5 ) qui est la probabilité demandée. M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 11/14

12 Partie C. Intervalle de confiance Dans cette partie, on considère les bottes de paille produites le 22 juillet On prélève au hasard un échantillon de 50 bottes de paille dans cette production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On constate que 37 bottes de paille de cet échantillon sont conformes aux normes d'isolation. 1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des bottes de paille de cette production qui sont conformes aux normes d'isolation. 2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 bottes ainsi prélevée dans cette production, associe le fréquence des bottes de cet échantillon qui sont conformes aux normes d'isolation. p 1 p On suppose que F suit une loi normale de moyenne p et d'écart-type. 50 a) Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p au niveau de confiance de 95%. b) On considère l'affirmation suivante : «la fréquence p est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2.a)». Cette affirmation est-elle vraie? (Donner la réponse sans explication). M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 12/14

13 CORRECTION 1. Une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des bottes de paille de la production qui sont conformes aux normes d'isolation est p = 37 / 50 soit : p = 0,74 2. On rappelle que F suit une loi normale de moyenne m = p et d'écart-type σ = a) Méthode n 1: Avec le formulaire et en utilisant la transformation de la loi normale N ( m ; σ ) vers la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1 ) (voir figure cicontre), on cherche l'intervalle de confiance [ f 1 = m h ; f 2 = m + h ], centré autour de la moyenne m, au seuil de confiance de 95% donc au seuil de risque α = 0,05. Données: m = 0,74, σ 0,062, α = 0,05. t 2 = ( f 2 m ) / σ t 2 = t = + h / σ et Π( t ) = 1 ½ α. t 1 = ( f 1 m ) / σ t 1 = t = h / σ et Π( t ) = 1 Π( t ). Inconnue(s): h ou t Calcul(s): P ( f 1 F f 2 ) = 1 α P ( t 1 T t 2 ) = 1 α Π( t 2 ) Π( t 1 ) = 1 α Π( t ) Π( t ) = 1 α Π( t ) ( 1 Π( t ) ) = 1 α 2 Π( t ) 1 = 1 α Π( t ) = 1 ½ α. p 1 p 50 Remarque(s): Cette dernière formule avait déjà été obtenue à partie de la ligne données. Application(s) numérique(s): Π( t ) = 0,975 F = σ T + m h / σ = 1,96. ½ α P(f 1 < F f 2 ) ½ α F,m h,m 0,m + h + ½ α P( t < T t ) ½ α T t,m = 0,t = h / σ + t = 1,96 (par lecture inverse de la table). h = 1,96 σ h 0,12 Un intervalle de confiance de la fréquence p au niveau de confiance de 95% est donc : [ f 1 = m h ; f 2 = m + h ] soit [ 0,62 ; 0,86 ],σ 1 Loi N ( m ; σ),σ = 1 Loi N ( 0 ; 1) T =. F m,σ M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 13/14

14 Méthode n 2: Avec uniquement les calculatrices (CASIO ou TI), on obtient : Données: m = 0,74, σ 0,062, α = 0,05 (c'est le seuil de risque) et 1 α = 0,95 (c'est le seuil de confiance) CASIO GRAPH 85 CASIO GRAPH 35+ TI-82 STATS MENU STAT + touche EXE Touche 2 nd VARS Touche F5 (sous menu DIST) : Distribution Touche F1 (sous menu NORM) : Loi normale Touche F3 (sous menu InvN) : Lecture inverse On peut calculer [ f 1 ; f 2 ] avec P ( f 1 F f 2 ) = 1 α Entrée des données + touche EXE On peut 1 calculer f 2 avec P ( F f 2 ) = 1 ½ α Entrée des données + touche EXE Choix de la troisième fonction : invnorm( + touche EXE On peut 2 calculer f 2 avec P ( F f 2 ) = 1 ½ α Entrée des données Π( t ), m et σ + touche EXE Résultat : [ f 1 ; f 2 ] = [ 0,62 ; 0,86 ] f 2 0,86 et h = f 2 m = 0,12 Résultat : [ f 1 ; f 2 ] = [ 0,62 ; 0,86 ] f 2 0,86 et h = f 2 m = 0,12 Résultat : [ f 1 ; f 2 ] = [ 0,62 ; 0,86 ] b) L'affirmation suivante : «la fréquence p est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2.a)» est une affirmation : Fausse Explication : C'est le caractère obligatoire de l'affirmation qui rend cette affirmation fausse. En effet, à chaque échantillon de n = 50 bottes de pailles, il n'y a que 95% de chance (c'est le seuil de confiance) de trouver une fréquence p de bottes de pailles conformes aux normes d'isolation appartenant à l'intervalle [ 0,62 ; 0,86 ]. Un échantillon quelconque peut donc donner une fréquence p de bottes de pailles conformes aux normes d'isolation qui se trouve à l'extérieur (soit à gauche, soit à droite) de l'intervalle [ 0,62 ; 0,86 ]. La probabilité est même α = 0,05 (c'est le seuil de risque). 1 On peut calculer f 1 avec P ( F f 1 ) = ½ α. Il suffit de refaire le calcul avec. 2 On peut calculer f 1 avec P ( F f 1 ) = ½ α. Il suffit de refaire le calcul avec M. Basnary S. Maths Sujet d'examen 2012_Gr_B Page n 14/14