Baccalauréat Blanc de Mathématiques - Terminales S - 27 janvier La calculatrice est autorisée. 3.5 POINTS

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1 Baccalauréat Blanc de athématiques - Terminales S - 27 janvier 207 La calculatrice est autorisée. EXERCICE 3.5 POINTS Partie A Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence %. On sait par ailleurs que 30% de la population française sont des seniors (personnes âgées de plus de 50 ans) et que 90% des porteurs de la maladie V dans la population française sont des seniors. On choisit au hasard un individu dans la population française. On définit les évènements suivants : : «l individu est porteur de la maladie V» et S : «l individu est un senior». Ainsi : P()=0,0, P(S)=0,3, et P (S)=0,9. a) Déterminer P( S). b) On choisit au hasard un senior. ontrer que la probabilité qu il soit porteur de la maladie V est égale à 0, Le taux d hématocrite d une personne est le pourcentage du volume de globules rouges par rapport au volume total du sang. On note X la variable aléatoire donnant le taux d hématocrite d un individu choisi au hasard dans la population française. La plupart des personnes ont un taux d hématocrite inférieur ou égal à un seuil α. On sait que P(X α)=0,995. Une étude statistique a révélé que 60 % des individus ayant un taux d hématocrite supérieur à α sont porteurs de la maladie V. a) On note H l évenement «l individu a un taux d hématocrite supérieur à α». Calculer P(H) = P(X > α). b) Compléter en partie l arbre de probabilités donné en Annexe avec les données de l énoncé. c) L individu choisi au hasard a un taux d hématocrite inférieur ou égal à α. Calculer la probabilité qu il soit porteur de la maladie V. (Arrondir au millième.) Partie B On choisit maintenant 000 seniors dans la population française. On suppose que la population des seniors en France est suffisamment importante pour que ce choix soit assimilé à 000 tirages indépendants avec remise. On nomme Y la variable aléatoire qui compte le nombre de seniors, parmi les 000 choisis, qui sont porteurs de la maladie V.. Justifier que Y suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres. 2. Quelle est la probabilité qu il y ait au moins 6 seniors porteurs de la maladie V parmi les 000? (Arrondir à 0,00.) EXERCICE 2 4,5 POINTS On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Le but de l exercice est d étudier, pour deux hypothèses différentes, l évolution de cette quantité minute par minute.. On effectue à l instant 0 une unique injection de 0 ml de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note u n la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang au bout de n minutes. Ainsi u 0 = 0. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? b) Pour tout entier naturel n, donner l expression de u n en fonction de n. c) Déterminer à l aide de la calculatrice au bout de combien de minutes la quantité de médicament restant dans le sang devient inférieure à % de la quantité initiale.

2 2. On utilise maintenant une machine pour injecter progressivement le médicament. On programme la machine de façon que : à l instant 0, elle injecte 0 ml de médicament, puis toutes les minutes, elle injecte ml de médicament. On estime que 20 % du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note w n la quantité de médicament, en ml, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. a) Justifier que pour tout entier naturel n, w n+ = 0,8w n +. b) Démontrer par récurrence que la suite (w n ) est décroissante. c) On admet que la suite (w n ) est à termes positifs. Que peut-on déduire du résultat de la question précédente? Justifier la réponse. d) Pour tout entier naturel n, on pose z n = w n 5. Démontrer que (z n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. e) En déduire l expression de w n en fonction de n. f) Quelle est la limite de la suite (w n )? Quelle interprétation peut-on en donner? EXERCICE 3 7 POINTS Les parties A et B sont indépendantes, mais il est conseillé de les chercher dans l ordre donné par l exercice. Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante : x = 0 pour le blanc ; x = pour le noir ; x = 0,0 ; x = 0,02 et ainsi de suite jusqu à x = 0,99 par pas de 0,0 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé). L image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes. Un logiciel de retouche d image utilise des fonctions numériques dites «fonctions de retouche». Une fonction f définie sur l intervalle [0 ; ] est dite «fonction de retouche» si elle possède les propriétés suivantes : f (0)=0 et f ()= ; f est continue et croissante sur l intervalle [0 ; ]. Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f (x) > x, et éclaircie, si f (x) < x. Ainsi, si f (x)= x 2, un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,2 2 = 0,04. L image A sera transformée en l image B ci-dessous. Si f (x) = x, la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,2 0,45. L image A sera transformée en l image C ci-dessous. 0,20 0,40 0,04 0,6 0,45 0,63 0,60 0,80 0,36 0,64 0,77 0,89 Image A Image B Image C Partie A On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; ] par f (x)=4x 3 6x 2 + 3x.. Démontrer que la fonction f est une fonction de retouche. 2. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) x, à l aide du graphique donné en Annexe, et à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. 3. Interpréter ce résultat en termes d éclaircissement ou d assombrissement. 2

3 Partie B On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 ; ] par : g (x)= x e u(x), avec u(x)= x 2 pour tout réel x de [0;]. Démontrer que la fonction g est une fonction de retouche. 2. Dans cette question, on cherche à savoir si la fonction g a pour effet d éclaircir l image dans sa globalité, c està-dire si g (x) x pour tout réel x de l intervalle [0 ; ]. Partie C On définit alors la fonction d telle que d(x) = g (x) x pour tout réel x de [0; ]. a) Dériver la fonction d et montrer que d (x)=(2x 2 + )e u(x), pour tout x [0;]. ( u(x)= x 2 ). b) ontrer que la fonction dérivée d est strictement croissante sur l intervalle [0;]. (On calculera d la fonction dérivée de la fonction d.) c) Justifier que la fonction dérivée d s annule une seule fois sur l intervalle [0;], en une valeur qu on notera α. Calculer une valeur approchée de α à 0 2 près. d) En déduire le tableau de signes de la fonction dérivée d, puis le tableau de variation complet de la fonction d sur [0;]. e) Apporter la réponse à la question posée précédemment sur la fonction g. On remarque qu une modification de nuance n est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05. On considère l algorithme décrit ci-dessous, à gauche, où R désigne une fonction de retouche quelconque.. On exécute cet algorithme en prenant pour fonction R la fonction g de la Partie B. La variable y prendra donc la valeur g (x). a) On obtient le tableau ci-dessous, à droite, qui trace les valeurs sucessives des variables dans les premières étapes de la boucle. Compléter les valeurs manquantes de ce tableau (en arrondissant au dix-millième). b) On admet que l équation g (x) x =0.05 admet exactement deux solutions x et x 2, dont les valeurs arrondies au millième sont respectivement x et x Quelle valeur l algorithme affichera-t-il pour c? (S aider de la Partie B, sans programmer l algorithme à la calculatrice!) 2. Pour une fonction f quelconque, quel est le rôle de l algorithme? Que représente la valeur de c affichée? Variables : Algorithme x, y, E (des réels c, k (des entiers) R (une fonction de retouche) Initialisation : c prend la valeur 0 Traitement : Pour k allant de 0 à 00, faire : k x prend la valeur 00 y prend la valeur R(x) Fin pour E prend la valeur y x Si E 0.05 Alors c prend la valeur c + Fin si Sortie : Afficher c Exécution pas à pas avec la fonction g. k = 0 x= 0 y = 0 E = 0 c = 0 k = x= 0.0 y = E = c =... k = 2 x= 0.02 y = E = c =... k = 3 x= 0.03 y = 0.00 E = c =... k = 4 x= 0.04 y = E = c =... k = 5 x= 0.05 y = E = c =... k = 6 x= 0.06 y = E = c =... k = 7 x=... y = E = c =... k = 8 x=... y = E = c =... k = 9 x=... y = E =... c =... k = 0 x=... y = E =... c =... 3

4 EXERCICE 4. POUR LES ÉLÈVES N AYANT PAS SUIVI L ENSEIGNEENT DE SPÉCIALITÉ. 5 POINTS Cet exercice est constitué de trois questions indépendantes, qui peuvent être traitées dans un ordre quelconque. Dans tout l exercice, le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O; u; v). Question : A tout point d affixe z différente de i, on associe le point d affixe z tel que z = z z+ i. Le point est appelé l image de.. Calculer sous forme algébrique l affixe du point A, image du point A d affixe z A = +i. 2. Calculer les éventuels antécédents du point B d affixe 2. Question 2 : Soit P, L et R les points d affixes respectives : z P = i, z L = i et z R = 2 2i.. Démontrer que le quadrilatère OPLR est un parallélogramme. 2. Soit I le point d affixe z I = i. a) Calculer l affixe du point S symétrique de P par rapport à I. b) Justifier que les points L, R et S sont alignés. Question 3 : On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe le complexe f (z)= z 2 + 2z+ 9.. Résoudre dans C l équation f (z) =. 2. On pose z = x+ iy, où x et y sont des réels. a) ontrer que la forme algébrique de f (z) est x 2 y 2 + 2x+ 9+i(2x y+ 2y). b) Soit (E) l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z est telle que f (z) soit un réel. Déterminer l ensemble (E). EXERCICE 4. POUR LES ÉLÈVES AYANT SUIVI L ENSEIGNEENT DE SPÉCIALITÉ. 5 POINTS Cet exercice est constitué de quatre questions indépendantes, qui peuvent être traitées dans un ordre quelconque. Question. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera valorisée. Résoudre dans Z l équation 4x 4 [6]. Question 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera valorisée. Démontrer que pour tout entier naturel n, 7 2n 4 n est divisible par 5. Question 3. a. Soit n un entier naturel. ontrer que, si n 0 [3], alors 2 n [7]. b. Déterminer le reste dans la division euclidienne de par 7. Question 4. On donne les matrices = 4 2 et I = On note a i,j les coefficients de la matrice 2, avec i et j entiers naturels tels que i 3 et j 3. a) Déterminer le coefficient a 3,2 de cette matrice, en détaillant le calcul. b) Calculer la matrice 2 (on ne demande pas de détailler les calculs). 2. On admet que 3 = I. a) En déduire que est inversible et que = 6 b) Donner la matrice.. ( 2 8I ). 3. Application : On cherche à déterminer trois réels a, b et c tels que la parabole d équation y = ax 2 + bx+ c passe par les trois points A(;),B( ; ) et C(2;5). a a) ontrer que le problème revient à chercher trois réels a, b et c tels que b c = 5. b) En déduire les nombres a, b et c. 4

5 ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE. NO :... EXERCICE. Partie A. Question 2. H Ω H EXERCICE 3. Partie A. 0,5 0,5 Partie A. Courbe de la fonction f 5