Cours 6. Perte d énergie des électrons et positrons

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1 Cours 6 Perte d énergie des électrons et positrons 1

2 Les électrons et les positrons sont légers, donc : La formule Bethe-Bloch doit être modifiée masse de la particule incidente = masse de la particule cible dans le cas des électrons: particule incidente = particule cible Une seule diffusion peut changer la direction du projectile ce qui rend sa trajectoire sinueuse. Il devient difficile de définir un parcours. La perte d énergie par rayonnement (bremsstrahlung) est importante: jusqu à quelques MeV: petite fraction quelques dizaines MeV: comparable à ionisation plus énergétique: dominante -de/dx(total) = -de/dx(radiation)- de/dx(collision)

3 1) Formule de Bethe-Bloch modifiée Les diffusions élémentaires sont : diffusion de Möller: e - e - e - e - diffusion inélastique sur les électrons atomiques diffusion de Mott : diffusion élastique sur les noyaux À partir des sections efficaces de ces diffusions, on obtient de dx K 1 Z A m ln e c F( ) I où c est l énergie cinétique de l électron (positron) en unité de m e c, et F) c est une fonction qui est différente pour électron et positron. 3

4 La diffusion de Mott ne fait pas varier l'énergie des électrons mais perturbe beaucoup leur trajectoire. Contrairement aux particules lourdes, la portée est très différente de la longueur de la trajectoire. Une autre conséquence est que l'électron a une probabilité non négligeable de ressortir de l'absorbeur par la même face que celle par laquelle il y avait pénétré. Ce phénomène est d'autant plus important que le Z de l'absorbeur est grand et que l'énergie de l'électron est faible et que l'angle d'incidence, par rapport à la normale est grand. 4

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6 La particule lourde (de masse M) ne peut perdre au maximum, lors d'une collision avec un électron, qu'une fraction de son énergie de l'ordre de m e / M. Lors d'une collision entre électrons, la particule incidente peut perdre 50% de son énergie initiale. Lors de l'émission de rayonnement de freinage, comme nous le verrons plus tard, ce pourcentage peut même être de 100%. fortes fluctuations de la longueur du parcours. 6

7 ) Perte d énergie par rayonnement de freinage ( Bremsstrahlung ) Une particule chargée perd de l énergie par émission de radiation électromagnétique quand sa vitesse change : Bremsstrahlung: dans le champ électrique d un noyau (Z de la cible) Utilisation en médecine d écrans en plexiglas plutôt qu en plomb. 7

8 T c Figure 3.3 Perte d énergie des électrons et des protons dans le plomb (d après W.E. Burcham Nuclear Physics an introduction Longmans (1963). Au delà d une énergie dite critique T c, la perte d énergie par rayonnement de freinage devient prépondérante. On évalue T c empiriquement : 8

9 800( MeV ) T c Z 1. La section efficace de rayonnement de freinage pour une particule relativiste de masse m et de charge ze, varie en Z pour un milieu ralentisseur de numéro atomique Z : d 5z dk 4 Z Matériau m ec mc r e k ln Dépendance mc k en masse particule avec rc e /(4 0mec ). 8 fm, rayon classique de l électron, la particule incidente d énergie totale E 0 perdant une énergie k émise sous forme de photon, soit l énergie résiduelle E = E 0 -k. Terme en (m e /m) pour un donné : m e =0.5 MeV et M p =1 GeV rapport entre les sections efficaces effet important pour les électrons. 9

10 m m 105 MeV é 0.5 MeV est fois plus petit pour les muons. Effet important pour les muons seulement à haute énergie. Lorsqu un électron a une accélération a, la perte d énergie par unité de temps s écrit : dt e a 3 dt 3c Figure 3.4 Spectre de rayonnement de Bremsstrahlung obtenu avec des électrons de 60 MeV et une cible de Tungstène de 0.15 longueur de radiation (~0.5 mm) d épaisseur ; les courbes théoriques prennent en compte la possibilité d émission d un seul photon pour un électron ou de deux photons d après Bogdankevitch et Nikolaev Bremsstrahlung Research Academic Press. 10

11 C est dans le champ colombien du noyau que l électron subit ses plus fortes déviations. L effet d écran dû aux électrons atomiques va donc jouer un rôle important dans l émission du rayonnement de freinage. Pour E 1 m c 0 1 1/ 3 e Z avec =1/137, l effet d écran est négligeable et on peut écrire la perte d énergie par radiation d un électron d énergie E 0 dt dx rad E ln mec 0 4E0NZ re 1 3 La prise en compte de l effet d écran à plus haute énergie, pour E0 1 1/ 3 m c Z amène à : e dt dx rad E NZ αrln ) 0 e ( 1/3 Z 1 18 dt E et Z du matériau dx 11

12 L énergie critique pour laquelle ( dt / dx) ion ( dt / dx) rad peut ainsi s écrire On a T c = 10 MeV dans l air T c = 7 MeV dans Fe T c = 9.5 MeV dans Pb T c 1600 ~ mec Z ~ 800 Z MeV Exemple : Les deux processus successifs de création de paires e + e - par un rayonnement gamma et de rayonnement de freinage par les électrons, provoquent dans l atmosphère la conversion de photons cosmiques de haute énergie en gerbes électromagnétiques (voir plus loin). 1

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14 3) Longueur de radiation ( radiation length ) Puisque de dx E à haute énergie, on peut écrire brem de dx brem E X 0 E x) E exp( x / ), donc E X ) E / e ( 0 X 0 ( 0 0. X 0 est appelé longueur de radiation. Après avoir traversé une distance X 0 l énergie de l'électron décroît d un facteur 1/e par bremsstrahlung. Si on ajoute la correction pour l effet d écran, on arrive à une approximation: A X 0 g /cm Z( Z 1) ln(87/ Z ) 14

15 Pour un matériau composé de N éléments différents, la longueur de radiation est donnée par: f 1 i X 0 i i X où f i et 0 i X 0 sont respectivement le pourcentage en masse et la longueur de radiation de chaque élément i. 4) Énergie critique La perte d énergie par ionisation est ln E (et Z ) au dessus du MIP, qui augmente moins vite que la perte par rayonnement E ( et Z ). Quand l énergie de l électron est assez élevée, la perte par rayonnement va dépasser celle par collision. L énergie à laquelle ces deux pertes sont égales est appelée énergie critique E c : à E Ec, de / dx de / dx brem ion Approximativement: E e c 800/( Z 1.) MeV, ou pour Z 13, E e c 500/ Z MeV. 15

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19 Pour les électrons Pb Z=9, Al Z=13, Fe Z=6 A Formule en Z 19

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23 5) Cas particulier des particules lourdes à très haute énergie La formule donnée pour les électrons devient, pour une particule (z,m): de dx rad 4 Sous une forme plus exploitable : E A z 183 Z N a re Ln 1/3 m Z derad 3 dx MeV me E 183 Z z Ln 1/ g / cm A( g) m me Z Pour des protons traversant le fer on a: de MeV 8 rad dx g / cm m soit 1 e g / cm E MeV Pour des muons, toujours dans le fer, on a: pour des protons de 50 TeV. de MeV 7 rad dx g / cm m soit 1 e g / cm E MeV pour des muons de 600 GeV. 3

24 On peut aussi montrer que X 0 et E c sont projectile). Par exemple, dans le fer on a : m (m étant la masse du E e c 0.7 MeV, E c E e c m m e 890 GeV On voit sur ces quelques valeurs numériques que ce processus va essentiellement affecter les particules légères. En pratique ce sont les électrons qui seront les plus sensibles. La perte d'énergie par rayonnement de freinage d'une particule d'état de charge z et de masse m peut être calculée à partir de celle d'un électron possédant la même énergie cinétique incidente : de dx rad ( z, m) me m z de dx rad ( e ) 4

25 Parcours Distance parcourue jusqu'à l arrêt de la particule. Dépend du matériau, du type et de l énergie de la particule. Mesure du nombre de particules transmises/ incidentes en fonction de l épaisseur t du matériau. Figure 9.1 5

26 Le straggling est dû aux fluctuations du nombre de collisions et de l énergie transférée par collision. En première approximation la distribution est de forme gaussienne. Le parcours moyen est le point à mi-hauteur de la distribution. On utilise aussi (voir figure) le parcours effectif (extrapolation). 6

27 D'un point de vue théorique on trouve le parcours R en intégrant la formule de Bethe : T 1 0 de R( T0 ) de dx 0 Cette équation ignore certains effets de la diffusion coulombienne (voir plus loin) à savoir que la particule n'a pas un parcours rectiligne mais que sa trajectoire subit des déviations successives à chaque "collision". Le parcours ainsi calculé est plus petit que le parcours réel. 7

28 1) Cas des particules lourdes Les effets de la diffusion multiple sont le plus souvent faibles et le calcul est une bonne approximation. Pour des énergies incidentes supérieures au MeV, on obtient pour le parcours moyen des valeurs comparables aux parcours calculés dans l approximation de ralentissement continu avec une très bonne précision. Si pour le calcul du parcours on ne prend en compte que la perte d énergie par ionisation et excitation (approximation valable pour des particules lourdes d'énergie inférieure à quelques GeV), on obtient pour un milieu donné (c est à dire Z, A, I fixés): de dx ion z f ( ) où M et z sont la masse et l état de charge de la particule incidente. T 0 0 M d( T / M ) M dx M R( T0 ) h( T 0 z g( T / M ) z g( x) z 0 T / M 0 z g T M / M ) pour laquelle «h» est une fonction universelle du milieu (pour Z, A, I 8

29 donnés). Ainsi, si on connaît le parcours R a d une particule de masse M a, de charge z a, le parcours R b d une particule de masse M b, de charge z b et d énergie cinétique T b sera: Mb za Rb ( Mb, zb, Tb ) M z a b R ( M Pour des particules possédant un état de charge de 1, la fonction h(t/m) est présentée sur la figure suivante pour quelques matériaux: a a, z a, T b M M a b ) 9

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31 Il faut noter la différence qui existe entre la perte d énergie d une particule et l énergie qu elle dépose dans un milieu, par exemple dans une couche active d un détecteur. Pour des particules rapides, une fraction importante de l énergie cinétique incidente est transférée à des particules secondaires, énergétiques qui peuvent ensuite sortir du milieu considéré sans avoir déposé la totalité de leurs énergies. Du fait de la complexité du phénomène, qui met en jeu des particules secondaires qui sont souvent de nature différente du projectile incident, de son interdépendance avec la géométrie et les caractéristiques des milieux (des détecteurs), il n existe pas de formule précise qui puisse être simplement utilisée pour obtenir l énergie déposée. Pour traiter ce problème, on a maintenant recours à des calculs sur ordinateurs de type Monte-Carlo, qui exécutent une simulation complète de l histoire d une particule dans un milieu: parcours, collisions, génération de particules secondaires, énergie déposée. Le programme de ce type le plus connu est le code de simulation GEANT4 en C++. 31

32 A basse énergie, en échelle log-log la relation parcours-énergie est à peu près linéaire R E avec Une approximation plus rudimentaire est de 1 dx R E E!!!! 1 3

33 Perte d'énergie (MeV/cm) La relation entre de/dx et la distance parcourue est appelée courbe de Bragg. Maximum très prononcé précédant une chute brutale, montrant ainsi que le dépôt d'énergie est très localisé. Cette caractéristique peut être mise à profit lors d'irradiations de tumeurs extrêmement bien localisées et peu profondes comme les tumeurs de l'œil par exemple, afin de détruire avec efficacité les cellules tumorales sans pour cela léser les cellules saines situées en amont du parcours de la particule ionisante Profondeur (mm) Figure 9.6: Représentation schématique d'une courbe de Bragg pour des protons dans l'eau. 33

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35 ) Cas des électrons Les effets de déviation (effets de diffusion multiple) par les collisions sont importants. Le parcours des électrons est très différent du parcours calculé par l'intégration de la formule de de/dx. Les différences peuvent aller de 0 à 400 % suivant l'énergie et le matériau. De plus, l'énergie perdue par les électrons fluctue beaucoup plus que celle perdue par les particules lourdes. Ceci est dû à des transferts d'énergie permis par collision plus grands et à l'effet de bremsstrahlung. Il en résulte un straggling en énergie beaucoup plus grand comme on peut le voir sur la figure suivante. «Parcours d arrêt» des électrons Figure

36 Un certain nombre de relations empiriques peuvent aussi être trouvées et des tabulations en sont faites. La figure suivante montre le parcours effectif dans plusieurs matériaux. Figure

37 Parcours pour les matériaux composés et les mélanges Approximation la plus courante: A masse moléculaire du composé eff R eff Aeff ai Ai R i A iet R imasse atomique et parcours de l'élément i, i a nombre d'atomes de l i-ème élément dans la molécule composée. 37