Introduction à la physique des plasmas

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1 à la physique des plasmas S. Mazevet Laboratoire de Structure Electronique Département de Physique Théorique et Appliquée Commissariat à l Energie Atomique Bruyères-Le-Châtel, France p-1/21

2 Table of contents 1 2 Plan 3 Degré d ionisation: Cinétiques-corrélés: Plasmas classiques/dégénérés 4 Intéractions longues portées Ecrantage de Oscillations dans les plasmas: fréquence plasma utilisées pour les plasmas p-2/21

3 Définition Un plasma est défini comme un ensemble de particules chargées Un plasma est électriquement neutre: nombre égale de particules chargées positivement et négativement Toutes les particules interagissent entre elles via l interaction coulombienne Contrairement à un gaz où les interactions sont de courte portée, dans un plasma les interactions sont donc de longue portée Ceci implique un comportement collectif des particules Modélisable comme deux fluides chargés en interaction Il existe des plasmas trés variés ±denses,± chauds, ± ionisés Tous les corps se transforment en plasma lorsque la température et/ou densité sont suffisement élevées p-3/21

4 Applications Astrophysique, 99% de la matière visible, atmosphéres stellaires, nébuleuses,... Fusion thermonucléaire controlée: magnétique ou par confinement inertiel Décharges électriques dans les gaz,... Matière dans des conditions extrémes p-4/21

5 Exemples de Plasmas Les différents types de plasmas sont catalogués en utilisant quelques paramètres clés. p-5/21

6 Généralités sur les plasmas, grandeurs fondamentales Collisions dans les plasmas Description fluide, ondes dans les plasmas (2 ) Eléments de théorie cinétique (2 ) Instabilités paramétriques Thèmes de recherche actuels sur les plasmas: interaction laser plasmas, matière dans les conditions extrèmes, simulations. p-6/21

7 Notion de température Pour un plasma proche de l équilibre, les collisions sont suffisement fréquentes pour que les lois de la mécanique statistique soient applicables La distribution des vitesses des particules à une température T est donnée par une distribution de Maxwell-Boltzmann (une dimension) f(u) = Aexp( 1 2 mu2 /k B T ) (1) fdu est le nombre de particules par m 3 avec une vitesse entre u et u + du, 1 2 mu2 est l énergie cinétique et k B = J/K la constante de Boltzmann La constante A est reliée à la densité n par ( ) 1/2 m A = n (2) 2πk B T p-7/21

8 Notion de température II L énergie cinétique moyenne des particules dans cette distribution est 1 2 E av = mu2 f(u)du f(u)du (3) En utilisant une intégration par partie, on trouve, à une dimension: E av = 1 2 k BT (4) Ce résultat peut être facilement étendu à trois dimensions en utilisant [ f(u, v, w) = A 3 exp 1 ] 2 m(u2 + v 2 + w 2 )/k b T (5) L énergie cinétique moyenne est alors E av = 3 2 k bt soit 1 2 k bt par degré de liberté Il est courant, en physique des plasmas, d exprimer la température en unité d énergie: 1eV = 11604K Notion de température pour les électrons T e et les ions T i p-8/21

9 Degré d ionisation L état d ionisation d un plasma est lié à sa température T et sa densité n Pour un atome A dans un plasma, une collision ionisante est du type e + A e + A + + e (6) A l équilibre, le plasma contient donc n e électrons, n i ions et n 0 neutres par unité de volume. Pour un plasma globalement neutre: n e = n i = n Le degré d ionisation, est définie par = n n 0 + n (7) p-9/21

10 Equilibre d ionisation: Equation de A cause des collisions, les atomes, molécules, ou ions présents dans le plasma peuvent être ionisés si la température est telle que k B T > U i /10 (8) où U i est le potentiel d ionisation. Si le plasma est à l équilibre thermodynamique, l ionisation est contre-balancée par la recombinaison Cet équilibre est décrit par l équation de n i+1 n e n i = g i+1g e g i (2πm e k B T ) 3/2 h 3 exp[ (U i+1 U i )/k b T ] (9) g sont des facteurs de dégénérescence énergétique et g e = 2 n i est la densité d atomes dans leur i eme état d ionisation h est la constante Planck (2πm ek B T ) 3/2 h correspond à la longeur d onde thermique d un 3 électron p-10/21

11 Equilibre d ionisation II Le terme qui participe le plus est exp[ U i /k b T ] Si U i >> k b T faible ionisation, 0 Si U i << k b T fortement ionisé 1 Application Numérique: Azote à température ordinaire n 0 = m 3, U i = 14.5eV, T=300K ni n 0 = Typiquement, commence à être significatif lorsque k b T > U i /10 Permet de distinguer les plasmas faiblement et fortement ionisés Avec plusieurs espèces (atomes, ions,..), il faut traiter les équations d évolution pour toutes les espèces et les mécanismes associés: Physique Atomique à l équilibre et hors équilibre Avec n e = n i = n, le facteur n déplace l équation en faveur de la recombinaison: l équation de n est pas valable à forte densité p-11/21

12 Plasmas cinétiques-corrélés La distinction entre un plasma cinétique et un plasma corrélé se fait en comparant l énergie cinétique à l énergie d interaction ienne Energie cinétique E cin = 3 2 k bt Energie d interaction ienne U int = Z2 e 2 4πɛ 0 d avec d distance entre les deux particules Définition: U cin >> U int Plasma cinétique, comportement de type gaz parfait U cin << U int Plasma correlé, les forces électrostatiques modifient le comportement des particules chargées On définit le paramètre de couplage = Uint U cin << 1 plasma cinétique >> 1 plasma corrélé (10) p-12/21

13 Plasmas cinétiques-corrélés II On définit la longueur de Landau: longueur d approche de 2 particule d énergie k b T r 0 = Z2 e 2 4πɛ 0 k b T Le paramètre de couplage devient = Z2 e 2 4πɛ 0 d 1 k b T = r 0 d (11) (12) La longueur de Landau permet également de classer un plasma r 0 << d cinétique r 0 >> d corrélé Le plasma est corrélé à faible température ou haute densité Le plasma est cinétique à haute température ou faible densité p-13/21

14 Plasmas classiques/dégénérés Si la distance entre 2 particules est petite, les fonctions d onde se recouvrent et l on ne peut plus négliger les effets quantiques Ces effets vont se manifester d abord sur les e car ils ont une fonction d onde plus étendue L extention spatiale d une particule est donnée par la longueur thermique de de Broglie λ th = h mkb T (13) ( ) 1/3 d 3 mkb T = λ th 4πn h = T T F (14) avec T F la température de Fermi Définition: d >> λ th ou T >> T F : plasma classique, n faible ou T élevée d << λ th ou T << T F : plasma dégénéré Lorsque le plasma est dégénéré, les effets quantiques sont importants. Il faut considérer la statistique de Fermi-Dirac Les électrons dans un métal est un exemple de plasma dégénéré p-14/21

15 Intéractions longues portées Dans un gaz parfait, les molécules n interagissent que si elles s approchent à une distance de quelques AA Dans les plasmas, les particules chargées interagissent à longue portée. Le potentiel d interaction est en 1/r E = Q 4πɛ 0 r 2 (15) Nous allons étudier deux effets importants: Ecrantage de : distance à laquelle la présence d une charge se fait sentir Oscillation plasma : fréquence fondamentale pour un plasma p-15/21

16 Ecrantage de Si on insère une charge dans un plasma, elle attire les charges opposées qui vont l écranter Si la température du plasma est nulle, l écrantage sera parfait Si on insère une grille maintenue au potentiel constant φ 0 Les ions sont supposés fixes alors que les électrons s arrangent en fonction de leur température La fonction de distribution pour les électrons est f(u) = Aexp[ ( 1 2 mu2 + qφ)/k b T ] (16) Intégrer f(u) sur u et en notant que n e (φ 0) = n, on obtient n e = n exp(eφ/k b T e ) (17) En prenant maintenant l équation de poisson à une dimension ɛ 0 2 φ = ɛ 0 d 2 φ dx 2 = e(n i n e ) (18) p-16/21

17 Ecrantage de II Utilisant l expression de n e, l équation devient d 2 {[ ( )] } φ eφ ɛ 0 dx 2 = en exp 1 k b T e Par linéarisation, on obtient la solutions est du type (19) ɛ 0 d 2 φ dx 2 = n e 2 k b T e φ (20) λ D est la longueur de φ = φ 0 exp( x /λ D ) (21) λ D = ( ) 1/2 ɛ0 KT e ne 2 (22) p-17/21

18 Ecrantage de : interprétation Si une charge est plus loin que λ d, elle ne voit pas le potentiel φ 0 Lorsque la densité augmente λ D diminue Lorsque la température augmente, λ D augmente: sans agitation thermique, toutes les charges viennent sur le potentiel La longueur d onde de permet de parler de quasi-neutralité pour un plasma. Si la taille du plasma, L, est telle que L >> λ D, on voit que le plasma sera globalement neutre Conditions de validité: Il faut que le nombre de particules dans un volume de soit >> 1: N D = 4 3 πn 0λ 3 D >> 1 4 ( ) 3/2 3 π ɛ0 KT e ne 2 n 0 >> 1 (23) ( ) 3/2 d >> 1 d >> r 0 (24) r 0 Dans un plasma cinétique p-18/21

19 Oscillations dans les plasmas: fréquence plasma Si les e sont déplacés par rapport aux ions considérés comme fixes, il y a apparition d un champ électrique qui tend à les ramener à l équilibre et maintenir la neutralité Les e étant légers, ils se mettent à osciller avec une fréquence charactéristique dite fréquence plasma ω p Ces oscillations sont suffisement rapides pour que les ions n aient pas le temps de réagir En considérant les ions fixes, la température électronique nulle et en l absence de champs magnétique, le système à résoudre est: dv mn e e dt = en e E eq. du mouvement ɛ 0.E = ɛ 0 E/ x = e(n i n e ) eq. de poisson (25) n e t +.(n e v e ) = 0 eq. de continuité p-19/21

20 Oscillations dans les plasmas: fréquence plasma II On suppose de petites perturbations n e = n 0 + n 1, v e = v 0 + v 1 et E = E 0 + E 1 Comme le plasma est quasi-neutre et à l équilibre avant la perturbation n 0 = v 0 = E 0 = 0; Le système devient alors n 0 dt = v 0 t m e v 1 t = ee 1 ɛ 0 E 1 = en 1 n 1 t + n 0.v 1 = 0 Les solutions du type n 1 = n 1 e i(kx wt) satisfont = E 0 t = 0 (26) (27) 2 n 1 t ( n 2 n0 e 2 ) 1/2 1 = 0 avec ω p = (28) ɛ 0 m e p-20/21

21 utilisées pour les plasmas Une description particulaire (incomplète): équation du mouvement... Théorie cinétique: équation de Boltzman. Particulièrement utilisée pour déterminer les coefficients de transport Théorie fluide: le plasma est considéré comme un ou deux fluides (e+ions). Permet de déterminer un ensemble de données macroscopiques comme la pression, la température,... Ces descriptions sont équivalentes et complémentaires p-21/21