Chapitre 4 : Proportionnalité

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1 Chapitre 4 : Proportionnalité La proportionnalité est utilisée lorsqu on a des proportions (recettes de gâteau, mélange pour béton, ) ) Calcul dans un tableau de proportionnalité : Exemple : Si on a une recette de gâteau pour 4 personnes mais qu on est 8 à table, on multiplie toutes les proportions par 2. oeufs lait sucre farine Pour 4 personnes Pour 8 personnes C est un tableau de proportionnalité : les termes de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de la première ligne par un même nombre. Ici c est 2. Ce nombre (ici c est 2) est appelé le coefficient de proportionnalité. Pour calculer ce coefficient, on choisit une colonne du tableau et on divise le nombre du bas par le nombre du haut : 4 2 = = 2 On peut alors multiplier ou diviser par ce coefficient pour calculer un nombre qui manque dans le tableau. Autre méthode : dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : 2 0 = 4 5 donc 0 = 4 x 5 2 C est la même chose pour tous les nombres du tableau. Pour calculer un nombre qui manque dans un tableau de proportionnalité, on multiplie les deux nombres en diagonale et on divise par le troisième nombre. (on n a pas besoin de calculer le coefficient de proportionnalité avec cette méthode). Remarque : on peut aussi additionner des colonnes, multiplier une colonne par un même nombre,

2 2) Représentation graphique : On reprend le tableau précédent en notant x la ligne du haut et y la ligne du bas : x y On fait un graphique en prenant pour coordonnées de chaque point une colonne du tableau. Le nombre du haut du tableau est l abscisse (droite horizontale), le nombre du bas du tableau est l ordonnée (droite verticale). On a donc ici les points A(2 ;4) B(5 ;0) C(;2) et D(3;6) On place ces points dans un repère formé par deux droites graduées. On note les graduations (0,, 2, 3, ) et les flèches sur les droites avec x et y. y (quantité pour 8 personnes) 0 B D 5 4 A 3 2 C 0 O x (quantités pour 4 personnes) Tous les points sont alignés avec l origine O et on trace la droite (on la prolonge au-delà des points). Lorsqu il y a proportionnalité, on obtient toujours une droite qui passe par O. (Il suffit donc de construire un seul point pour la tracer). Lorsque les points ne sont pas alignés ou que la droite ne passe pas par O, il n y a pas proportionnalité.

3 3) Calculer a% d un nombre : Pour calculer «a % d un nombre», on multiplie a par ce nombre. Exemple : Pour calculer 50 % de 40 Litres, on multiplie = 20 donc 50 % de 40 Litres est égal à 20 Litres. par 40. Autre méthode : on peut aussi compléter un tableau de proportionnalité avec le nombre total correspondant à : Pour calculer 50% de 40 Litres, on complète le tableau 50? 40 Et on retrouve = 20 Litres Remarque : Pour une augmentation, on ajoute le nombre de départ et le nombre calculé, pour une diminution, on fait une soustraction. 4) Calculer un pourcentage : Pour calculer un pourcentage, on divise le nombre par le total et on multiplie par. Exemple : 6 élèves d une classe de 24 sont externes. Pour calculer le pourcentage d élèves externes on écrit 6 = 25 donc il y a 25 % d externes dans cette classe. 24 Autre méthode : on complète un tableau de proportionnalité en plaçant le total 24 à côté de : 6? et on retrouve = 25 donc 25 %.

4 5) Échelles : Les distances sur un plan sont proportionnelles aux distances réelles. On appelle échelle la fraction avec le coefficient de coefficient proportionnalité qui permet de passer des distances sur le plan aux distances réelles (les distances étant exprimées dans la MEME UNITE). Exemple : sur une carte on peut lire : «réduction à l échelle». Cela veut dire que toutes les dimensions ont été divisées par, c est-à-dire que cm sur la carte représente cm ( mètre) dans la réalité. Dans le tableau de proportionnalité, les deux lignes doivent être dans la même unité si on veut lire directement l échelle : Distance sur le plan en cm 2 4 0,5 Distance réelle en cm même unité Remarque : Tous les problèmes de proportionnalité peuvent se résoudre avec un tableau. La réponse à la question est le nombre manquant du tableau. On rajoute l unité si besoin. Rappel : mètre = cm et km = 0 mètres donc km = 000 cm.

5 Annexe : extrait du programme officiel :. Utilisation de la proportionnalité Quatrième proportionnelle. - Déterminer une quatrième proportionnelle. Aux diverses procédures déjà étudiées s ajoute le «produit en croix» qui doit être justifié. Calculs faisant intervenir des pourcentages. - Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d un groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus. Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent de mettre en oeuvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. Dans le cadre du socle commun, utiliser l échelle d une carte pour calculer une distance, calculer un pourcentage deviennent exigibles..2. Proportionnalité * Représentations graphiques. -* Utiliser dans le plan muni d un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l alignement de points avec l origine Cette propriété caractéristique de la proportionnalité prépare l association, en classe de troisième, de la proportionnalité à la fonction linéaire.