Divisibilité et congruences dans Z.

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1 Chapitre 1 Divisibilité et congruences dans Z. I Résolution d un problème, les code-barres. Faire l activité 3 page 15. Avec la calculatrice : votre calculatrice a une fonction qui permet de calculer un reste de division. C est la fonction remainder. Cette fonction se trouve dans Maths NUM 0 :. 1. Vérifier que la clé de contrôle de ce code-barre est correct. 2. Quel est le nombre de la clé de contrôle de ce code à barre? 3. Retrouver le nombre manquant dans le code à barre suivant : 5

2 6 CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES DANSZ. II Rappels et prérequis. 1 Division euclidienne de deux entiers naturels. On peut effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers naturels. Prenons par exemple la division euclidienne de 38 par 5 : 38 = Dans cette égalité : 38 est le dividende ; 5 est le diviseur ; 7 est le quotient ; 3 est le reste. En quoi cette égalité diffère-t-elle de l égalité 38 = ? Avec la calculatrice : le reste est donné par remainder, pour obtenir le quotient, il suffit d utiliser la partie entière de la division décimale. Par exemple, 38/5=7.6, le quotient est 7. 2 Diviseurs et multiples dans l ensemblendes nombres entiers naturels. Définition Quand le reste de la division de a par b est nul, on dit que b divise a. On peut aussi dire que a est un multiple deb. Les nombres 12, 18, 36 sont des multiples de 6. L ensemble des nombres entiers naturels multiples de 6 est : On dit aussi que 6 est un diviseur de 18 si on veut. La division euclidienne de 18 par6s écrit18 = 3 6 puisque le reste est nul. Si b divise a (ou si a est un multiple de b, la division euclidienne s écrit a = q b. C est cette approche que nous utiliserons souvent par la suite. Critères de divisibilité.

3 III. DIVISEURS ET MULTIPLES DANSZ. 7 Les nombres divisibles par 2 : Les nombres divisibles par 3 : Les nombres divisibles par 5 : Les nombres divisibles par 9 : III Diviseurs et multiples dans Z. Définition L ensemble Z des nombres relatifs est l ensemble { 3, 2, 1,0,1,2,3, }. 1 Divisibilité dansz. Définition a etbsont des nombres entiers. Si il existe un nombre entier (relatif)k tel que a = b k, on dit que a est un multiple debou que b est un diviseur dea. On dit aussi que b divise a. -18 est un multiple de 6 puisque 18 = 6 ( 3) ; Sik est un nombre entier quelconque, les nombres de la forme m = 7 est un multiple de 7. L ensemble des multiples de 7 danszest D une manière générale, si a est un nombre entier, l ensemble { 3a, 2a, a,0,a,2a,3a, } = {k a,k Z} est l ensemble des multiples dea. Si n est un nombre entier quelconque, comme n (n+3) = n 2 +3n, on peut dire que n est un diviseur den 2 +3n, ou que n 2 +3n est un multiple den. Quels sont les nombres entiers relatifs qui divisent tous les autres?

4 8 CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES DANSZ. Quel nombre entier relatif est divisible par tous les autres entiers? Exercice Comment écrire qu un nombre entier a est pair à l aide de la définition de divisibilité? Et impair? Les nombres entiers pairs : Les nombres entiers impairs : 2. De même, (a) Comment écrire qu un nombre entier est un multiple de 3? Les nombres entiers multiples de 3 : (b) Comment s écrivent les nombres entiers qui ne sont pas multiple de 3? Les nombres entiers qui ne sont pas multiples de 3 : (c) Au total, tous les nombres entiers s écrivent sous une des formes suivantes :

5 III. DIVISEURS ET MULTIPLES DANSZ On peut faire de même avec 4, 5 etc Exercice 2. Écrire un algorithme qui indique si un nombre A est divisible par un nombreb (B 0). L algorithme Le programme pour Texas Instrument Propriété Siaest un multiple de b non nul, alors b a. En effet : Preuve: Comme a est un multiple de b, il existectel que a = b c. Ainsi : a = b c Comme a n est pas nul, c non plus n est pas nul et, comme c est un entier relatif, il est inférieur ou égal à -1 ou bien plus supérieur ou égal à 1. De toute façon, c 1 et a b. Ceci indique que, en valeur absolue, les deux plus petits multiples non nuls d un entier b sont b et b. En d autres termes, le seul multiple de b strictement plus petit que b en valeur absolue est 0. 2 Les cas simples de divisibilité. a. Le cas de 0. Il est identique à la situation rencontrée dans N. Tous les nombres entiers divisent 0, en effet, pour tout n Z,0 = 0 n. Par contre, 0 ne divise aucun entier relatif non nul : si a 0, il n existe aucun entier n tel que a = 0 n. b. Le cas de 1 et de et -1 sont les seuls nombres entiers qui ont exactement 2 diviseurs : 1 et -1. En effet : 1 = 1 1 et 1 = 1 ( 1), 1 = 1 1 ; comme 1 et -1 ne sont pas nuls, 0 n est pas un de leur diviseur ; les diviseurs de 1 et de -1 sont, en valeur absolue, inférieurs ou égaux à 1. Reste donc seulement 1 et -1. c. Les entiers différents de -1, 0 et 1. Si a est un nombre entier différent de 1, 1 et 0, alors a = 1 a et a = 1 ( a). On voit que a possède au moins quatre diviseurs.

6 10 CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES DANSZ. Exercices sur le livre : du n 1 au n 4 page 33. Exercice résolu sur le livre : l algorithme proposé. exercice 9 page 24. Attention, le programme de la calculatrice ne correspond pas à Exercice 3. Modifier l algorithme précédent, le programme, pour qu il affiche le nombre de diviseurs de N, la somme des diviseurs de N. exercice n 9 page 33, questions 1 et 2. exercice n 12 page 34. Vous pouvez utiliser les suites de votre calculatrice au lieu du tableur d un ordinateur. exercice n 14 page 34. Vous pouvez expérimenter avec votre calculatrice, 3 Propriété de la relation de divisibilité. Propriété Sicdivise b et si b divise a, alors c divisea. Preuve: Si b divise a, il existe un nombre entier n tel que a =. Et de même c divise b, il existe un nombre entier m tel que b =. Ainsi, a = etcdivise biena. exercice n 23 page 35 ; algorithmique exercice n 47 page 37. Propriété Siddivise a etb, alors, quels que soient les nombres entiers u etv, d divise a u+b v. Définition L expressiona u+b v est appelée combinaison linéaire deaet deb. La précédente propriété indique que :

7 IV. DIVISION EUCLIDIENNE DANS Z. 11 si d est un diviseur commun àaet b, il divise toutes les combinaisons linéaires deaet deb. On peut appliquer la propriété précédente à différentes valeurs deuet dev. Si on prendv = 0, on obtient : Si d divise a, pour tout entier u,ddivisea u. Comme a divisec = a u, on reconnaît la précédente propriété. Si on prendu = v = 1, on obtient : Si on prendu = 1 et v = 1, on obtient : lire l exercice résolu n 3 page 19 ; faire l exercice n 28 page 36. Si d diviseaet b, alors d divisea+b Si d diviseaet b, alors d divisea b a etbsont des nombres entiers. Si il existe deux entiersu etv tels queau+bv = 1, alors les seuls diviseurs communs deaetbsont 1 et -1. Définition a et b sont des nombres entiers. Si leurs seuls diviseurs communs sont 1 et -1, on dit que a et b sont premiers entre eux. exercice n 30 page 36. exercice n 34 page 36. exercice n 35 page 36. exercice résolue n 5 page 21 puis exercice n 46 page 37. IV Division euclidienne dans Z. 1 Existence et unicité de la division euclidienne. Théorème a est un nombre entier relatif. b est un nombre entier naturel non nul Il existe un unique couple de nombres (q; r) tel que : a = b q +r, 0 r < b Preuve: L unicité. Supposons qu il existe deux couples (q 1 ;r 1 ) et (q 2 ;r 2 ) tel que : { a = b q1 +r 1 0 r 1 < b a = b q 2 +r 2 0 r 2 < b Alors :