Exercice n o 4. Si a + b = 2 et a 2 + b 2 = 2, combien vaut a 3 + b 3? Et a 4 + b 4?

Transcription

1 Exercice n o 1 Pour un nombre donné, on peut compter le nombre de palindromes différents que l on peut lire dans son écriture décimale. Par exemple dans le nombre , on peut extraire cinq palindromes : 1, 2, 3, 11 et 121. Combien un nombre de 2015 chiffres contient-il de palindromes au maximum?

2 Exercice n o 2 On colorie tous les points du plan en rouge ou noir. Montrer qu il existe deux points de la même couleur distants de 1 mètre exactement.

3 Exercice n o 3 Vingt-deux arbres sont disposés en rond. Sur chaque arbre se pose un corbeau. À chaque minute, deux corbeaux s envolent de leurs arbres et se posent sur un arbre voisin. Est-il possible qu après un certain temps, tous les corbeaux soient sur le même arbre?

4 Exercice n o 4 Si a + b = 2 et a 2 + b 2 = 2, combien vaut a 3 + b 3? Et a 4 + b 4?

5 Exercice n o 5 Trois cercles C 1, C 2 et C 3 sont disposés comme ci-dessous. On trace la corde commune de C 1 et C 2, puis la corde commune de C 1 et C 3, ainsi que celle de C 2 et C 3. Montrer que ces trois cordes se coupent en un même point.

6 Exercice n o 6 De combien de façons différentes peut-on recouvrir un rectangle 2 10 avec des dominos 1 2?

7 Exercice n o 7 Soit n 1 un nombre entier. Montrer que 2 n possède un multiple de n chiffres composé uniquement de 1 et de 2.

8 Exercice n o 8 On place 6 points sur la circonférence d un disque et on trace toutes les cordes qui les relient deux à deux. En combien de régions le disque est-il découpé au maximum?

9 Exercice n o 9 Soit f : R R, une fonction continue telle que pour tout x, on a f(2x) = f(x) + f(x). Montrer que f s écrit sous la forme f(x) = ax.

10 Exercice n o 10 Soit un graphe planaire tel que de chaque sommet part un nombre pair d arêtes. Montrer que l on peut toujours colorier les faces de ce graphe de deux couleurs de façon à ce que deux faces voisines (qui ont une arête commune) ne soient pas de la même couleur.

11 Exercice n o 11 On dit qu une figure géométrique pave le plan s il est possible de recouvrir le plan avec des copies de cette figure sans trous, ni superpositions. Quels sont tous les quadrilatères convexes qui pavent le plan?

12 Exercice n o 12 On place n points répartis uniformément sur un cercle et numérotés de 1 à n. Une sauterelle part du point n o 1 et saute de k en k points. Si par exemple n = 5 et k = 2, son parcours sera : 1, 3, 5, 2, 4, 1. À quelle condition sur n et k la sauterelle passera-t-elle par tous les points avant de revenir à son point de départ?

13 Exercice n o 13 Au premier jour, il y a 1 nénuphar sur une mare. Le deuxième jour, il y en a 2, le troisième jour il y en a 4 et ainsi de suite. Chaque jour le nombre de nénuphars est multiplié par 2. Au dixième jour, la moitié de la mare est occupée par les nénuphars. Quel jour la marre sera-t-elle remplie?

14 Exercice n o 14 On colorie tous les points du plan en jaune ou bleu. Montrer qu il existe un rectangle dont les quatre sommets sont de la même couleur.

15 Exercice n o 15 Soit a un nombre réel tel que a + 1/a est un nombre entier. Montrer que pour tout n N, a n + 1/a n est un nombre entier.

16 Exercice n o 16 Quelle est la 1001ème décimale du nombre 1/1001?

17 Exercice n o 17 Montrer que le nombre 2015 possède un multiple qui n est composé que de 5.

18 Exercice n o 18 On place 5 points sur une grille. Montrer que l on peut en trouver deux dont le milieu est également un point de la grille.

19 Exercice n o 19 Peut-on recouvrir un carré par des dominos 1 2 placés horizontalement et des rectangles 1 3 placés verticalement?

20 Exercice n o 20 Soit a un entier strictement supérieur à 1 et b le nombre obtenu en écrivant a deux fois à la suite (si a = 123 alors b = ; bien sûr, a ne commence pas par 0). Donner toutes les valeurs entières que peut prendre b/a 2.

21 Exercice n o 21 La suite de Fibonacci est définie par F 0 = F 1 = 1 et F n+1 = F n + F n 1. Montrer qu il existe un terme de la suite de Fibonacci qui est multiple de 2015.

22 Exercice n o 22 Un segment de longueur 1 est divisé en 11 segments de longueurs inférieures ou égales à un certain nombre a. Pour quelles valeurs de a peut-on affirmer avec certitude que n importe quel triplet de sous-segments permet de former un triangle?

23 Exercice n o 23 On colorie toutes les arêtes d un graphe complet à 6 sommets en rouge ou en vert. Montrer qu il existe soit un triangle rouge, soit un triangle vert.

24 Exercice n o 24 On écrit un nombre à chaque sommet d un cube. On fait une opération qui consiste à remplacer chacun de ces nombres par la moyenne arithmétique de ses trois voisins juste avant. En répétant cette opération 10 fois de suite on découvre que les nombres écrits aux sommets sont les mêmes qu au départ. Est-ce que cela implique que les nombres de départ étaient obligatoirement égaux?

25 Exercice n o 25 Dans un carré ABCD, M et N sont les milieux des côtés [BC] et [AD] respectivement. Sur la droite (AC), hors du segment [AC] et du côté de A, on choisit un point K. Le segment [KM] intersecte le côté [AB] en un point L. Montrer que les angles KNA et LNA sont égaux.

26 Exercice n o 26 Dans une grande ville, toutes les rues sont dans l une ou l autre de deux directions perpendiculaires. Pendant un déplacement dans cette ville, une voiture tourne 100 fois à gauche. Combien de fois a-t-elle tourné à droite, sachant qu elle n est jamais passée deux fois au même endroit et est revenue à son point de départ?

27 Exercice n o 27 Un carré est découpé en n polygones égaux non convexes. Tous les côtés de tous les polygones sont parallèles aux côtés du carré. On sait que deux polygones du découpage ne peuvent jamais être superposés par une translation. Quelle est la plus grande valeur possible de n?

28 Exercice n o 28 Soit x un nombre réel. Montrer qu il existe une infinité de fractions p/q telles que x p q < 1 q 2.

29 Exercice n o 29 Au premier jour d un congrès, n scientifiques se serrent la main. Montrer qu à n importe quel moment, le nombre de scientifiques ayant serré un nombre impair de mains est pair.

30 Exercice n o 30 À Mathland, deux villes sont toujours reliées soit par une voie aérienne, soit par un canal navigable (dans les deux sens). Montrer qu il est possible de choisir un moyen de transport, tel que, en partant de n importe quelle ville, on puisse atteindre n importe quelle autre ville uniquement à l aide de ce moyen de transport.

31 Exercice n o 31 Soit E un ensemble de points du plan tel que tout point de E est le milieu d un segment dont les extrémités sont dans E. L ensemble E peut-il être fini?

32 Exercice n o 32 À l intérieur d une grande carte de France, on dessine une plus petite carte de France. Montrer qu il existe un point de France qui se trouve au même endroit sur les deux cartes.

33 Exercice n o 33 Anne, Boris et Cyril sont assis autour d une table et mangent des noix. Au départ c est Anne qui a toutes les noix. Elle les divise en deux parties égales entre Boris et Cyril, puis, s il lui reste une noix, elle la mange. Ensuite le même procédé se répète en rond (disons, dans le sens des aiguilles d une montre). Chacun des trois partage successivement ses noix en deux parties égales entre ses voisins, puis, s il lui reste une noix, il la mange. Au départ il y avait au moins 4 noix. Peut-on être sûr qu au moins une noix sera mangée? Toutes les noix seront-elles mangées?

34 Exercice n o 34 Soit n 3 un entier. On considère un ensemble de n droites dans le plan tel que deux quelconques ne soient pas parallèles. On suppose que par l intersection de deux quelconques de ces droites passe une autre droite de l ensemble. Prouver que toutes les droites sont concourantes.

35 Exercice n o 35 De combien de manières peut-on placer 5 pièces identiques dans 3 poches différentes?