Réflexion et transmission par un système plan

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1 Electromagnétisme, TD n 7, corrigé Réflexion et transmission par un système plan Système à deux interfaces Calcul de ρ et τ. Traitement antireflet Champ incident : E0 ey exp[ i(kz + ωt)], k = ω/c = 2π/λ. a) Résolution de l équation de Helmholtz Le champ Ei dans le milieu i (i = 1, 2 ou 3) vérifie Ei + n2i ω2 Ei = 0, c2 avec = 2 / z 2 car les champs ne dépendent que de z. Dans chaque milieu, la solution générale est de la forme [on omet la dépendance temporelle en exp( iωt)] : Ei = E0 ey [ai exp( ini kz) + bi exp(ini kz)]. Il y a six coefficients (ai, bi ) à déterminer, il faut donc six conditions aux limites (CL). On a deux CL à l infini : champ incident connu dans le milieu 1 : a1 = 1 pas de champ venant de z = dans le milieu 3 : b3 = 0. 1

2 Par définition de ρ et τ, on a b 1 = ρ et a 3 = τ, donc les champs dans les différents milieux s écrivent : E 1 = E 0 e y [exp( ikz) + ρ exp(ikz)] exp( iωt) E 2 = E 0 e y [a exp( in kz) + b exp(in kz)] exp( iωt) E 3 = τ E 0 e y exp( inkz) exp( iωt) (1) Il reste à écrire quatre CL, qui s obtiennent en écrivant la continuité de E tg et H tg (ou B tg car les milieux sont non magnétiques) aux interfaces z = 0 et z = d. Le champ électrique étant polarisé selon e y, on a E i = E i e y et écrire la continuité de E tg revient à écrire directement celle de E i. En ce qui concerne B tg, on a pour chaque milieu rote i = iωb i, et E i = E i (z)e y, d où finalement de i dz e x = iωb i. Ecrire la continuité de B tg revient donc à écrire la continuité de de i dz. En écrivant les relations de continuité à partir des expressions (??), on obtient : 1 + ρ = a + b a exp(in kd) + b exp( in kd) = τ exp(inkd) 1 + ρ = n a + n b n a exp(in kd) + n b exp( in kd) = nτ exp(inkd) (2) La résolution du système linéaire (??) conduit aux expressions suivantes des facteurs de réflexion et de transmission : ρ = r 12 + r 23 exp(2in kd) 1 r 21 r 23 exp(2in kd) avec r ij = (n i n j )/(n i + n j ) (facteur de réflexion à l interface i j en incidence normale). t 12 t 23 exp(in kd) 1 r 21 r 23 exp(2in kd) exp( inkd) avec t ij = 2n i /(n i + n j ) (facteur de transmission à l interface i j en incidence normale). b) Couche antireflet Le facteur de réflexion ρ s annule pour r 12 = r 23 exp(2in kd). Deux cas sont envisageables : 1er cas : exp(2in kd) = 1 et r 12 = r 23. La deuxième condition conduit à n = 1 et le système étudié est alors une lame d indice n entourée de vide ou d air. Ce cas n est pas intéressant du point de vue de la couche antireflet! 2e cas : exp(2in kd) = 1 et r 12 = r 23. La deuxième condition conduit à n = n, et la première condition implique d = (2p + 1)λ/(4n ), où p est un entier. Dans le cas p = 0, on a donc montré que l on pouvait annuler la réflexion sur le substrat d indice n en déposant à sa surface une couche d une matériau d indice n = n et d épaisseur d = λ/(4n ). Remarquons que cet antireflet n est parfait qu en incidence normale, et pour la longueur d onde λ. 2

3 c) Calcul en termes de rayons lumineux Le champ réfléchi s obtient en sommant les contributions des rayons ayant subi des réflexions multiples aux interfaces 2-3 et 2-1, sachant qu un aller-retour dans la couche correspond à un déphasage de φ = 2n kd. On obtient donc directement : ρ = r 12 + t 12 t 21 r 23 exp(iφ) + t 12 t 21 r 2 23r 21 exp(2iφ) +... = r 12 + t 12 t 21 r 23 exp(iφ)[1 + r 23 r 21 exp(iφ) + r 2 23r 2 21 exp(2iφ) +...] Le terme entre crochets est une série géométrique de raison q = r 23 r 21 exp(iφ), vérifiant q < 1, et dont la somme vaut 1/(1 q). On obtient donc finalement : ρ = r 12 + (r t 12t 21 )r 23 exp(iφ) 1 r 21 r 23 exp(iφ). En remarquant que r t 12t 21 = 1, on retrouve bien le résultat du a). Le même travail peut être fait pour calculer le facteur de transmission τ. 1.2 Réflexion totale frustrée a) Le champ incident dans le verre s écrit : E inc = E 0 e y exp(iαx iγ 1 z iωt) avec α = n k sin θ i et γ 1 = (n 2 k 2 α 2 ) 1/2, Re(γ 1 ) > 0 et Im(γ 1 ) > 0. Dans le cas d une onde propagative dans le verre, on a bien sûr γ 1 = n k cos θ i. 3

4 Le champ transmis dans le vide (milieu 2) s écrit : E 2 = t E 0 e y exp(iαx iγ 2 z iωt) avec γ 2 = (k 2 α 2 ) 1/2, Re(γ 2 ) > 0 et Im(γ 2 ) > 0. Le facteur de transmission de Fresnel en incidence oblique vaut t = 2γ 1 /(γ 1 + γ 2 ). Dans le cas où n = 1.5 et θ i = 45 o, on a n 2 sin 2 θ i > 1 de sorte que γ 2 est imaginaire pur, et s écrit γ 2 = ik n 2 sin 2 θ i 1 = iim(γ 2 ). Le champ dans le milieu 2 est alors de la forme : E 2 = t E 0 e y exp(iαx iωt) exp[im(γ 2 )z], z < 0. Le champ transmis décroît exponentiellement dans la direction z : c est une onde évanescente. Le facteur de réflexion à l interface verre-vide vaut r = (γ 1 γ 2 )/(γ 1 + γ 2 ). Dans le cas considéré ici, γ 1 est réel et γ 2 est imaginaire pur, de sorte que r = 1. C est le phénomène de réflexion totale. Toute l énergie de l onde incidente est réfléchie dans le verre. Cependant, le champ transmis dans le vide n est pas nul, mais décroît exponentiellement. b) Le facteur de transmission τ du système s obtient en généralisant le résultat du 1.1.a) au cas de l incidence oblique. En introduisant les composantes selon Oz des vecteurs d ondes γ 1, γ 2 et γ 3 = γ 1 dans chacun des trois milieux, on obtient : t 12 t 23 exp(iγ 2 d) 1 r 21 r 23 exp(2iγ 2 d) exp( iγ 3d) Si θ i = 45 o, on a γ 2 = iim(γ 2 ) et r 21 = r 23 = exp(iφ) (facteurs de réflexion égaux à 1 en module). Le facteur de transmission du système s écrit dans ce cas : c) Lorsque d croît, on a en particulier : t 12 t 23 exp[ Im(γ 2 )d] 1 exp(2iφ) exp[ 2Im(γ 2 )d] τ t 12 t 23 exp[ Im(γ 2 )d]. exp( iγ 3 d). Il y a donc un champ transmis dans le milieu inférieur (verre), dont le vecteur d onde γ 3 selon z est réel (il s agit d une onde propagative), et dont l amplitude décroît très rapidement avec 4

5 l épaisseur d. Une partie de l énergie incidente dans le milieu supérieur est transmise : la réflexion à la première interface verre-vide n est plus totale. On parle de réflexion totale frustrée. Vous pouvez observer cet effet en portant un verre rempli d eau à votre bouche pour y boire. En regardant votre pouce sous le verre, vous voyez vos empreintes digitales apparaître avec un éclat brillant du fait de la réflexion totale à l interface verre-air. En revanche, là où la peau est en contact avec le verre, il y a réflexion totale frustrée. Si le verre est rempli d eau très froide, il y a condensation sur la face externe du verre. L eau condensée remplit les creux entre la peau et le verre, la réflexion totale disparait et les empreintes ne sont plus visibles. Le phénomène de réflexion totale frustrée est l analogue optique de l effet tunnel (on parle d ailleurs d effet tunnel optique). La barrière tunnel est ici la lame d air d épaisseur d. Historiquement, la réflexion totale frustrée (et donc l effet tunnel!) était déjà connue de Newton. Fondamentalement, il y a plus qu une analogie : l effet tunnel est un effet purement ondulatoire. C est vraiment le même phénomène que l on retrouve en optique et en mécanique quantique, cette dernière utilisant une description ondulatoire de la matière. 5