Module #2 Contraintes & Déformations

Transcription

1 Module #2 Contraintes & Déformations (CIV Résistance des matériaux) Enseignant: James-A. Goulet Département des génies civil, géologique et des mines Sections R. Craig (2011) P. Léger (2006) Mechanics of Materials, 3rd Edition Notes de cours: Chapitre 2 Déformations John Wiley & Sons.. 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 1 / 63

2 Définition contrainte normale Contrainte moyenne normale, σ σ = F A = force normale (i.e. perpendiculaire) à la surface surface sur laquelle elle agit Unités: Pascal: Pa = N/m 2 Mégapascal: MPa = N/mm 2 = 10 6 N/m Pa = 1 lb/in 2 = 1 psi Signes: + (tension), - (compression) + 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 4 / 63

3 Contraintes v.s. contraintes moyennes Contrainte moyenne normale Contrainte moyenne normale: égale pour toutes les sections 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 5 / 63

4 Exemple contraintes normales Contraintes normales - exemple Soit une barre ayant une section de 35mm par 10mm tel que 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 6 / 63

5 Exemple contraintes normales Contraintes normales - exemple (cont.) La charge maximale se trouve sur la section BC; F = 30 kn σ = F A = N mm 2 = 85.7MPa + 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 7 / 63

6 Définition Déformations axiales Déformations axiales - ɛ Définition: ɛ = longueur finale longueur initiale longueur initiale = L L L = L L Unités: m/m, mm/mm, in/in, (microdéformation µɛ = 10 6 ɛ) Signe: + Allongement - rétrécissement + 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 63

7 Déformations thermiques 1D Déformations thermiques - 1D Définition: ɛ T = α (T finale T initiale ) = α T Unités (α): mm/mm/ o C = / o C Coefficient d expansion thermique (réf. Annexe F-4): Acier: α = / o C Aluminium: α = 21 à / o C Béton: α = / o C 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 10 / 63

8 Déformations thermiques 1D Déformations thermiques 1D exemple cas iso. Calculer ɛ T, δ T et σ T 3 m T initiale = 20 o C T finale = 10 o C α = / o C Déformation: ɛ T = α (T finale T initiale ) = α T = / o C 10 o C = Déplacement: δ T = ɛ T L = mm = 0.36 mm Contrainte: σ T = 0? Module 3 structures hyperstatiques 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 11 / 63

9 Déformations thermiques 3D Déformations thermiques - 3D L xt = (α T )L x L yt = (α T )L y L zt = (α T )L z 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 12 / 63

10 Relation entre contraintes (σ) et déformations (ɛ) Diagrammes contraintes-déformations, σ = f (ɛ) Contraintes: Effet des forces internes sur le matériau Déformations: Effet des déplacements internes sur le matériau La relation entre les contraintes et les déformations est décrite par le diagramme contrainte-déformation d un matériau 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 14 / 63

11 Relation entre contraintes (σ) et déformations (ɛ) Essais en laboratoires σ ɛ Le diagramme contrainte-déformation est obtenu en laboratoire L 0 : Longueur initiale A 0 : Aire initiale L = L L 0 σ = F A 0 ɛ = L L 0 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 15 / 63

12 Matériau Acier Diagramme contraintes-déformations Acier σ PL : Limite de proportionnalité (σ YP ) l : Limite élastique (σ y, f y ) (σ YP ) u : Limite élastique supérieure σ U : Contrainte ultime σ F : Contrainte de rupture σ Ft : Contrainte de rupture réelle Module élastique/de Young Yielding : Hardening : Necking : plastification écrouissage amincissement E = σ ɛ, σ < σ PL (E: propriété intrinsèque) 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 16 / 63

13 Matériau Acier Diagrammes contraintes-déformations Essai de traction (Acier) Essai de compression (béton) 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 17 / 63

14 Matériau Acier Limite élastique - Béton et aluminium 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 18 / 63

15 Matériau Béton Diagrammes contraintes-déformations Béton (26) (MPa) (21) (14) (6.89) 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 19 / 63

16 Matériau élasticité Élasticité Comportement élastique (non linéaire) Comportement élastoplastique 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 20 / 63

17 Matériau élasticité Élasticité - Modèle courant Comportement élastique, parfaitement plastique Acier courant E = MPa=200 GPa σ y = (300, 350) MPa ɛ y Même comportement en traction et en compression 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 21 / 63

18 Matériau élasticité Rigidité & Élasticité k: Coeff. de rigidité [kn/m] F = kδ E: Module élastique [MPa] σ = ɛe σ = F A = ɛe 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 22 / 63

19 Matériau élasticité Rigidité & Élasticité exemple F = kδ mg = kδ k = mg δ σ = F A ɛ = δ L σ = ɛe E = σ ɛ 13.8 kg 9.81 m/s2 = 1 mm = π = 20 N mm mm = = mm = 135 N/mm = 20MPa 20 MPa = = MPa Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 23 / 63

20 Élasticité linéaire loi de Hooke Loi de Hooke σ = ɛe Matériaux E[MPa] Aluminium Béton (compression) Acier Bois (anisotrope) La relation entre la contrainte et la déformation est quasi-linéaire pour le domaine élastique des matériaux du génie civil 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 25 / 63

21 Élasticité linéaire coefficient de Poisson Coefficient de poisson Déformation longitudinale σ x = ɛ x E ɛ x = σ x E ν: Coefficient de Poisson ɛ transv. = νɛ long. Déformations transversales ɛ y = ɛ z = νɛ x = ν σ x E 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 26 / 63

22 Élasticité linéaire coefficient de Poisson Coefficient de poisson - Exemple δ transv. = mm δ long. = 0.5 mm E =?, ν =? 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 27 / 63

23 Élasticité linéaire coefficient de Poisson Coefficient de poisson - Exemple δ transv. = mm δ long. = 0.5 mm 875 N σ = F A = = 3.5 MPa mm 2 ɛ long. = L L E = σ ɛ = = 0.5 mm 200 mm = mm/mm = 1400 MPa 3.5 MPa mm/mm ɛ transv. = largeur largeur ν = ɛtransv. ɛ long. = = mm = 25 mm = mm σ = ɛe, ν = ɛ transv. ɛ long. 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 28 / 63

24 Intro σ & To σ = f ( ) Hooke&Poisson Cisaillement Hooke-3D St-Venant Dimensionnement Re sume E lasticite line aire coefficient de Poisson Coefficient de poisson - Valeurs typiques 0 Matériaux artificiels (auxétique) Matériaux communs 2 Contraintes & De formations V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 29 / 63

25 Contraintes de cisaillement Contraintes de cisaillement τ : V : A S : Contrainte de cisaillement Force de cisaillement Aire effective en cisaillement τ = V A S 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 31 / 63

26 Assemblages boulonnés Cisaillement pur Assemblages boulonnés τ : V : A S : Contrainte de cisaillement Force de cisaillement Aire effective en cisaillement τ = V A S 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 32 / 63

27 Assemblages boulonnés Assemblages boulonnés exemple a) V = P A S = πd2 4 τ = 4P πd 2 Diamètre des boulons: d Calculer τ pour les assemblages (a) et (b)? b) V = P/2 A S = πd2 4 τ = 2P πd 2 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 33 / 63

28 Poinçonnement Cisaillement Poinçonnement, Loma Prieta, 1989 τ = P πd t 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 34 / 63

29 Cisaillement Cisaillement Northridge, Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 35 / 63

30 Équilibre Conditions d équilibre pour τ Cisaillement pur Fx = 0, F y = 0, M z = 0 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 36 / 63

31 Équilibre Déformation en cisaillement γ γ: Changement d angle dû aux contraintes de cisaillement (effort tranchant) γ = π ( ) 2 θ = tan 1 δs δ S L S L }{{ S } théorie des petites déformations! Angles en radians 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 37 / 63

32 Équilibre Hypothèses - petits déplacements & déformations Hypothèse: Les déplacements et déformations sont petits par rapport aux dimensions de la structure ( ) θ b = tan 1 δb δ B a a rad, pour θ b 1 rad 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 38 / 63

33 Équilibre Déformation en cisaillement γ Exemple ɛ x =?, ɛ y =?, γ xy =? 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 39 / 63

34 Équilibre Déformation en cisaillement γ Exemple ɛ x = mm 75 mm 75 mm = ɛ y = γ xy = mm 50 mm 50 mm = mm 0.03 mm mm mm = γ δ S L S 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 40 / 63

35 Module de cisaillement Loi de Hooke et module de cisaillement τ: Contrainte de cisaillement γ: Déformation de cisaillement G: Module d élasticité en cisaillement τ = Gγ Pour l acier E = MPa ν = 0.29 G = G = MPa = 78 GPa E 2(1 + ν) 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 41 / 63

36 Contraintes sur un plan incliné Contraintes plan incliné Soit σ x = P A ; Quelles sont les contraintes normales (σ n) et tangentielles (τ nt ) selon le système d axe n t? + F n = 0 : + F t = 0 : A n = N = P cos θ V = P sin θ A cos θ σ n = N A n = σ x cos 2 θ τ nt = V A n = σ x cosθ sin θ 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 42 / 63

37 Contraintes sur un plan incliné Contraintes plan incliné (cont.) { σn = (σ x /2)(1 + cos 2θ) σ x = P A τ nt = (σ x /2) sin 2θ 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 43 / 63

38 Contraintes sur un plan incliné Contraintes plan incliné exemple + Calculer σ n et τ nt d = 6 in 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 44 / 63

39 Loi de Hooke (rappel) Loi de Hooke (rappel) Déformation longitudinale σ x = ɛ x E ɛ x = σ x E Chargement unidimensionnel Déformation transversale ɛ y = ɛ z = νɛ x = ν σ x E Module de cisaillement G = E 2(1 + ν) Chargements 2D et 3D? 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 46 / 63

40 Loi de Hooke généralisé 3D État des contraintes 3D 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 47 / 63

41 Loi de Hooke généralisé 3D Tenseur de contraintes 3D Tenseur de contraintes i: Plan normal, j: Direction [σ ij ] = [σ ij ] = σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz σ xx τ xy 0 τ yx σ yy Afin de satisfaire les éq. d équilibre: τ xy = τ yx, τ xz = τ zx, τ yz = τ zy Dans plusieurs situations, l état de contraintes peut être réduit 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 48 / 63

42 Chargement 2D - contraintes planes Chargement 2D - contraintes planes Contraintes planes: σ z = τ xz = τ yz = 0 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 49 / 63

43 Chargement 2D - contraintes planes Chargement 2D - contraintes planes Contraintes planes: σ z = τ xz = τ yz = 0 ɛ x = σ x E νσ y E = 1 E (σ x νσ y ) ɛ y = 1 E (σ y νσ x ) γ xy = 1 G τ xy 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 50 / 63

44 Déformations 3D Loi de Hooke généralisée 3D - Déformations axiales ɛ x = 1 E [σ x ν(σ y + σ z )] + α T ɛ y = 1 E [σ y ν(σ x + σ z )] + α T ɛ z = 1 E [σ z ν(σ x + σ y )] + α T Note: Les contraintes de cisaillement n ont pas d effet sur les déformations axiales 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 51 / 63

45 Déformations 3D Loi de Hooke généralisée 3D - Déformations de cisaillement γ xy = 1 G τ xy γ xz = 1 G τ xz γ yz = 1 G τ yz Pas d effet de poisson pour les déformations en cisaillement Les contraintes axiales n ont pas d effet sur les déformations en cisaillement 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 52 / 63

46 Déformations 3D Loi de Hooke généralisée 3D - Contraintes σ x = σ y = σ z = E (1 + ν)(1 2ν) [(1 + ν)ɛ x + ν(ɛ y + ɛ z ) (1 + ν)(α T )] E (1 + ν)(1 2ν) [(1 + ν)ɛ y + ν(ɛ x + ɛ z ) (1 + ν)(α T )] E (1 + ν)(1 2ν) [(1 + ν)ɛ z + ν(ɛ x + ɛ y ) (1 + ν)(α T )] τ xy = Gγ xy, τ xz = Gγ xz, τ yz = Gγ yz 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 53 / 63

47 Exemple contraintes planes Chargement 2D, contraintes planes exemple t = 25 mm d = 225 mm σ x = 82.7 MPa σ z = 138 MPa E = MPa ν = 1/3 Déterminez les changements a) de diamètre AB b) de diamètre CD c) de l épaisseur t σ y = 0! ɛ y 0 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 54 / 63

48 Effet des charges concentrées Effet des charges concentrées 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 56 / 63

49 Principe de St-Venant Principe de St-Venant Pour x b la distribution des contraintes est uniforme σ = σ avg = P A, x b 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 57 / 63

50 Dimensionnement pour les efforts normaux et tranchants Dimensionnement Défaillance: charges résistance Facteur de sécurité (défaillance si FS 1, typique: 3) FS = résistance charges limite élastique Contrainte admissible = FS Note: de nos jours, les structures du génie civil ne sont plus conçues en utilisant le FS 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 59 / 63

51 Exemple treillis Dimensionnement exemple A = 500 mm 2 σ T = 300 MPa σ C = 200 MPa FS = 3 Quelle est la charge admissible P adm.? 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 60 / 63

52 Exemple treillis Dimensionnement exemple w = 2 in σ y = 36 ksi τ y = 48 ksi FS = 3 Question: a) Dimensionner l épaisseur du tirant w b) Dimensionner le diamètre de boulons au connections A et B Choisir les dimensions au 1/8in près 2 Contraintes & Déformations V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 61 / 63

53 Intro σ & To σ = f ( ) Hooke&Poisson Cisaillement Hooke-3D St-Venant Dimensionnement Re sume Re sume Module #2 De finitions : = L/L σ = F /A signes: (+)tension, (-)compression Chargements : force : = σ E, + tempe rature : = α T Mate riau : Diagramme σ Loi de Hooke & coeff. de Poisson : σx = x E, y = z = ν x Plan incline : De composition des forces 2 Contraintes & De formations V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 62 / 63

54 Intro σ & To σ = f ( ) Hooke&Poisson Cisaillement Hooke-3D St-Venant Dimensionnement Re sume Organisation de la matie re 1 Statique 2 Mate riau Chargements - E quilibre des forces et moments - Diagrammes de corps libres - 5 Diagramme des efforts, N(x), V (x), M(x) - Contraintes & de formations - Loi de Hooke, Poisson & St-Venant - 3 Efforts axiaux - 4 Torsion - 6a Flexion - 6b Cisaillement - 7 De flexion - 9 Pression & chargements combine s - 7 De flexion - 8 Contraintes 2D-3D - 10 Lois constitutives & crite res de rupture Introduction Mohr 2D (\ ) Mohr 3D (\ ) \ Mohr (\ ) Mesures de Re sume Construction du cercle de Mohr E tats limites + Cercle de Mohr + Y : y, xy = 90o C R ( n avg. ) 2 tan 2 p1 = 2 X : x, xy =0 2 + nt = R2 xy x y avg. = x+ y 2 x y 2 2 (Automne 2015) 8 Contraintes dans les poutres CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 8 / 51 2 Contraintes & De formations V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 63 / 63