La perspective centrale

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Théodore Rondeau
il y a 6 ans
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I. Introduction 1. L ombre au flambeau Au point O se trouve une source lumineuse. Elle éclaire un cube posé sur un plan horizontal. On a représenté l ombre du cube sur ce plan.

1 I. Introduction 1. L ombre au flambeau Au point O se trouve une source lumineuse. Elle éclaire un cube posé sur un plan horizontal. On a représenté l ombre du cube sur ce plan. O E L C A l e Observations : - l ombre d un segment est un segment ; - l ombre d un segment parallèle au plan horizontal est un segment parallèle ; - l ombre du milieu L de [AE] n est pas le milieu du segment image [Ae]. On dit que l ombre du cube sur le sol horizontal est l image du cube par la projection conique de centre O sur le sol 2. La fenêtre de Dürer ALBRECHT DÜRER, Un homme dessinant une femme couchée, 1538,. Schématiquement, on peut décrire ainsi le dispositif : - la position de l œil de l opérateur est fixée grâce à un œilleton ; - une «fenêtre» fixe est placée entre cet œil et l objet à représenter. - Tout point de l objet sera alors représenté par l intersection du rayon lumineux joignant ce point avec le plan de la fenêtre. Page 1/7

2 II. 1. Définition est aussi appelée perspective à points de fuites. La transformation mathématique qui la définit est appelée projection conique. On se donne un plan T et un point O (non situé dans T). Soit M un point de l espace. Si la droite (OM) coupe T, on note m le point d intersection. On appelle projection de centre O sur le plan T, la transformation de l espace qui à M associe m (quand ce point existe). Dans les modèles de perspective, T est appelé plan du tableau (c est le plan du dessin) et O est appelé point de vue (c est la position de l œil). Remarques : - Si on note N le plan parallèle à T et passant par O, les points de N n ont pas d image par cette projection. - Les points de T sont fixes. 2. Image d une droite Si D parallèle à T et non incluse dans N L image de D est une droite d parallèle à D Si D non parallèle à T et ne passe pas par O L image de D est la droite d privée du point a 0, où d est la droite d intersection du plan T et du plan défini par D et O, et où a 0 est le point d intersection de T et de la parallèle à D passant par O. a 0 est appelé point de fuite de D. Remarque : L image d une droite non parallèle à T et passant par O se réduit à un point. Page 2/7

3 3. Images de deux droites parallèles Soit D et D deux droites parallèles et non incluses dans N. a) Si D et D sont parallèles à T, les images de D et D sont deux droites d et d parallèles. b) Si D et D ne sont pas parallèles à T, alors elles ont le même point de fuite a 0. Leurs images sont donc deux droites sécantes en a 0 (mais privées de a 0 ). Propriété Dans une projection de centre O sur un plan T, l ensemble des images d une famille de droites parallèles qui ne sont pas parallèles à T est une famille de droites concourantes en a 0, point d intersection de T et de la parallèle passant par O aux droites de la famille, le point a 0 étant exclu. Le point a 0 s appelle le point de fuite de la direction des droites de la famille. 4. Ligne de fuite d un plan Sur la figure D et D dont deux droites d un plan P, de points de fuite respectifs F et F. Propriété Dans une projection de centre O sur un plan T, l'ensemble des points de fuite des droites d'un plan P non parallèle à T est une droite appelée ligne de fuite du P' plan P. est l'intersection de T et du plan P P parallèle à P passant par O. F Conséquences - Deux plans parallèles ont la même ligne de fuite. - Pour déterminer la ligne de fuite d un plan, il suffit donc de trouver les deux points de fuite de deux droites de ce plan. D' D T F' O Page 3/7

4 III. Bilan 1. Vocabulaire L œil de l observateur (le point O) est devant la vitre sur laquelle il dessine un objet qui est derrière cette vitre. La représentation en perspective centrale d un point M est le point m, image de M dans la projection de centre O dont le plan est le plan de la vitre. On utilise généralement le vocabulaire ci-dessous pour désigner les éléments principaux : T est le plan du tableau ; c est le plan sur lequel on fait le dessin. S est le plan du sol (ou géométral) ; c est un plan horizontal. O est le point de vue, c est à dire la position de l œil de l observateur (O 1 est son projeté orthogonal sur le plan du sol). F est le point de fuite principal ; c est le projeté orthogonal de O sur le plan du tableau.. h est la ligne d horizon ; c est la droite horizontale du plan du tableau passant par F, c est-à-dire l intersection du plan du tableau avec le plan horizontal passant par O. l est la ligne de terre ; c est la droite intersection de S et de T. Elle est parallèle à la ligne d horizon. Un plan ou une droite parallèles à S sont appelés horizontaux. Un plan ou une droite perpendiculaires à S sont appelés verticaux. Un plan ou une droite parallèles à T sont appelés frontaux. Un plan ou une droite perpendiculaires à T sont appelés de bout. Page 4/7

5 2. Propriétés Alignement Dans une perspective centrale, l alignement est conservé. C est-à-dire que des points alignés sur l objet «réel» sont représentés par des points alignés. Proportions Dans une perspective centrale, les proportions ne sont en général pas conservées. Elles ne sont conservées que pour des objets situés dans un plan frontal. Milieu Le milieu n est en général pas conservé. Il n est conservé que pour des segments frontaux. Parallélisme Dans une perspective centrale : - des segments parallèles et non frontaux sont représentés par des segments inclus dans des droites concourantes en un point qui est le point de fuite de la direction des segments. - Des segments parallèles et frontaux sont représentés par des segments parallèles. 3. Les points de distance On appelle points de distance les deux points de fuite des droites horizontales faisant un angle de 45 avec le plan du tableau. Ce sont des points de la ligne d horizon symétriques par rapport au point de fuite principal. La distance entre un point de distance et le point de fuite principal est égale à la distance entre l observateur et le plan du tableau. Sur la figure ci-dessus, le point de fuite principal est noté F P et les points de distance D 1 et D 2. On a alors : F P D 1 = F P D 2 = OF P Page 5/7

6 IV. Exemples d application 1. Exemple 1 : dessin en perspective d un carrelage horizontal Le point de fuite principal F P, la ligne d horizon(h), le point de fuite F d une diagonale ainsi que les sommets des carreaux appartenant à la ligne de terre (LT) sont donnés. Construire 4 rangées du carrelage. (h) F P F LT 2. Exemple 2 Les piquets d une clôture sont verticaux, de la même taille, alignés et espacés régulièrement. Compléter la figure en plaçant le 4 e et le 6 e piquet. Tracer la ligne d horizon Page 6/7

7 3. Exemple 3 : dessin en perspective d un cube ayant une face frontale La face ABCD est dans le plan du tableau. (AB) est horizontale, F P est le point de fuite principal, et f le point de fuite de la diagonale (BE). Finir la représentation du cube ABCDEFGH. f F P A B D C 4. Exemple 4 : dessin en perspective d un cube ayant une face horizontale ABCDEFGH est un cube dont les faces ABCD et EFGH sont horizontales. On donne : la ligne d horizon(h) ; les lignes de fuite (d) et (d ) respectivement des plans verticaux (AED) et (AEB) ; les points de fuites f et 1 f 1 respectivement des diagonales (AH) et (AF) ; l arête verticale [AE] du cube. Finir le cube. (h) (d) A f' 1 f 1 E (d') Page 7/7

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