PARTIE B. MECANIQUE CELESTE

Transcription

1 M3 : Physique en Option Spécifique PARTIE B. MECANIQUE CELESTE Figure 1 : "Les planètes décrivent des orbites en forme d'ellipses dont le Soleil occupe un des foyers." - 1 -

2 Historique Mouvements Képlériens : Compétences exigibles 1. Les trois de Kepler démonstration de la 2e et 3e (orbite circulaire). 2. Energie potentielle gravitationnelle énoncé et démonstration. 3. Forme de la trajectoire selon le signe de l'énergie mécanique (sans démonstration!) 4. Conservation de l'énergie mécanique et du moment cinétique lien avec le théorème du moment cinétique M = #$ #% = Construction de l'hyperbole avec le grand axe (a) et petit axe (b). 6. Moment cinétique à l'infini sur une hyperbole L = b m v, ere et 2eme vitesses cosmiques

3 M3 : Physique en Option Spécifique Table des Matières MOUVEMENTS KEPLERIENS : COMPETENCES EXIGIBLES CHAPITRE 1 : MOUVEMENTS DES CORPS CELESTES LES LOIS DE KEPLER HISTORIQUE LES TROIS LOIS DE KEPLER DEMONSTRATION DES LOIS DE KEPLER TRAJECTOIRES DES CORPS CELESTES EN FONCTION DE LEUR ENERGIE ENERGIE POTENTIELLE DE GRAVITATION GRANDEURS CONSERVEES DANS UN MOUVEMENT KEPLERIEN RAPPELS SUR LES CONIQUES (CRM P. 57) VITESSES COSMIQUES EXERCICES

4 Historique Chapitre 1 : Mouvements des corps célestes 1.1 Les lois de Kepler Historique En 1600, Johannes Kepler se lança dans une étude très approfondie de l orbite de Mars en utilisant les données d observations de Tycho Brahé, les meilleures faites avant Après 8 ans d études, Kepler arriva à une conclusion révolutionnaire en Alors qu on pensait depuis près de 20 siècles que les orbites des planètes devaient être des cercles parfaits, sous prétexte que les cieux devaient être parfaits pour refléter la perfection des dieux (ou du Dieu), Kepler montra que les orbites avaient une forme elliptique 1.? Les trois lois de Kepler En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour du Soleil, sans les expliquer. Copernic avait soutenu en 1543 que les planètes tournaient autour du Soleil, mais il les laissait sur les trajectoires circulaires du vieux système de Ptolémée hérité de l antiquité grecque. Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième en Les orbites elliptiques, telles qu énoncées dans ses deux premières lois, permettent d expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes dans le ciel sans recourir aux épicycliques du modèle ptoléméen. Peu après, Isaac Newton découvrit en 1687 la loi de l attraction gravitationnelle (ou gravitation), celle-ci induisant, par le calcul, les trois lois de Kepler.? Première loi de Kepler ou loi des orbites La trajectoire des planètes autour du soleil est plane et décrit une ellipse. Le soleil se trouve sur un foyer. 1 La Gravitation, L. Tremblay, College Merci, Quebec - 4 -

5 M3 : Physique en Option Spécifique Figure 2 : Orbites elliptiques des planètes du système solaire Excentricité des orbites

6 Les trois lois de Kepler Vocabulaire et unités astronomiques - Périapse ou périapside est le point de l orbite d un objet céleste où la distance est minimale par rapport au foyer de cette orbite. - Apoapse ou apoapside est le point de l'orbite d'un objet céleste où la distance est maximale par rapport au foyer de l'orbite. - Apogée : position d un satellite lorsqu il se trouve au plus loin de la Terre sur une orbite elliptique autour de la Terre. - Périgée : position d un satellite lorsqu il se trouve au plus proche de la Terre sur une orbite elliptique autour de la Terre. - Aphélie : position d un satellite lorsqu il se trouve au plus loin du Soleil sur une orbite elliptique autour du Soleil. - Périhélie : position d un satellite lorsqu il se trouve au plus proche du Soleil sur une orbite elliptique autour du Soleil. - Année-lumière (AL) : distance parcourue par la lumière pendant une année(1 AL = 9, m) - Unité astronomique (UA) : distance Terre-Soleil (1 UA = 1, m) - Parsec (pc) : distance à laquelle 1 UA sous-tend un angle d une seconde. Autrement dit, la distance à partir de laquelle on verrait la distance terre -soleil, sous un angle d'une seconde d'arc (1 pc = 3, ? m AL) Propriétés des orbites elliptiques r H + r F = 2a a = J KLJ M N e = J MPJ K J M LJ K et c = J MPJ K N a : demi-grand axe b : demi petit-axe c : distance au centre e = E F : excentricité r F : distance à l apoapside (point le plus éloigné de l astre central) r H : distance au périapside (point le plus proche de l astre central) - 6 -

7 M3 : Physique en Option Spécifique Deuxième loi de Kepler ou loi des aires L aire balayée par le rayon vecteur d une planète en des temps égaux est constante. Autre formulation : La vitesse aréolaire est constante. Troisième loi de Kepler ou loi des périodes Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi grand axe de la trajectoire et le carré de la période est identique et proportionnel à la masse de l astre central. a demi-grand axe de l orbite [m] T: période orbitale [s] a Q G M = TN 4π N G: constante universelle de gravitation (G = P66 N. m N kg PN ) M: masse de l astre central [kg] - 7 -

8 Les trois lois de Kepler Détection des exoplanètes En réalité le mouvement est décrit autour du centre de masse Soleil-Planète qui se situe à l intérieur du Soleil. De fait, le Soleil décrit aussi un mouvement autour du CDM. De manière plus générale, c est ce mouvement de l étoile centrale autour du centre de masse du système planétaire qui permet la détection indirecte des exoplanètes par effet Doppler-Fizeau sur les raies spectrales de l étoile centrale.? Figure 3 : Le principe de la détection d'une exoplanète par la mesure d'un décalage spectral par effet Doppler-Fizeau. Eso - 8 -

9 M3 : Physique en Option Spécifique Démonstration des lois de Kepler Théorème du moment cinétique Mouvement des corps soumis à une force centrale - 9 -

10 Démonstration des lois de Kepler Loi des aires La démonstration est basée sur la conservation du moment cinétique. L aire infinitésimale ds balayée par le vecteur r pendant le déplacement ds est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel En divisant ds par le temps infinitésimal dt (durée du déplacement dr), on obtient la dérivée de l aire par rapport au temps (taux de variation de l aire par seconde) Cette dérivée s appelle la vitesse aréolaire. (1) D autre part : (2) En combinant (1) et (2), on obtient : Remarque : La loi des aires, observée par J. Kepler en 1609, est en réalité une propriété générale de tout mouvement à force centrale, car il ne fait intervenir que la propriété de conservation du moment cinétique. Exemples : Force électrique et modèles de l atome de Rutherford et de Bohr

11 M3 : Physique en Option Spécifique Loi des périodes Démonstration dans le cas d une trajectoire circulaire : 1.2 Trajectoires des corps célestes en fonction de leur énergie Energie potentielle de gravitation Travail d une force variable

12 Energie potentielle de gravitation Energie potentielle et travail i. Définition de l énergie potentielle ii. Energie potentielle de gravitation calcul de l'énergie gravitationnelle (Merici, Astro, Chap-1-Rappels, p15)

13 M3 : Physique en Option Spécifique Grandeurs conservées dans un mouvement képlérien L énergie mécanique d un satellite est constante E^_E = 1 2 mvn GMm r = constante Le moment cinétique d un satellite est constant L = r p = m 1. La conservation de l énergie mécanique provient du fait qu il s agit de système conservatif soumis à des forces conservatives (force de Gravitation). 2. La conservation du moment cinétique vient du fait que la force de gravitation est une force v 2 centrale. Son moment de force est nul, ce qui entraîne que la dérivée du moment cinétique est nulle, donc que a b (90 ) le moment cinétique est r 1 constant. (Théorème du r 2 moment cinétique) v 1 L énergie sur une orbite elliptique peut s exprimer en fonction du grand axe (2a) de l ellipse. E^éE = GMm 2a Preuve pour une trajectoire circulaire de rayon r

14 Rappels sur les coniques (CRM p. 57) Trajectoires en fonction de l énergie? E^_E < 0 La trajectoire est une ellipse E^_E = 0 La trajectoire est une parabole E^_E > 0 La trajectoire est une hyperbole Rappels sur les coniques (CRM p. 57) On appelle conique de foyer F, d excentricité e, et de directrice D, l ensemble des points M du plan P tels que : MF=e d(m,d) où d(m,d) est la distance de M à la droite D. 0 e < 1: ellipse e = 1 parabole e > 1 hyperbole L ellipse Étant donnés deux points fixes F et F, on appelle ellipse l ensemble des points du plan dont la somme des distances à F et F est constante. Une ellipse est l ensemble des points M tels que MF + MF = 2a F et F : foyers a : demi-grand axe b : demi-petit axe S et S : sommets O : centre. e : excentricité e = qr qs

15 M3 : Physique en Option Spécifique L Hyperbole Étant donnés deux points fixes F et F, on appelle hyperbole l ensemble des points du plan dont la différence des distances à F et F est constante. Une hyperbole est l ensemble des points M tels que MF MF = 2a F et F : foyers a : demi-grand axe b : demi-petit axe S et S : sommets O : centre. Remarque : Une hyperbole possède 2 asymptotes. b est aussi la distance entre le foyer et l asymptote La Parabole Une parabole est l ensemble des points M tels que MM = MF Remarque : Une parabole n a pas d asymptote. M

16 Vitesses cosmiques Expression analytique des coniques Moment cinétique à l infini (hyperbole) A l infini, la vitesse du satellite est pratiquement tangente à l asymptote. L = r t mv t sin α et r t sin α = b L = bmv t v inf a r inf b Vitesses cosmiques Première vitesse cosmique ou vitesse circulaire La première vitesse cosmique représente la vitesse de satellisation minimale autour de la Terre. v E,J = GM R z

17 M3 : Physique en Option Spécifique C est donc la vitesse d un satellite à la surface de Terre Deuxième vitesse cosmique ou vitesse de libération. Vitesse de libération La vitesse de libération est la vitesse minimale à laquelle il faut lancer un corps depuis la surface d un astre pour qu il échappe à l attraction gravitationnelle de l astre. Vitesse de Libération v {, = 2GM E Rc Cas de la Terre

18 Vitesses cosmiques 1.3 Exercices Ex. 1. La comète de Halley se déplace sur orbite dont les distances à l aphélie et au périhélie sont de r a = 35,295 UA et r p = 0,587 UA. a. Quelle est l excentricité de cette orbite? b. Quel est le demi-grand axe (a) de cette orbite? c. Quelle est la période de la comète? Rép: a) b) UA c) ans Ex. 2. On veut lancer un satellite artificiel de façon qu il reste toujours, en MCU, à la verticale du même point de la surface de la Terre (satellite de télécommunication géostationnaire). a) Dans quel plan doit tourner ce satellite? b) A quelle altitude et à quelle vitesse doit-il être placé en orbite? Ex. 3. Le soleil se trouve à environ 30'000 années lumières du centre de notre Galaxie. Le système solaire met environ 2, années pour effectuer une rotation complète. a) Utiliser la loi de la Gravitation Universelle et les lois de Newton pour déterminer la masse approximative de notre Galaxie en considérant notre système solaire comme un satellite de la Galaxie. b) Déterminer statistiquement le nombre d étoiles de Galaxie en posant les hypothèses nécessaires

19 M3 : Physique en Option Spécifique Ex. 4. (Maturité suisse, automne 2001) Deux satellites de même masse m tournent autour de la terre (masse M) en suivant des orbites circulaires de rayon 2R pour le satellite (1) et 3R pour le satellite (2). Déterminer les rapports des périodes T 1 /T 2. Ex. 5. Un satellite décrit une trajectoire elliptique autour de la terre. Lorsqu il se trouve à son périgée, sa vitesse vaut 9 km/s et son altitude au dessus de la terre, 600 km. a) Calculer sa vitesse et son altitude lorsqu il est à son apogée. b) Calculer les demi-axes de l ellipse et sa vitesse aux extrémités du petit axe. Rép: a) 3576 m/s; km. b) a=11605 km; b=10470 km; v=5673 m/s. Ex. 6. Une comète passe dans le champ de gravitation du soleil en décrivant une branche d hyperbole dont les demi-axes valent a=4x10 10 m et b=3x10 10 m. a) Calculer sa vitesse lorsqu elle est très loin du soleil. b) Calculer sa distance minimale au soleil ainsi que sa vitesse à cet endroit. Rép: 5,76x10 4 m/s; m ; 1,73x10 5 m/s. Ex. 7. La planète Mercure décrit autour du soleil une ellipse de demi-axes a=5,79x10 10 m et b=5,66x10 10 m. Calculer ses vitesses maximale et minimale, et sa distance au soleil lorsque ces situations se réalisent. Ex. 8. Un astéroïde de masse m = 100 kg se déplace sur une orbite elliptique autour de la terre. En A, la vitesse de l astéroïde est parallèle au grand axe de l ellipse. L altitude de B vaut 5000 km. La période de révolution de l astéroïde vaut 8 h. a) Vérifier que le grand axe 2a de l ellipse vaut km. b) Calculer l altitude et la vitesse de l astéroïde lorsqu il se trouve en A. c) Que vaut la vitesse du satellite en B? Rép: m/s; m/s; 4,57x10 10 m;7,01x10 10 m. Ex. 9. Une météorite passe à une vitesse de 6 km/s en un point situé à une altitude de 30'000 km au-dessus de la surface de la terre. Elle s approche de la terre en décrivant une trajectoire non rectiligne

20 Vitesses cosmiques a) Calculer sa vitesse lorsqu elle a une altitude de 1000 km. b) Indiquer le nom de sa trajectoire en justifiant votre réponse. c) Calculer la vitesse de la météorite lorsqu il se trouve infiniment loin de la terre. Rép. : m/s ; hyperbole ; Q m/s Ex. 10. (Maturité suisse, 2003)

21 M3 : Physique en Option Spécifique Ex. 11. (Maturité suisse, 2004) Ex. 12. Une comète de masse m = kg a une trajectoire parabolique et s'approche jusqu'à une distance d = 10 8 km du Soleil. Supposer qu'elle ne soit influencée que par le Soleil et que l'on puisse négliger les influences des planètes. Déterminer la vitesse maximale v de cette comète. Rép. : 5, m/s Ex. 13. Une comète de masse m = kg a une vitesse de v o = 5 km/s très loin du Soleil. La distance de la droite qui porte cette vitesse au Soleil est de D = m. La comète ne passe qu'une fois autour du Soleil au cours de son existence

22 Vitesses cosmiques a. Calculer sa vitesse maximale. b. Quelle est la valeur de la vitesse très loin après son passage près du Soleil?