Centrale-TSI Physique 2012 page 1/7
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- Madeleine Rochon
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1 Centrale-TSI Physique 0 page /7 Centrale TSI physique 0 : "De la Terre à la Lune" I - De la Terre A - Décollage Choix du référentiel : a) Le référentiel géocentrique est le référentiel en translation par rapport au référentiel héliocentrique et ayant pour origine le centre de la Terre Le référentiel terrestre est le référentiel lié au sol terrestre, c est à dire en rotation avec la Terre autour du référentiel géocentrique et ayant pour origine le centre de la Terre b) Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d inertie première loi de Newton) est vérifié c) R G est galiléen en très bonne approximation ; on peut montrer que cela revient à négliger les termes de marées Influence de la base de lancement : a) Le point B décrit une trajectoire circulaire à vitesse constante autour de l axe de rotation terrestre sur un parallèle terrestre de rayon r R T cos λ b) Le point B parcourt le cercle en un jour T π/ω, c est à dire pour la vitesse : v B πr T cos λ R T cos λ)ω T c) Application numérique : v B λ ) 409 ms et v B λ ) 463 ms d) Dans le référentiel géocentrique, la fusée a initialement la vitesse v B et atteint, une fois en orbite, la vitesse v 0, ce qui représente une variation d énergie cinétique : E c m F v 0 vb) e) Évaluons la variation relative d énergie cinétique : E c E c v B v B E c v0 vb L apport supplémentaire de vitesse initiale permet de diminuer la variation d énergie mécanique et de consommer moins de carburant f) On peut citer plusieurs autres avantages : La Terre étant boursouflée au niveau de l équateur, la force de gravitation y est un peu plus faible qu à une latitude plus élevée ; lancée de Kourou, la fusée s extrait plus facilement d un champ de pesanteur un peu plus faible La base de Kourou est située au bord de la mer ; en cas de problème, les débris peuvent s écraser en mer, loin de toute habitation B - Orbite circulaire Généralités : a) FG Gm m r 3 r b) FE q q 4πε 0 r 3 r c) Théorème de Gauss électrostatique : Le flux du champ électrostatique à travers une surface Σ) fermée et orientée vers l extérieur est égal à la charge totale Q int contenue à l intérieur de cette surface divisée par ε 0 : Φ Σ E ds Q int ε 0 Σ
2 Centrale-TSI Physique 0 page /7 d) En comparant les expressions des forces électrostatique et gravitationnelle, on constate qu il faut remplacer Q int /ε 0 par 4πGM int, ce qui donne : Le flux du champ de gravitation à travers une surface Σ) fermée et orientée vers l extérieur est égal à la masse totale M int contenue à l intérieur de cette surface multipliée par 4πG : Φ Σ G ds 4πGM int avec M int ρdv Champ gravitationnel terrestre : Σ a) Tout axe O, u r ) est un axe de symétrie de révolution de la distribution, la champ de gravitation est donc selon u r b) L invariance selon θ et ϕ assure que le champ de gravitation ne dépend que de la variable r c) On applique le théorème de Gauss gravitationnel en considérant une sphère centrée sur le centre de la Terre de rayon r > R T et contenant la masse totale de la Terre : intσ Gr) 4πr 4πGm T G Gm T r d) À la surface de la Terre, on pose R T r pour obtenir : g T Gm T 4, , 8 RT 6, 38 ms 0 On retrouve bien évidemment la valeur de l intensité de pesanteur terrestre e) En multipliant la masse m F par le champ de gravitation, on en déduit l expression de la force : 3 Mouvement d un satellite : a) E p0 Gm T m F r F Gm T m F r b) La force étant centrale, le moment cinétique du satellite σ 0 se conserve ; comme r σ 0 0 et v σ 0 0, le mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique Dans le cas général, la trajectoire est une conique c) On applique la deuxième loi de Newton au satellite dans le référentiel géocentrique ; la projection de cette équation sur la direction radiale donne : Pour l énergie cinétique : E c0 m F v 0 Gm T m F r d) Le satellite parcourt la distance πr en une durée T : u r m F r θ Gm F m T v r 0 Gm T r v0 4πr Gm T T 0 T0 r r 3 Cette relation est connue sous le nom de troisième loi de Kepler e) Application numérique : GmT v 0 R T 4π RT 3 Gm T T 0 4, , π Gm T u r 7, 9 kms 6 4π 6, ) s 4, f) L énergie mécanique est la somme de l énergie cinétique et de l énergie potentielle : E m0 Gm T m F r Gm T m F r Gm T m F r
3 Centrale-TSI Physique 0 page 3/7 II - à la Lune A - Objectif Lune Orbite de transfert : a) Pour une trajectoire elliptique de grand axe d T L, E m Gm T m F d T L b) L énergie mécanique est constante sur la trajectoire elliptique, on l exprime juste après l augmentation de la vitesse : E m m F v Gm F m T Gm T m F v Gm T ) R T d T L R T d T L Application numérique : v Gm T ) R T d T L ) 4, , 38 0, kms 6 3, c) La Terre est située à un foyer de l ellipse Il faut allumer les moteurs avant que la Lune ne soit alignée sur l axe focal de l ellipse, de telle façon que la fusée et la Lune coupe au même moment le grand axe focal d) Le satellite parcourt une moitié d ellipse, il suffit alors de déterminer la période de révolution grâce à la troisième loi de Kepler : 4π d T L /) 3 4π, ) 3 T 9, 5 jours Gm T 4, Et donc pour la durée de parcours t T 4, 8 jours Orbite lunaire : a) Il faut freiner la fusée ; en effet la fusée disposait d une énergie lui permettant presque d échapper à l attraction terrestre ; l attraction de la Lune étant plus faible, il faudra nettement réduire la vitesse pour que la fusée reste au voisinage de la Lune b) On applique la formule pour un mouvement circulaire : GmL 4, 9 0 v, 7 kms R L, B - Déplacements sur la Lune Caractéristiques du sol lunaire : a) Pour un astre sphérique quelconque g i Gm i, on en déduit ; R i ) RT m L g L g T 9, 8 R L m T ) 6, 38 4, 9, 6 ms, b) L athlète est 6 fois moins attiré par la Lune que par la Terre, il pourrait donc posséder une détente verticale de 6 m sur la Lune, sûrement moins en tenant compte de la combinaison spatiale c) En reportant l expression de xt) dans celle de zx), on en déduit : ) πv zt) A cos λ t A cos ωt) avec ω πv λ d) Le véhicule a une accélération verticale : zt) Aω cos ωt) D après la deuxième loi de Newton appliquée au véhicule soumis à son poids lunaire et à la réaction du sol : m a m g L + R donc R m a gl ) Si la valeur absolue de la composante verticale de l accélération atteint l intensité de pesanteur lunaire, la réaction du support s annule et le contact avec le sol est rompu ; pour assurer le maintien il faut donc :
4 Centrale-TSI Physique 0 page 4/7 e) Application numérique : Aω g L A max g L ω g Lλ 4π v, 6, 7 mm 4π 4/3, 6) Avec cette modélisation, le véhicule ne peut maintenir le contact avec le sol lunaire très "cabossé", d où l utilisation du "Rover lunaire" Rover lunaire : a) Au repos, la tension du ressort équilibre le poids : k l m r g L l m rg L k Le ressort est bien évidemment comprimé, nous avons déterminé ici la valeur absolue de l allongement b) Dans le référentiel lié au sol lunaire, supposé galiléen à l échelle de l expérience, on applique la deuxième loi de Newton à la masse soumise à son poids lunaire, à l action du ressort et à la force de frottement : m r a m r g L + T + F f On projette cette équation sur l axe Oz et on appelle l 0 la longueur à vide du ressort : m r z m r g L k zt) + l eq z O t) l 0 ) β żt) ż O t)) Explication de l expression de la force du ressort : À l instant t, la longueur du ressort est zt) + l eq z O t), en effet zt) est compté par rapport à l équilibre et il faut retrancher z O t) qui a tendance à comprimer le ressort Pour obtenir l allongement on retranche la longueur à vide l 0 Si zt) est très grand, le ressort exercera une force dirigée vers les z < 0 d où le signe "-" Enfin on pose l eq l 0 l avec la convention l > 0 que nous avons adoptée à la question précédente On remarque alors que le poids se simplifie avec la tension au repos et on obtient : Ce qui impose : z + β m r żt) + k m r zt) k m r z 0 t) + β m r ż 0 t) ω 0 k m r ω β m r ft) A ω 0 cos ωt) ωω sin ωt) ) c) L équation se réécrit pour les amplitudes complexes : z + ω ż + ω 0z f En remarquant que sin ωt cos ωt + π/), on en déduit : z ω + ω 0 + jωω ) z 0 ω 0 + jωω ) En divisant les deux membres par ω 0, on trouve la fonction de transfert proposée : H + jωω ω 0 + j ωω ω 0 ω ω 0 d) Pour k "suffisamment faible", ω0 est "suffisamment faible" pour que les termes en /ω0 deviennent prédominants : jωω ω0 H j ωω ω + j ω ω0 ω0 ω Cette expression est bien celle d un filtre passe bas du premier ordre ayant pour pulsation de coupure ω c ω β m r e) Exprimons le module de la fonction de transfert : H ω + ω )
5 Centrale-TSI Physique 0 page 5/7 La condition de l énoncé impose ω/ω ) 99 et finalement : β πvm r π 4/3, 6) λ 99, kgs f) k doit être suffisamment grand pour que ωω /ω0 ; choisissons par exemple un rapport de 0 : 0ω0 0k ωω k ωβ m r 0 πvβ π 4/3, 6), , 0 3 Nm 0λ 0 g) On constate que l intensité de pesanteur n apparaît pas dans les équations dynamiques, le comportement serait donc similaire à la surface terrestre Un ressort plus raide sera cependant nécessaire pour compenser le poids plus important du véhicule sur Terre III - Propulsion de la fusée A - Étude du gaz Modèle du gaz parfait : a) Dans le modèle du gaz parfait, les particules sont supposées ponctuelles et sans interaction à distance b) Partant de l équation du gaz parfait : Transformation isentropique : P nrt V m V R M T ρrt rt v a) De l expression différentielle de l entropie d un gaz parfait, on déduit pour une transformation adiabatique réversible et donc isentropique : dt ds nc v,m T + nrdv V n R dt γ T + nrdv V 0 En intégrant cette équation, on obtient P v γ cste Cf cours) b) Loi de Laplace c) On différencie l expression : dp v γ ) 0 v γ dp + γv γ P dv 0 vdp + γp dv 0 avec a v et b γp d) L identité thermodynamique reliant l enthalpie et l entropie s écrit pour un fluide : dh T ds + vdp Pour une transformation isentropique, la relation se simplifie selon dh vdp B - Tuyère Remarque : Cette partie est à traiter sur le modèle vu en cours de la détente de Joule-Kelvin Premier principe : a) Pendant l écoulement d une masse δm en une durée dt, en amont les forces de pression exercent une force P S sur un déplacement w dt, c est à dire un travail : δw P S w dt P S w dt ρ ρ P S w dtρ ) ρ P δmv De même en aval avec un signe "-" et finalement pour le travail des forces de pression : δw p δm P v P v ) b) On applique le premier principe au système Σ initialement en A A D D et en B B C C en fin de transformation : du + de c δw P + δq Pour un écoulement stationnaire, du u B B C C u A A D D u A B C D u A B C D δmu δmu Avec un raisonnement similaire pour la variation d énergie cinétique et en négligeant les transferts thermiques avec la paroi, l équation se simplifie selon : u u + ec ec P v P v u + P v ) + w u + P v ) + w
6 Centrale-TSI Physique 0 page 6/7 u i + P i v i s identifie à l enthalpie massique et on obtient : h + w cste c) Sous forme différentielle : d) Partons du système d équation : dh + wdw 0 donc a et b w dh + wdw 0 ) dh vdp ) P rt v 3) On reporte ) dans ) et on élimine le volume massique grâce à l équation 3) se qui conduit à : dw w rt dp w P γrt dp γ w P dp γm P Conservation du débit : a) La masse δm est contenue dans un volume S w dt, ce qui impose pour le débit massique : q δm dt S w ρ dt S w Sw dt v v La dernière égalité indique que le débit massique est le même pour toute section du tube en régime permanent b) La différentielle logarithmique du débit massique donne : ds S + dw w dv v 0 a /S ; b /w ; c /v 3 Relation de Hugoniot : a) L expression précédente se réécrit : ds S dw w + dv v D après la question IIIAc : vdp γp dv soit dv v γ ds S dw w dp γ P dp P, donc : dw w + M dw w dw w M ) b) Supposons un écoulement suprasonique M < : ds et dw sont alors de signe opposé, une accélération du fluide nécessite une conduite qui se resserre C est l inverse pour un écoulement supersonique 4 Tuyère de Laval : a) Dans la partie convergente, le nombre de Mach doit être inférieur à et dans la partie divergente supérieur à Ceci impose un nombre de Mach égal à au niveau du col b) Allure des courbes : w/c P e P z e col z s c) Partons de la relation obtenue en IIIBb : h + w cste, que l on écrit pour l entrée et la sortie : h e + 0 h s + w s ws h e h s ) c p T e T s ) c p T e T ) s T e Sachant que c p rγ/γ ), c e γrt e et en utilisant la loi de Laplace P γ T γ cste, on en déduit : ) ) γ )/γ ws c e Ps γ z P s P e z
7 Centrale-TSI Physique 0 page 7/7 C - Propulsion Poussée : a) Application numérique : w s 3, 3 kms w s γrt e γ Ps P e ) γ )/γ ), , ) ) 0,/, 67, 5 b) F p 5 3, 3 0 3, , N Séquence de lancement : a) Partons de l expression proposée : dvt) q tw s dt m 0 q t t g T Intégrons cette équation avec la condition initiale v0) 0 : ) m0 q t t vt) g T t w s ln b) L expression proposée vérifie H0) 0 ; dérivons alors cette expression : [ H m 0 m t) t) g T t + w s ln mt) ) + mt) ] ) m t) m t) mt) g T t + w s ln q t m 0 m 0 m 0 mt) q t m 0 On constate que H t) vt), l expression proposée est bien la primitive de la vitesse qui vérifie la condition initiale, c est donc la solution recherchée 3 Applications numériques : Lorsque tout le carburant aura été consommé : m c q t t f 0 t f m c 0 6 q t 5, s 3 À cet instant, mt f ) m 0 m c 000 tonnes ce qui donne pour la vitesse : ) vt f ) 3, ln 9, 8 67, 0 kms 3 Et finalement pour l altitude : Ht f ) 3, [ ] ln /3) ) + 9, 8 67 / 4 km 5, Remarque : À l adresse suivante "http ://enwikipediaorg/wiki/saturn_v" on peut obtenir les caractéristiques suivantes pour le premier étage de la fusée : Force de poussée : 3, N Durée de la poussée 60 s Vitesse atteinte :, 3 kms ; altitude atteinte : 67 km À l exception de l altitude, ces données sont comparables aux résultats obtenus ; il ne faut toutefois pas oublier que nous n avons, par exemple, pas tenu compte des frottements et que le gaz a été considéré parfait pour des pressions nettement supérieures à la pression atmosphérique Remarques et commentaires : cedricgrange@lapostenet m 0
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