TRAITEMENT DU SIGNAL Signal Processing

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1 Plan du cours (Fiche technique RAIEMEN DU SIGNAL Signal Processing ère année Cycle Ingénieur Filières: GIND & G3EI Prof. Otman FILALI MEKNASSI Département Sciences de l Information & des Communications (SIC Année universitaire 3-4 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI Signaux Analogiques Représentation temporelle, Représentation fréquentielle, Série de Fourier densité spectrale, héorème de la puissance. Signaux Numériques Représentation temporelle : Génération d un signal numérique, échantillonnage, quantification. Représentation fréquentielle : ransformée de Fourier à temps discret ( FD, ransformée de Fourier Discrète (FD, ransformée de Fourier rapide (FF, Calcul de la FF : simulation sous Matlab. héorème d échantillonnage. Observation Spectrale : fenêtrage (Simulation sous Matlab & Simulin Filtrage linéaire : Fonction de transfert, ransformée en Z, filtres numériques Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI Objectifs du cours A l'issue de ce cours, l étudiant sera en mesure de :. Maîtriser les séries de Fourier : représentations spectrales et calcul de la puissance.. Analyser et mettre en pratique les relations temps-fréquence dans le cadre de l'analyse spectrale. 3. Décrire différents types de signaux et expliquer leurs fonctions de corrélation ainsi que leurs densités spectrales de puissance. 4. Evaluer les effets de l échantillonnage et de la quantification. 5. Evaluer et calculer le comportement d'un système numérique dans les domaines temporel et fréquentiel. A l'issue des séances de travaux pratiques, l étudiant sera en outre capable de:. D utiliser l outil de programmation Simulin & Matlab.. Synthétiser et analyser des signaux. 3. Visualiser, décrire et analyser le spectre d'un signal quelconque. 4. Programmer un filtre numérique et illustrer son comportement. 5. Ecrire un rapport succinct mais complet de son travail. Chapitre : Généralités Plusieurs approches sont possibles pour classifier les signaux. Parmi celles-ci, on en citera deux : la classification phénoménologique qui met l'accent sur le comportement temporel du signal ; la classification énergétique ou l'on classe les signaux suivant qu'ils sont à énergie finie ou à puissance finie. S I G N A U X Classification phénoménologique des signaux Déterministes Aléatoires Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires Harmoniques complexes Harmoniques simples ransitoires Impulsionnels Ergodiques Non ergodiques Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 3 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 4

2 Signaux déterministes Définition: Signaux dont l évolution temporelle parfaitement définie et peut être prédite par un modèle mathématique approprié. On distingue : les signaux périodiques dont la forme se répète régulièrement ; les signaux pseudo-aléatoires qui sont des signaux périodiques mais avec, à l'intérieur de la période, un comportement aléatoire ; les signaux quasi-périodiques qui résultent d'une somme de sinusoïdes dont le rapport des périodes n'est pas rationnel ; les signaux non-périodiques (non permanent; ils sont essentiellement représentés par des signaux transitoires dont l'existence est éphémère. temps temps Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 5 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 6 Quelques applications du traitement du signal : Musique : enregistrement, playbac, mixage, synthèse, stocage Parole : reconnaissance, synthèse, codage, débruitage élécommunications & multimédia : génération du signal, transmission, modulation et compression, codage, cryptage Radar : Filtrage, détection, extraction, localisation, poursuite de la cible (tracing, identification, Signaux analogiques raitement Image : rehaussement, filtrage, compression, reconnaissance des formes, Médecine : diagnostic, monitoring, prothèses, Automatique : asservissement des systèmes électriques, chimiques & mécaniques, robotique,.. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 7 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 8

3 Chapitre : Analyse des signaux périodiques Quelques exemples de signaux périodiques souvent rencontrés:.. Introduction L'analyse harmonique ou fréquentielle est l'instrument majeur de la théorie des signaux. Exemple : x( t = A cos( ω t + ϕ = A cos( π f t + ϕ A amplitude ω pulsation ϕ déphasage f fréquence ω = π f = π = période ω f représentations possibles du signal : dans le plan temporel et dans le plan des fréquences. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 9 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI Exemple: Décomposition d un signal en harmoniques. x( t = A+ A cos( ω t + A cos( ω t + ϕ + A cos( ω t + ϕ + A cos( ω t + ϕ ω = ω ω = 3ω ω = 4ω 3 DC (continu ω ω 3ω 4ω 5ω ω = π / ω fondamental seconde harmonique troisième harmonique quatrième harmonique.. Séries de Fourier Décomposition d un signal périodique en ondes sinusoïdales a/ Définition de la série de Fourier Considérons un signal périodique x(t de période = /f. Son développement en série de Fourier est alors le suivant: a x t a f t b f t ( = + cos( π + sin( π = = f : fréquence fondamentale du signal a / : valeur moyenne ou composante continue a, b : coefficients de Fourier du développement en sinus et cosinus = π / ω = π / ω / a = x( t.cos( ωt dt =,,,... / / b = x( t.sin( ωt dt =,,3... / Question: Peut-on décomposer n importe quel signal périodique en harmoniques? Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI Cette représentation qui sert de point de départ est remplacée par la série en cosinus et la série complexe. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI

4 b/ Série de Fourier en cosinus (forme polaire Prenant en compte la relation trigonométrique suivante : B A cos( x + B sin( x = A + B cos x + arctan A On voit que le développement en série de Fourier peut également s écrire : x( t = A + A cos( π f t + ϕ = a b = = + = arctan a A A a b ϕ Cette série en cosinus correspond à la description bien connue des signaux en régime sinusoïdal permanent où l'on représente un courant ou une tension par leur amplitude et leur phase. La représentation spectrale qui lui est associée porte le nom de spectre unilatéral d'amplitude et de phase (A et j du signal. Ici, les fréquences sont positives ou nulles car le compteur des harmoniques varie de à +infini. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 3 c/ Série de Fourier complexe En utilisant les relations d Euler : cos( jx jx sin( jx x = e e x e e jx + = j On montre aisément que la série de Fourier peut être transformée en une série de Fourier complexe : x( t = X ( j exp( j π f t = Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 4 / X ( j = x( t exp( j πf / t dt < < + La description de x(t avec les fonctions complexes conduit aux spectres bilatéraux d'amplitudes et de phases notés par: X ( j X ( j Ici, les fréquences sont négatives et positives car le compteur varie de moins l infini à + infini. Les spectres d'amplitudes sont toujours des fonctions paires car on a : A X ( j = X ( j = alors que les spectres de phases sont toujours des fonctions impaires. On a en effet: X ( j = X ( j = ϕ Pour le cas particulier de la composante continue du signal, on a X ( = A X ( =, π.3. Relations entre les trois représentations spectrales.4. Spectres d'amplitudes et de phases π Exemple : x( t = 3 + cos( π f t sin( π f t + sin(6 π f t + 4 ϕ ϕ ( ϕ x(t Représentations spectrales uni et bi latérale? ϕ ϕ ( ϕ ( ϕ temps cos( π f t sin( π f t = cos π f t + arctan( π π x( t = cos( π f t + + cos(6 π f t 3 4 Spectres unilatéraux Spectres bilatéraux A X ( j ϕ ϕ ( + jϕ ( + jϕ ( jϕ ϕ / π f f X ( j / π Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 5 Cours raitement Signal f f Prof. Otman FILALI 6

5 Exemple : Carré signaux Spectres bilatéraux Spectres unilatéraux X ( j A.5. Signal synthétique Signal connu x (t Calcul des coefficients de Fourier A(, j( ou X(j Dents de scie X ( j A Calcul de la somme de Fourier Sinus redressé X ( j A Signal synthétique x(t Dans certains cas (phénomène de Gibbs, le signal synthétique x(t ne sera pas exactement égal à x (t. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 7 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 8 Exemple: Analyse d un signal périodique carré Quels sont les coefficients de Fourier X(j? x ( t = < t < < t < Quelle est la synthèse du signal obtenu? si im p air X ( j = x( t = X ( j exp( j π ft si p air = x( t = = exp( j π t si impair si pair x( t exp( j πt impair = = x( t exp( j πt impair 5 = = 5 9 x( t = exp( j πt impair = 9 x( t exp( j πt impair 39 = = 39 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 9 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI

6 .6. héorème de la puissance ou de Parseval On définit la valeur moyenne d un signal périodique x(t par : Dans l'espace temps, on définit la puissance moyenne normalisée ou la valeur efficace d un signal périodique x(t par : t + ( = ( t On définit la valeur efficace d'une composante spectrale d un signal par : A relation existant entre A, eff = = X ( j les coefficients spectraux x t x t dt P = x t = x t dt = X Pour un signal sinusoïdal d amplitude A: X eff = A / t + ( ( t eff héorème de Parseval : la puissance normalisée d'un signal peut se calculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquentiel P = X = P = A + A = P + P = X + X j = = eff DC AC ( (. ( = = =. X ( j Le carré de la valeur efficace d'un signal est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces de chacune de ses composantes. Formules pour le calcul de P ( eff. ( ( ( = = / P = x t dt X P X j X X j = = + / P = A + A = P + P P X = X + X DC AC eff DC AC = Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI.7. Quelques théorèmes utiles a/ Décalage temporel Il est fréquent en analyse des signaux de devoir décaler temporellement un signal x(t ; on obtient alors un nouveau signal y(t = x(t + t d. Ce décalage t d peut être positif (signal avancé ou négatif (signal retardé. b/ Multiplication par un terme de phase dans le domaine temporel Ce cas est fréquent en télécommunications: modulation de l'amplitude de la porteuse p(t à l'aide du message m(t à transmettre. La modulation d'amplitude est généralement obtenue par la multiplication des deux signaux entre eux : x( t = m( t. p( t p( t = exp( ± j π f t x( t = m( t.exp( ± j π f t p p X ( j = M ( j( f m f p On montre que : y( t = x( t + td Y ( j = exp( + j π ft X ( j On en déduit: A un décalage temporel correspond une phase variant linéairement avec la fréquence. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 3 A une multiplication par un terme de phase (phaseur dans le domaine temporel correspond un décalage dans l'espace des fréquences. Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 4

7 Modulation d amplitude Spectres c/ Rotation autour de l'ordonnée La rotation d'un signal autour de son ordonnée est décrite par y(t = x(-t. Dans ce cas, on montre que : y t x t Y j X j X j * ( = ( ( = ( = ( A une rotation du signal temporel autour de l'ordonnée correspond le conjugué complexe dans le domaine fréquentiel. Exemple : Soit x(t fonction périodique d'exponentielles décroissantes décrite par : x( t = A exp( t / τ si t < τ << X ( j A τ ermes spectraux: =. + j π f τ ( Soit y(t fonction périodique décrite par : y( t = A exp( t / τ si t < τ << ermes spectraux de y(t? Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 5 Cours raitement Signal Prof. Otman FILALI 6