Géométrie au cycle 3

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1 Conférence pédagogique Géométrie au cycle 3 Roland Charnay Les champs «géométrie» et «grandeurs et mesures» représentent 1/5 à 1/4 du temps des mathématiques à l école primaire. Au collège, en 6 cela représente la moitié. De quoi parle t-on de l école au collège dans le champ «géométrie? - Du spatial au géométrique : Exemple 1 : Soient deux maisons et une rivière. Quel est le plus court chemin pour quelqu un qui part de la première maison, va à la rivière chercher de l eau et rentre dans la deuxième maison? Il y a 3 modes de résolution : - pratique par essais et erreurs en réalisant les trajets et en les comparant - pratique sur le papier (au cycle 3) toujours essais erreurs. A * * B - mathématique en utilisant des connaissances mathématiques On passe là du réel à la géométrie et on fait bien la distinction entre résolution expérimentale et démonstration. Exemple 2 : Comparaison d aires : les deux triangles latéraux ont-ils la même aire? Il y a 4 modes de résolution : - perceptive : estimation (école) - pratique : découpage, collage (école) - pratico-mathématique : mesure, calcul, formule (collège) - mathématique : raisonnement (collège)

2 La géométrie de l école au collège : De l école au collège on passe par 3 sortes de géométries et chaque fois cela demande aux élèves un changement de point de vue. Les difficultés des élèves sont réelles car les ruptures sont implicites. Au cycles 1 et 2 : C est la géométrie de la perception. Est vrai ce qui est vu comme tel : un carré, un rectangle La boîte à outils pour la géométrie est l œil. A la fin du cycle 2 et au cycle 3 : C est la géométrie instrumentée. L élève doit dire pourquoi c est un carré. Sont vraies les propriétés contrôlées à l aide d instruments. La boîte à outils pour la géométrie, ce sont les instruments. Au collège : C est la géométrie déductive. Est vrai ce qui est démontré. La boîte à outils de la géométrie, ce sont les théorèmes. Pour aider les élèves à passer de la géométrie instrumentée à la géométrie déductive, on leur proposera dans certaines situations d effectuer un travail géométrique sur un dessin à main levé. Exemple de la reconnaissance du carré : - Au CP, le carré qui est reconnu comme carré est celui placé dans la situation prototypique. - Au CE2, le carré placé dans une situation non prototypique devrait l être aussi. Au CE2 s opère le passage délicat entre la 1 et la 2 géométrie (perception /instrumentation) : un carré est logiquement un rectangle mais n en est pas un visuellement. - En 6, devrait être reconnu un carré tracé à main levée avec le codage angle droit et côtés égaux. : c est le codage qui dit que c est un carré. Quelques repères pour l enseignement : L évolution d une notion : la perpendicularité du CE1 au collège. (dans l esprit des projets de cycles où les différents aspects s enrichissent au fil des années) 1 étape au CE1 : L angle droit est lié au «coin» du carré. Situation 1 : Reconnaître les carrés parmi des figures dessinées. Les élèves reconnaissent le carré sur un quadrillage mais pour les autres sur papier uni, il y a débat. Le seul moyen de lever la controverse est l utilisation du gabarit (avant l équerre). Ce gabarit est un carré reconnu, un ««coin» de carré )

3 Situation 2 : Retrouver des angles droits dans d autres figures en s aidant des gabarits qu l on s est donné. Situation 3 : Des jeux de portraits sur des figures géométriques. 2 étape au CE2 : Des gabarits aux équerres On aura dans la boîte à outils différentes sortes d équerres fabriquées (en carton) : équerre ordinaire sans graduations, équerre en L ou T. Ces équerres serviront à identifier les angles droits, reconnaître des figures, en construire. 3 étape au CE2 : La perpendicularité. A - Point de départ : en sciences, les élèves découvrent l horizontale avec le niveau à bulle et la verticale avec le fil à plomb. B - Faire le lien avec l angle droit. Retrouver la trace du fil à plomb lorsqu on fait coïncider cette ligne avec le niveau à bulle. Les élèves travaillent à plat. La vérification se fait au tableau avec l horizontale et le fil à plomb. * C Définition : Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont deux droites perpendiculaires. 4 étape au CE2 : Enrichir la perpendicularité Tracer, identifier 1 - à vue, à main levée 2 avec l équerre Ici on revient de l instrumenté (phase précédente) au perceptif.

4 Autre image de la perpendicularité : le pliage Sur une feuille aux contours irréguliers, est tracée une droite ; on demande aux élèves de plier pour avoir deux droites perpendiculaires. Il y a deux stratégies : plier une fois en faisant coïncider les extrémités de la droite tracée et plier deux fois d abord en suivant la droite tracée puis en repliant en faisant coïncider les bords. 5 étape au CM1 : L angle droit parmi d autres angles ; l angle droit vaut ¼ de tour On propose une figure constituée de 4 angles différents. Il s agit de trouver un moyen de tracer 4 segments qui déterminent 4 angles égaux. On observe 3 manières de faire : - Un angle est construit puis un deuxième mais sans méthode qui permette de s assurer de l efficacité de la construction. - Tracé d un angle droit, puis un autre.mais sans lien avec la perpendicularité. - Tracé de deux droites perpendiculaires. On conclut à la fin de la séance : Deux droites perpendiculaires déterminent 4 angles droits. C est une étape importante. 6 étape au CM2 : La perpendicularité comme outil - pour le parallélisme : Construire une droite parallèle à d et passant pas A ; à l école primaire, on utilise plutôt l écart constant. - pour la symétrie : Construire le symétrique par rapport à une droite d une figure qui a des angles droits.

5 7 étape au CM2 : Un nouvel aspect de la perpendicularité Situation 1 : Trouver le point de la droite d le plus proche de A A Situation 2 : Ecrire une méthode qui permet de trouver du premier coup le point d une droite qui est le plus proche d une point qui n est pas sur la droite

6 8 étape au CM2 : Réinvestir - dans l espace ordinaire - pour décrire une figure - pour reproduire une figure - pour construire une figure o d après une description o d après un schéma Exemple : Sur un papier uni, construire en vraie grandeur, la figure qui correspond à ce schéma (réalisé à main levée) Au collège : - Tracé à la règle et au compas (médiatrice) - Mesure : 90 - rapporteur - Double perpendicularité et parallélisme - Perpendicularité et distance d un point à une droite - Perpendicularité et Pythagore - Perpendicularité et demi cercle Quelques éléments de la discussion : - Pas de définition de la droite à l école primaire : trop complexe - En géométrie, la proximité entre le réel et la représentation induit les élèves en erreur. - Les maths ont été inventés pour résoudre des problèmes du réel. Puis les mathématiciens ont posé des problèmes internes aux mathématiques. L école doit gérer le rapport entre la géométrie de l école (théorique) et le monde extérieur. - La manipulation de l équerre doit être traitée comme un geste conceptuel dans le projet de réaliser un angle droit, de tracer une perpendiculaire. Plus je comprends, mieux j apprends. Pertuis le 29 novembre 2006 Notes prises par Nicole Reboul.