Mathématiques. Nom : Prénom : Classe : 2. Déterminer le complémentaire de A dans E dans chacun des cas suivants : a. A = ] - ; 3] et E =

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1 Classes de Secondes Mathématiques 4 décembre 014 Nom : Prénom : Classe : Note : /40 Durée heures Observations : Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. La calculatrice est autorisée. Exercice 1 : (5 points) 1. Déterminer I J K et I J K pour I = -10 ; -, J = -5 ; et K = - ; 7.. Déterminer le complémentaire de A dans E dans chacun des cas suivants : a. A = ] - ; 3] et E = b. A = {1 ; ;3} et E = {0 ;1 ; ;3 ;4} Exercice : (8 points) On considère la fonction g définie par : g(x) 5x x 3. 1

2 1. Donner le domaine de définition de g.. Calculer les images de -1 et 5 par la fonction g. 3. Vérifier que est un antécédent de -0 par la fonction g.

3 On a tracé la fonction g sur l intervalle - ; Lire graphiquement : a. le ou les antécédent(s) de 5 et de 1. b. l image de -6. Exercice 3 : (5 points) La fonction f est définie sur l intervalle [-3 ;4] par : f (x) 4x 16x Construire, à l aide de la calculatrice, le tableau de valeurs de f pour x variant de -3 à 4 avec un pas de 1. 3

4 . Choisir une fenêtre qui permettra d afficher toute la courbe représentative de f sur l écran de la calculatrice pour l intervalle [-3 ;4]. Xmin : Ymin : Xmax : Ymax : 3. Conjecturer le tableau de variations de f sur l intervalle [-3 ;4]. Exercice 4 : (10 points) Dans un plan muni d un repère (O ; I ; J), on a placé les points suivants : N ( -1,6 ; -0,8 ) E ( -4 ;,4) F (,4 ; 7,) 4

5 On complètera la figure au fur et à mesure de l exercice. 1. Calculer les longueurs des côtés du triangle NEZ.. Démontrer que le triangle NEZ est rectangle. 3. Calculer les coordonnées du milieu K de NZ. 5

6 4. A est le symétrique de E par rapport à K. a. Placer le point A. b. Démontrer que NAZE est un rectangle. 5. La droite perpendiculaire à (NZ) passant par le point E coupe (NZ) en M et la droite perpendiculaire à (EK) passant par N coupe (EM) en H. Démontrer que les droites (KH) et (EN) sont perpendiculaires. 6

7 Exercice 5 : (4 points) On donne la série statistique suivante : Valeurs Effectifs 7 a 5 a 1 1. Déterminer la valeur de a sachant que la moyenne est égale à 3,96.. Calculer la médiane de cette série. 7

8 Exercice 6 : (8 points) On a étudié la fréquence cardiaque au repos (FCR) d un groupe de 60 sportifs amateurs hommes et femmes. Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant : Compléter le tableau suivant. FCR Effectif E.C.C F.C.C E.C.C. : Effectifs cumulés croissants F.C.C. : Fréquences cumulées croissantes : à renseigner en pourcentage arrondi au dixième.. Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de la série des FCR. 3. Calculer la moyenne et l étendue de la série des FCR. 8

9 CORRECTION Exercice 1 : (5 points) 1. Déterminer I J K et I J K pour I = -10 ; -, J = -5 ; et K = - ; 7. I J K = {-} (ou [- ;-]) I J K = [-10 ;7]. Déterminer le complémentaire de A dans E dans chacun des cas suivants : a. A = ] - ; 3] et E = A = ]3 ; + [ b. A = {1 ; ;3} et E = {0 ;1 ; ;3 ;4} A = {0 ;4} Exercice : (8 points) On considère la fonction g définie par : 1. Donner le domaine de définition de g(x) existe si x 3 0 soit si x 3. g(x) 5x x 3. Le domaine de définition de la fonction g est donc Dg = \ 3. g.. Calculer les images de -1 et g(-1) = -5 (-1)² (-1) - 3 = = -5-5 = 1 L image de -1 par la fonction g est 1. g = ² 5 = = = par la fonction g. L image de 5 par la fonction g est Vérifier que est un antécédent de -0 par la fonction g. g() = -5 ² - 3 = -0 1 = -0. Donc est bien un antécédent de -0 par la fonction g. 9

10 CORRECTION On a tracé la fonction g sur l intervalle - ; Lire graphiquement : a. le ou les antécédent(s) de 5 et de 1. On lit les abscisses des points A et B de la courbe ayant 5 pour ordonnée. Les antécédents de 5 par la fonction g sont environ -3 et 1. On lit les abscisses des points C et D de la courbe ayant 1 pour ordonnée. Les antécédents de 1 par la fonction g sont environ -1 et 0,6. b. l image de -6. On lit l ordonnée du point E de la courbe ayant -6 pour abscisse. L image de -6 par la fonction g est environ 1. 10

11 CORRECTION Exercice 3 : (5 points) La fonction f est définie sur l intervalle [-3 ;4] par : f (x) 4x 16x Construire, à l aide de la calculatrice, le tableau de valeurs de f pour x variant de -3 à 4 avec un pas de 1. x g(x) -34,0,0 30,0 50,0 6,0 66,0 6,0 50,0. Choisir une fenêtre qui permettra d afficher toute la courbe représentative de f sur l écran de la calculatrice pour l intervalle [-3 ;4]. Xmin : -3 Ymin : -34 Xmax : 4 Ymax : Conjecturer le tableau de variations de f sur l intervalle [-3 ;4]. x f(x)

12 CORRECTION Exercice 4 : (10 points) Dans un plan muni d un repère (O ; I ; J), on a placé les points suivants : N ( -1,6 ; -0,8 ) E ( -4 ;,4) Z (,4 ; 7,) On complètera la figure au fur et à mesure de l exercice. 1. Calculer les longueurs des côtés du triangle NEZ. NE² = (xe xn)² + (ye yn)² = (-4 + 1,6)² + (,4 + 0,8)² = 5, ,4 = 16 = 4² Donc NE = 4 NZ² = (xz xn)² + (yz yn)² = (,4 + 1,6)² + (7, + 0,8)² = = 80 Donc NZ = 80 = 16 5 = 4 5 EZ² = (xz xe)² + (yz ye)² = (,4 + 4)² + (7,,4)² = 40,96 + 3,04 = 64 = 8² Donc EZ = 8. Démontrer que le triangle NEZ est rectangle. NZ² = 80 et NE² + EZ² = = 80. L égalité de Pythagore NZ² = NE² + EZ² étant vérifiée le triangle NEZ est rectangle en E. xk xk = 3. Calculer les coordonnées du milieu K de NZ. = xn + xz -1,6 +,4 et yk = yn + yz = 0,4 et yk = -0,8 + 7, Les coordonnées de K sont (0,4 ;3,). = 3, 1

13 CORRECTION 4. A est le symétrique de E par rapport à K. a. Placer le point A. b. Démontrer que NAZE est un rectangle. Le quadrilatère NAZE ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu est donc un parallélogramme. Le parallélogramme NAZE ayant un angle droit (en E car le triangle NEZ est rectangle en E) est donc un rectangle. 5. La droite perpendiculaire à (NZ) passant par le point E coupe (NZ) en M et la droite perpendiculaire à (EK) passant par N coupe (EM) en H. Démontrer que les droites (KH) et (EN) sont perpendiculaires. Le point K étant le point d intersection des hauteurs (EM) issue de E et (NH) issue de N dans le triangle NEK est donc l orthocentre de ce triangle. Le point K appartient aussi à la troisième hauteur du triangle NEK issue de K. (car les 3 hauteurs d un triangle sont concourantes). Donc la droite (KH) est perpendiculaire à la droite (EN) (par définition d une hauteur). Exercice 5 : (4 points) On donne la série statistique suivante : Valeurs Effectifs 7 a 5 a 1 1. Déterminer la valeur de a sachant que la moyenne est égale à 3,96. m = a a a a + 1 = 13a a + 13 m = 3,96 13a a + 13 = 3,96 13a + 47 = 3,96 (3a + 13) 13a + 47 = 3,96 3 a + 3, a + 47 = 11,88a + 51,48 13a 11,88a = 51, ,1a = 4,48 a = 4,48 1,1 = 4 13

14 CORRECTION. Calculer la médiane de cette série. On peut calculer les effectifs cumulés croissants : Valeurs Effectifs Effectifs cumulés croissants La médiane correspond à la moitié de l effectif soit la 13 ème valeur. La médiane est donc 3. Exercice 6 : (8 points) On a étudié la fréquence cardiaque au repos (FCR) d un groupe de 60 sportifs amateurs hommes et femmes. Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant : Compléter le tableau suivant. FCR Effec tif E.C.C F.C.C 1,7 3,3 6,7 11,7 0,0 1,7 33,3 40,0 55,0 68,3 76,7 86,7 88,3 98,3 100, 0 E.C.C. : Effectifs cumulés croissants F.C.C. : Fréquences cumulées croissantes : à renseigner en pourcentage arrondi au dixième.. Déterminer la médiane ainsi que les premier et troisième quartiles de la série des FCR. La médiane correspond à une fréquence cumulée supérieure ou égale à 50. Donc Me = 5. 14

15 CORRECTION Le premier quartile correspond à une fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 5. Donc Q1 = 50 Le troisième quartile correspond à une fréquence cumulée croissante supérieure ou égale à 75. Donc Q3 = Calculer la moyenne et l étendue de la série des FCR. Moyenne = Etendue = maximum minimum = 61 4 = 19 = = 5 15