SEMIN- Introduction au modèle linéaire mixte. Sébastien BALLESTEROS UMR 7625 Ecologie Evolution Equipe Eco-Evolution mathématique ENS Ulm, UPMS

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1 SEMIN- Introduction au modèle linéaire mixte Sébastien BALLESTEROS UMR 7625 Ecologie Evolution Equipe Eco-Evolution mathématique ENS Ulm, UPMS SEMIN-R du MNHN 18 Décembre 2008

2 Introduction au modèle linéaire mixte Sébastien Ballesteros UMR 7625 Ecologie Evolution Équipe Eco-Evolution mathématique ENS Ulm, UPMC 18/12/2008 / Semin-R MNHN

3 Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

4 Une longue introduction Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

5 Une longue introduction Un premier exemple : data Rail (nlme) Mesure du temps de voyage d ultrasons le long de rails 4 3 Rail 6 mesure sur 6 rails 1 5 chaque rail est testé 3 fois Zero force travel time (nanoseconds) Question temps de voyage moyen pour un rail typique variation entre les rails variation au sein d un rail

6 Une longue introduction Un premier exemple : data Rail (nlme) Mesure du temps de voyage d ultrasons le long de rails 4 3 Rail 6 mesure sur 6 rails 1 5 chaque rail est testé 3 fois Zero force travel time (nanoseconds) Question temps de voyage moyen pour un rail typique variation entre les rails variation au sein d un rail

7 Une longue introduction Un premier modèle Y ij = µ + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants > model <- lm(travel~1,data=rail) > summary(model) Call : lm(formula = travel ~ 1, data = Rail)... Coefficients : Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-09 *** -- Signif. codes : 0 *** ** 0.01 * Residual standard error : on 17 degrees of freedom

8 Une longue introduction Un premier modèle Y ij = µ + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants > model <- lm(travel~1,data=rail) > summary(model) Call : lm(formula = travel ~ 1, data = Rail)... Coefficients : Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-09 *** -- Signif. codes : 0 *** ** 0.01 * Residual standard error : on 17 degrees of freedom

9 > model <- lm(travel~1,data=rail) Une longue introduction Un premier modèle Y ij = µ + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants residuals rail La variabilité entre les rails augmentent artificiellement la variabilité intra rail

10 Une longue introduction Prise en compte de l effet rail : ANOVA Y ij = µ i + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants > model2 <- lm(travel~rail-1, data=rail) Coefficients : Rail2 Rail5 Rail1 Rail6 Rail3 Rail Call : lm(formula = travel ~ Rail - 1, data = Rail)... Residual standard error : on 12 degrees of freedom Multiple R-squared : , Adjusted R-squared : F-statistic : on 6 and 12 DF, p-value : 2.971e-15

11 Une longue introduction Prise en compte de l effet rail : ANOVA Y ij = µ i + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants > model2 <- lm(travel~rail-1, data=rail) Coefficients : Rail2 Rail5 Rail1 Rail6 Rail3 Rail Call : lm(formula = travel ~ Rail - 1, data = Rail)... Residual standard error : on 12 degrees of freedom Multiple R-squared : , Adjusted R-squared : F-statistic : on 6 and 12 DF, p-value : 2.971e-15

12 Une longue introduction Prise en compte de l effet rail : ANOVA Y ij = µ i + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants residuals rail residus OK, on prend bien en compte l effet rails limite On ne considère que l échantillon spécifique de rails utilisés pour cette expérience alors que notre intérêt principale porte sur la population de rails dont est extrait notre échantillon. Par contre intéressant pour classer les rails.

13 Une longue introduction Prise en compte de l effet rail : ANOVA Y ij = µ i + E ij, E ij N (0, σ 2 ) indépendants residuals rail residus OK, on prend bien en compte l effet rails limite On ne considère que l échantillon spécifique de rails utilisés pour cette expérience alors que notre intérêt principale porte sur la population de rails dont est extrait notre échantillon. Par contre intéressant pour classer les rails.

14 Une longue introduction Modèle à effet aléatoire Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) A i échantillonné au hasard dans la population considérée les mesures faite sur le même rail partagent le même effet aléatoire, elles sont donc corrélées. > library(nlme) > model3 <- lme(travel ~ 1, data=rail, random= ~1 Rail) > summary(model3) Linear mixed-effects model fit by REML... Random effects : Formula : ~1 Rail (Intercept) Residual StdDev : Fixed effects : travel ~ 1 Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept)

15 Une longue introduction Modèle à effet aléatoire Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) A i échantillonné au hasard dans la population considérée les mesures faite sur le même rail partagent le même effet aléatoire, elles sont donc corrélées. > library(nlme) > model3 <- lme(travel ~ 1, data=rail, random= ~1 Rail) > summary(model3) Linear mixed-effects model fit by REML... Random effects : Formula : ~1 Rail (Intercept) Residual StdDev : Fixed effects : travel ~ 1 Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept)

16 Une longue introduction Modèle à effet aléatoire Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) A i échantillonné au hasard dans la population considérée les mesures faite sur le même rail partagent le même effet aléatoire, elles sont donc corrélées. > library(nlme) > model3 <- lme(travel ~ 1, data=rail, random= ~1 Rail) > summary(model3) Linear mixed-effects model fit by REML... Random effects : Formula : ~1 Rail (Intercept) Residual StdDev : Fixed effects : travel ~ 1 Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept)

17 Une longue introduction Résultats > intervals(model3) Approximate 95% confidence intervals Fixed effects : lower est. upper (Intercept) attr(,"label") [1] "Fixed effects :" Random Effects : Level : Rail lower est. upper sd((intercept)) Within-group standard error : lower est. upper On a bien la variabilité inter σ 2 a et intra rail σ 2.

18 Une longue introduction Modèle à effet aléatoire : interprétation Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 )

19 Une courte introduction Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

20 Une courte introduction Modèle linéaire avec mesures non indépendantes modèle linéaire classique : Y N n (XΘ, σ 2 I) on relaxe l hypothèse d indépendance : Y N n (XΘ, Σ) σ 2 1 σ 12 σ 1n σ 21 σ2 2 σ 2n Σ = σ n1 σ n2 σn 2

21 Une courte introduction Modèle linéaire avec mesures non indépendantes modèle linéaire classique : Y N n (XΘ, σ 2 I) on relaxe l hypothèse d indépendance : Y N n (XΘ, Σ) σ 2 1 σ 12 σ 1n σ 21 σ2 2 σ 2n Σ = σ n1 σ n2 σn 2

22 Retour sur les rails Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

23 Retour sur les rails Modèle à effet aléatoire : quelques calculs Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) E[Y ij ] = µ E[Y ij A i ] = µ + A i V [Y ij ] = σ 2 a + σ 2 V [Y ij A i ] = σ 2 Cov[Y ij, Y ij ] = Cov[A i + E ij, A i + E ij ] = σ 2 a Cor[Y ij, Y ij ] = ρ = σ2 a σ 2 a+σ 2

24 Retour sur les rails Modèle à effet aléatoire : quelques calculs Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) E[Y ij ] = µ E[Y ij A i ] = µ + A i V [Y ij ] = σ 2 a + σ 2 V [Y ij A i ] = σ 2 Cov[Y ij, Y ij ] = Cov[A i + E ij, A i + E ij ] = σ 2 a Cor[Y ij, Y ij ] = ρ = σ2 a σ 2 a+σ 2

25 Retour sur les rails Modèle à effet aléatoire : quelques calculs Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) E[Y ij ] = µ E[Y ij A i ] = µ + A i V [Y ij ] = σ 2 a + σ 2 V [Y ij A i ] = σ 2 Cov[Y ij, Y ij ] = Cov[A i + E ij, A i + E ij ] = σ 2 a Cor[Y ij, Y ij ] = ρ = σ2 a σ 2 a+σ 2

26 Retour sur les rails Modèle à effet aléatoire : quelques calculs Y ij = µ + A i + E ij ; A i N (0, σ 2 a), E ij N (0, σ 2 ) E[Y ij ] = µ E[Y ij A i ] = µ + A i V [Y ij ] = σ 2 a + σ 2 V [Y ij A i ] = σ 2 Cov[Y ij, Y ij ] = Cov[A i + E ij, A i + E ij ] = σ 2 a Cor[Y ij, Y ij ] = ρ = σ2 a σ 2 a+σ 2 Y N n (µ1 n, Σ) avec, P 1 ρ ρ Σ = (σ 2 + σa) 2..., P = ρ 1 ρ P ρ ρ 1

27 Retour sur les rails Prédiction Pour l ANOVA classique,en prenant contraintes naturelles ( α i = 0) on a ˆα i = Y i Y Donc naturellement on aurait tendance à prendre  i = Y i Y mais... rappel ( ) (( ) ( )) A µa σ 2 Si N B 2, A σ AB µ B σ AB σb 2 alors, E(A B) = µ A + σ AB (B µ σb 2 B ) Y i N (µ, σ 2 a + σ2 J ) A i N (0, σ 2 a) donc E[A i Y i ] = On a donc Âi = σ2 a σa+σ 2 2 /J (Y i µ) ˆσ2 a ˆσ a+ˆσ 2 2 /J (Y i Y )

28 Retour sur les rails Prédiction Pour l ANOVA classique,en prenant contraintes naturelles ( α i = 0) on a ˆα i = Y i Y Donc naturellement on aurait tendance à prendre  i = Y i Y mais... rappel ( ) (( ) ( )) A µa σ 2 Si N B 2, A σ AB µ B σ AB σb 2 alors, E(A B) = µ A + σ AB (B µ σb 2 B ) Y i N (µ, σ 2 a + σ2 J ) A i N (0, σ 2 a) donc E[A i Y i ] = On a donc Âi = σ2 a σa+σ 2 2 /J (Y i µ) ˆσ2 a ˆσ a+ˆσ 2 2 /J (Y i Y )

29 Retour sur les rails Prédiction Pour l ANOVA classique,en prenant contraintes naturelles ( α i = 0) on a ˆα i = Y i Y Donc naturellement on aurait tendance à prendre  i = Y i Y mais... rappel ( ) (( ) ( )) A µa σ 2 Si N B 2, A σ AB µ B σ AB σb 2 alors, E(A B) = µ A + σ AB (B µ σb 2 B ) Y i N (µ, σ 2 a + σ2 J ) A i N (0, σ 2 a) donc E[A i Y i ] = On a donc Âi = σ2 a σa+σ 2 2 /J (Y i µ) ˆσ2 a ˆσ a+ˆσ 2 2 /J (Y i Y )

30 Retour sur les rails BLUP Best Linear Unbiased Predictor  i = ˆσ2 a ˆσ a+ˆσ 2 2 /J (Y i Y ) ˆσ a 2 ˆσ a+ˆσ 2 2 /J < 1 shrinkage > random.effects(model3) (Intercept)

31 Split-plot Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

32 Split-plot Essai en champs sur des variétés d avoine 6 blocks, 3 variétés d avoines et 4 concentrations d azote

33 Split-plot Une ANOVA classique Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + γ k + (αγ) ik + (βγ) jk + E ijk. E ijk N (0, σ 2 ) > model <- aov(yield~block + Variety + Block :Variety + nitro + Block :nitro + Variety :nitro, data=oats) > summary(model) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Block e-10 *** Variety ** nitro e-14 *** Block :Variety ** Block :nitro Variety :nitro Residuals probleme : les effets block et variétés sont divisé par SCR alors qu ils se manifestent au niveau de la parcelle

34 Split-plot Une ANOVA classique Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + γ k + (αγ) ik + (βγ) jk + E ijk. E ijk N (0, σ 2 ) > model <- aov(yield~block + Variety + Block :Variety + nitro + Block :nitro + Variety :nitro, data=oats) > summary(model) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Block e-10 *** Variety ** nitro e-14 *** Block :Variety ** Block :nitro Variety :nitro Residuals probleme : les effets block et variétés sont divisé par SCR alors qu ils se manifestent au niveau de la parcelle

35 Split-plot Une ANOVA classique Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + γ k + (αγ) ik + (βγ) jk + E ijk. E ijk N (0, σ 2 ) > model <- aov(yield~block + Variety + Block :Variety + nitro + Block :nitro + Variety :nitro, data=oats) > summary(model) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Block e-10 *** Variety ** nitro e-14 *** Block :Variety ** Block :nitro Variety :nitro Residuals probleme : les effets block et variétés sont divisé par SCR alors qu ils se manifestent au niveau de la parcelle

36 Split-plot Avec modèle mixte Y ijk = µ + A i + β j + F ij + γ k + (βγ) jk + E ijk A i N (0, σ1 2), F ij N (0, σ2 2), E ijk N (0, σ 2 ) en R dispositif équilibré : aov sinon : lme

37 Split-plot Avec modèle mixte Y ijk = µ + A i + β j + F ij + γ k + (βγ) jk + E ijk A i N (0, σ1 2), F ij N (0, σ2 2), E ijk N (0, σ 2 ) en R dispositif équilibré : aov sinon : lme

38 Split-plot Fonction aov Y ijk = µ + A i + β j + F ij + γ k + (βγ) jk + E ijk A i N (0, σ 2 1 ), F ij N (0, σ 2 2 ), E ijk N (0, σ 2 ) > model <- aov(yield~nitro*variety +Error(Block/Variety), data=oats) > summary(model) Error : Block Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Residuals Error : Block :Variety Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Variety Residuals Error : Within Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nitro e-14 *** nitro :Variety Residuals

39 Split-plot Fonction lme (library(nlme)) Y ijk = µ + A i + β j + F ij + γ k + (βγ) jk + E ijk A i N (0, σ 2 1 ), F ij N (0, σ 2 2 ), E ijk N (0, σ 2 ) > model <- lme(yield~nitro*variety, data=oats, random=~1 Block/Variety) > anova(model) numdf dendf F-value p-value (Intercept) <.0001 nitro <.0001 Variety nitro :Variety On a bien les bons degrès de libertés

40 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

41 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesure d un traceur au cours du temps dans les ganglions lymphatiques de 10 Chiens >xyplot(pixel~day Dog) #library(lattice) pixel chiens testé 2 ganglions lymphatiques (gauche et droit) testé par chien mesures de la concentration d un traceur aucours du temps day

42 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Le modèle : lme Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt > model <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=list(dog=~day, Side=~1)) > summary(model) Linear mixed-effects model fit by REML Random effects : Formula : ~day Dog Structure : General positive-definite, Log-Cholesky parametrization StdDev Corr (Intercept) (Intr) day Formula : ~1 Side %in% Dog (Intercept) Residual StdDev : Fixed effects : pixel ~ day + I(day^2) Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) day I(day^2)

43 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Le modèle : lme Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt > model <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=list(dog=~day, Side=~1)) > summary(model) Linear mixed-effects model fit by REML Random effects : Formula : ~day Dog Structure : General positive-definite, Log-Cholesky parametrization StdDev Corr (Intercept) (Intr) day Formula : ~1 Side %in% Dog (Intercept) Residual StdDev : Fixed effects : pixel ~ day + I(day^2) Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) day I(day^2)

44 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Remarque : Maximum de vraisemblance restreint Y N n (XΘ, Σ) ˆΘ maximum de vraisemblance mais il faut estimer Σ Le probleme de l estimateur du maximum de vraisemblance de Σ est qu il est biaisé à cause de l estimation de Θ. On s arrange pour ne pas estimer Θ dans un premier temps maximum de vraisemblance restreint (ReML) Conséquence ReML pour comparaison de modèles ne comparer des modèles par test de modèle emboîté ou AIC...que pour des modèles ayant les même effets fixes sinon utiliser le ML (method= ML )

45 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Remarque : Maximum de vraisemblance restreint Y N n (XΘ, Σ) ˆΘ maximum de vraisemblance mais il faut estimer Σ Le probleme de l estimateur du maximum de vraisemblance de Σ est qu il est biaisé à cause de l estimation de Θ. On s arrange pour ne pas estimer Θ dans un premier temps maximum de vraisemblance restreint (ReML) Conséquence ReML pour comparaison de modèles ne comparer des modèles par test de modèle emboîté ou AIC...que pour des modèles ayant les même effets fixes sinon utiliser le ML (method= ML )

46 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Remarque : Maximum de vraisemblance restreint Y N n (XΘ, Σ) ˆΘ maximum de vraisemblance mais il faut estimer Σ Le probleme de l estimateur du maximum de vraisemblance de Σ est qu il est biaisé à cause de l estimation de Θ. On s arrange pour ne pas estimer Θ dans un premier temps maximum de vraisemblance restreint (ReML) Conséquence ReML pour comparaison de modèles ne comparer des modèles par test de modèle emboîté ou AIC...que pour des modèles ayant les même effets fixes sinon utiliser le ML (method= ML )

47 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Test de modèles emboîtés modèle 1 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aleatoire coté au sein de chaque chien modèle 2 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aléatoire sur la pente par chien modèle 3 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt > model1 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=list(dog=~day, Side=~1)) > model2 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random= ~day Dog) > model3 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=~1 Dog/Side) > anova(model1,model2) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001 > anova(model1,model3) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001

48 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Test de modèles emboîtés modèle 1 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aleatoire coté au sein de chaque chien modèle 2 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aléatoire sur la pente par chien modèle 3 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt > model1 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=list(dog=~day, Side=~1)) > model2 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random= ~day Dog) > model3 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=~1 Dog/Side) > anova(model1,model2) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001 > anova(model1,model3) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001

49 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Test de modèles emboîtés modèle 1 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aleatoire coté au sein de chaque chien modèle 2 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aléatoire sur la pente par chien modèle 3 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt > model1 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=list(dog=~day, Side=~1)) > model2 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random= ~day Dog) > model3 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=~1 Dog/Side) > anova(model1,model2) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001 > anova(model1,model3) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001

50 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Test de modèles emboîtés modèle 1 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aleatoire coté au sein de chaque chien modèle 2 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + B i d it + β 2 d 2 it + E ijt On enlève au modèle 1 l effet aléatoire sur la pente par chien modèle 3 : Y ijt = µ + A i + β 1 d it + β 2 d 2 it + C ij + E ijt > model1 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=list(dog=~day, Side=~1)) > model2 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random= ~day Dog) > model3 <- lme(pixel~day +I(day^2), data=pixel, random=~1 Dog/Side) > anova(model1,model2) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001 > anova(model1,model3) Model df AIC BIC loglik Test L.Ratio p-value model model vs <.0001

51 Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Fit (modèle 1) >plot(augpred(model1)) /L 7/L 8/L 9/L 10/L /L 2/L 3/L 4/L 5/L Pixel intensity /R 7/R 8/R 9/R 10/R /R 2/R 3/R 4/R 5/R Time post injection (days)

52 Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats) Lignes directrices 1 Introduction Une longue introduction Une courte introduction 2 Applications Retour sur les rails Split-plot Facteurs emboîtés et comparaison de modèles (exemple chiens) Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats)

53 Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats) Prise de poids de rats en fonction du régime alimentaire >results <- groupeddata(poids~temps rat,outer=~regime,data) >plot(results,outer=true) fort moyen poids atemoin faible rats testé 5 rat par traitement (4 traitement) 10 mesures, 1 par semaine sur chaque rat temps

54 Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats) Le modèle : lme Y ijt = µ + α i + B ij + γ t + (αγ) ik + E ijt B ij N (0, σ 2 B ), E ijt N (0, σ 2 ) > model3 <- lme(poids~regime*as.factor(temps),data=results, random=~1 rat) > summary(model3) Linear mixed-effects model fit by REML Random effects : Formula : ~1 rat (Intercept) Residual StdDev : > anova(model3) numdf dendf F-value p-value (Intercept) <.0001 regime as.factor(temps) <.0001 regime :as.factor(temps)

55 Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats) Correlations... P Σ = (σ 2 + σb 2)..., un block P (10*10) (10 temps) P par rat. 1 ρ ρ. P = ρ ρ ρ ρ 1 Toutes les mesures prises sur le même rat sont également corrélées Cor[Y ijt, Y ijt ] = ρ = σ2 B σ 2 B +σ2 On peut améliorer avec par exemple : Cor[Y ijt, Y ijt ] = ρ t t

56 Mesures répétées et structure de correlation (exemple rats) Structure de correlation et lme Cor[Y ijt, Y ijt ] = ρ t t > model4 <- lme(poids~regime*as.factor(temps),data=results, random=~1 rat, correlation=corar1()) Random effects : Formula : ~1 rat (Intercept) Residual StdDev : Correlation Structure : AR(1) Formula : ~1 rat Parameter estimate(s) : Phi comparaison de modèles > AIC(model3,model4) df AIC model model

57 Références Mixed-Effects Models in S ans S-PLUS ; José C. Pinheiro, Douglas M. Bates Modern Applied Statistics with S Fourth edition ; W. N. Venables and B. D. Ripley Statistical Methods for the Analysis of Repeated Measurements ; Charles S. Davis Ecological Models and data in R ; Benjamin M. Bolker The R book Michael J. Crawley Models for Ecological Data ; James S. Clark Statistique inférentielle Idée, démarche, exemples ; Jean-Jacques Daudin, Stéphane Robin, Colette Vuillet