Que peut-on dire de et?

Transcription

1 VARIABLES ALEATOIRES I) Introduction 1.1) Un premier exemple On considère une urne contenant 5 boules noires, 2 boules bleues et 3 boules rouges. On extrait simultanément trois boules de l'urne. Sur chaque triplet que l'on obtient, on peut s'intéresser à des choses tout à fait différentes. Par exemple au nombre de boules noires qu'il contient. Ce nombre peut être égal à 0,1,2 ou 3. Ou au nombre de boules bleues qui lui peut être égal à 0, 1 ou 2. Ou encore au nombre de couleurs différentes que l'on a : il peut y en avoir 1, 2 ou 3. Dans chacun de ces cas, le même univers des possibles qui est l'ensemble de tous les tirages simultanés de trois boules fournit des renseignements différents selon ce que l on examine. Reprenons l'exemple du nombre de boules noires et appelons ce nombre. On a vu que peut prendre les valeurs 0,1,2 ou 3. Si Ω est l'univers des possibles associé à l'expérience, on écrira que Ω 0,1,2,3 On dira que Ω est l'univers image de Ω par la variable. Si l'on appelle le nombre de boules bleues, et le nombre de couleurs, on a 0,1,2 1,2,3 Prenons un triplet particulier obtenu par l'expérience aléatoire,, Pour ce triplet on aura 2, 0, 2 On écrira 2, 0, 2 Avec le triplet,,, on aura : 1, 1, 1 Proposer un triplet tel que 0, 2. Que vaut? apparaît comme une application de Ω dans 1,2,3,4. Que peut-on dire de et? Les trois applications précédentes sont appelées variables aléatoires et parfois variables aléatoires réelles ce que l'on écrit parfois VAR.

2 Ce sont des variables puiqu'elles prennent différentes valeurs. Elles sont aléatoires dans le sens où elles sont associées à une expérience aléatoire. Par abus d'écriture, on définira l'évènement 2 qui correspond au sous-ensemble de Ω composé des triplets contenant deux boules noires. Cet évènement est réalisé si l'issue de l'expérience aléatoire est un triplet contenant deux boules noires. Comme il s'agit d'un évènement composé d'évènements élémentaires, on peut en calculer la probabilité en considérant la probabilité uniforme induite. On a Ω Donc Calculer de la même façon 0, 1, 3 Puis Que remarque t on? Ce résultat était-il prévisible? Ce résultat était prévisible, car la famille 0, 1, 2, 3 forme un système complet d'évènements. Justifier l affirmation précédente C'est le système complet d'évènements canoniquement associé à la variable. On peut résumer les résultats précédents sous la forme d'un tableau : /12 5/12 5/12 1/12 Ce tableau constitue la loi de probabilité de la variable. De la même façon, définir les systèmes complets d'évènements associés aux variables et. Déterminer les lois de probabilité de ces deux variables. 1.2) Un exemple standard On considère une espace probabilisé Ω,, où Ω est un univers des possibles fini ou dénombrable associé à une expérience aléatoire quelconque. Soit un évènement. On peut créer une variable aléatoire associée à de la façon suivante : pour tout évènement ω de Ω, on a :

3 0 si 1 si On dit que est la fonction indicatrice de et on la note souvent. L'évènement 1 est donc l'ensemble des éléments ω de Ω tels que 1, c'est-à-dire ceux appartenant à. Réciproquement si ω, alors ω 1. On a donc 1 De même 0 ω, ω 0 ω,ω. On aura 1 et 0 1 Une variable aléatoire de ce type, c'est-à-dire telle que Ω 0,1 est une variable de Bernoulli. 1.3) Troisième exemple On lance 3 fois une pièce et l'on s'intéresse au nombre de piles obtenus. On suppose que les résultats de chaque lancer sont indépendants. est la probabilté d'obtenir un pile à un lancer donné, et donc la probabilité d'obtenir face est 1. Le nombre de piles obtenus est un nombre entier entre 0 et 3. L'univers des possibles de l'expérience peut être décrit de la façon suivante : Ω,,,,,,, On définit ainsi une variable aléatoire X de la façon suivante : 0 1,, 2,, 3 Déterminer la loi de probabilité de. Si la pièce est considérée comme bien équilibrée, on aura Dans ce cas on obtient ainsi la loi de probabilité suivante /8 3/8 3/8 1/8 Considérons maintenant l'expérience aléatoire suivante : une urne contient 8 boules : une boule portant le numéro 0, trois boules portant le numéro 1, trois boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. On extrait une boule de l'urne et l'on appelle la variable aléatoire

4 correspondant au numéro de la boule tirée. Cette variable aléatoire a la même loi de probabilité que. On peut donc simuler c'est-à-dire remplacer la première expérience aléatoire par cette dernière. Dans chacun des exemples précédents, on peut associer au nombre de piles obtenus ou au numéro de la boule tirée un gain équivalent en euros. La loi de probabilité ci-dessus peut alors s'interpréter de la façon suivante : sur 8 parties jouées, en moyenne on ne gagnera rien une fois, on gagnera un euro trois fois, deux euros trois fois également, et trois euros une fois. Le gain moyen sur 8 parties sera donc égal à : Par partie, ce gain sera donc de ,5 2 On peut retrouver ce résultat en faisant le calcul suivant : ,5 2 Le nombre obtenu s'appelle espérance mathématique de la variable ou de la variable 1.4) Quatrième exemple L'expérience aléatoire consiste à lancer un dé que l'on peut considérer comme bien équilibré jusqu'à ce que l'on obtienne un "6". L'univers des possibles associé à cette expérience est donc l'ensemble des suites de tirages de la forme On suppose que le résultat de chaque lancer est indépendant des précédents et des suivants. On désigne par la variable aléatoire égale au nombre de lancers pour obtenir un "6". A priori, peut prendre toute valeur entière entre 1 et. On a donc Ω L'évènement est égal à "" Les lancers étant indépendants, on a : Nous verrons qu'une telle loi de probabilité s'appelle loi géométrique. Prenons un réel quelconque. On peut se poser la question du calcul de. Commençons par quelques exemples. 3,4, 2 Déterminer 3, si 5,6

5 Examinons le cas général. Il n'est pas possible que l'on ait si est strictement inférieur à 1. Donc 1, 0 Prenons un réel 1. Soit. On a Nous avons encore une fois par incompatibilité : Si l on pose, on a 0, , ) Définition Définition : Ω,T,P un espace probabilisé. Une application de Ω dans R est une variable aléatoire sur Ω si : R, Ω, est un évènement lié à l'expérience aléatoire autrement dit est un élément de la tribu T. Autrement dit on peut calculer la probabilité Ω,. Cet évènement est décrit plus simplement par et l'on écrit. Propriétés déduites de la définition 1.Si est un évènement, l'est aussi En effet 2. est un évènement. En effet a 3. est un évènement. La démonstration est plus compliquée. On considère la suite d'évènements. Cette suite est décroissante. En effet on a pour tout entier

6 Donc si alors. Donc. On sait alors que est un évènement dont la limite est un évènement d'après les propriétés des tribus : cette limite est justement l'évènement. 4. est un évènement. En effet. 5. et sont des évènements. Ecrire ces ensembles comme intersection de deux évènements. L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire définie sur l'univers Ω est noté Ω. On l'appelle univers image 1.5) Variables aléatoires réelles discrètes Définition Soit X une VAR d'un ensemble Ω dans R. On dit que cette VAR est discrète si Ω est un ensemble fini ou dénombrable. 1.6) Opérations sur les variables aléatoires réelles Les opérations sur les VAR sont celles que l'on définit habituellement sur les fonctions numériques. On considère un espace probabilisé Ω,, et deux VAR définies sur cet espace : et. On peut alors définir la variable somme par Ω, De même, on définira la variable produit par Ω, Enfin, on définit la variable, où est un réel, par On peut définir ainsi la somme de plusieurs variables aléatoires. Dans l'expérience aléatoire correspondant au lancer d'une pièce, l'univers des possibles est Ω pile,face

7 On peut associer à cet univers une variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'on a obtenu "pile" et 0 si l'on a obtenu "face". On répète fois cette expérience et l'on définit ainsi n variables aléatoires :,,,. On définit enfin la variable Cette variable prend toute valeur entière de 0 à. Elle correspond en fait au nombre de "piles" que l'on a obtenu sur les lancers. 1.7) Loi de probabilité d'une variable discrète Définition : Soit Ω,, un espace probabilisé et une VAR discrète sur Ω. On appelle loi de probabilité de la suite éventuellement finie définie de la façon suivante : 1, Ω,, _ Ω Exemple 1 : On reprend l'exemple de la pièce que l'on lance fois. On suppose que la probabilité d'obtenir "pile" est égale à et celle d'obtenir "face" est égale à 1. On s'intéresse au nombre de "piles" obtenu. Nous avons vu cet exemple dans l'introduction avec 3. On avait obtenu : Reprendre l exercice avec 4. On commencera par décrire Ω. On peut bien entendu construire d'autres VAR sur Ω. Considérons par exemple la VAR qui associe à tout élément de Ω le nombre maximum de piles consécutifs qui apparaissent dans cet élément en prenant pour convention que s'il n'y a aucun pile, la variable prendra la valeur 0 et si tous les "piles" présents sont isolés, elle prendra la valeur 1. Déterminer Ω. Décrire l évènement pour tout entier de. En déduire la loi de probabilité de Exemple 2 Si l'on reprend le même type de variable que avec 10, il devient bien plus difficile de déterminer Ω. On peut par exemple dire que 6, mais combien d'éléments de Ω sont tels que leur image par est 6.

8 On peut considérer chaque élément de Ω comme un mot de 10 lettres écrit avec les deux symboles F et P. Chaque mot correspond à une application de l'ensemble 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 dans l'ensemble F,P. Il y a 2¹⁰ 1024 applications de ce type. C est pour cela qu il devient vraiment difficile de décrire exhaustivement l'ensemble Ω. On sait que Ω 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. On peut pourtant définir la loi de probabilité de. Plaçons-nous dans un problème concret. On suppose que 1 3 et donc 2 3. On peut modéliser le problème de la façon suivante : une urne contient 3 boules numérotées de 1 à 3, la boule numéro 1 est blanche, les deux autres sont noires. L expérience aléatoire consiste alors à extraire une boule, à noter son numéro, puis à remettre cette boule dans l urne. On suppose que les boules sont indiscernables au toucher et donc qu elles ont toutes la même probabilité d être tirée. On procède ainsi à 10 tirages successifs. On obtient des mots de longueur 10 écrits avec les trois symboles 1,2 et 3. Il y a 3 mots de ce type autant que d applications d un ensemble à 10 éléments correspondant au numéro du tirage dans un ensemble à 3 éléments. La variable qui correspond au nombre de "1" dans chaque mot simule la variable. Elles ont les mêmes lois de probabilité. L évènement 0 est réalisé si l on obtient un mot ne contenant pas de "1". Le cardinal de l ensemble 0est égal au nombre de mots écrits avec uniquement les symboles «2» et «3». Il y a 2 mots de ce type. Comme nous sommes en situation d équiprobabilité, on peut conclure par indépendance que : 0 0 Ω L évènement 1 est réalisé l on obtient un mot ne contenant qu un seul "1". Le cardinal de l ensemble 1est égal au nombre de mots écrits avec un «1» et neuf symboles «2» ou «3». Pour déterminer ce cardinal, on effectue une procédure à deux étapes. On choisit une place pour le «1», puis on met sur les neuf places restantes un mot de longueur 9 composé uniquement de «2» et de «3». Il y a 2 mots de ce type. On a donc par indépendance : De la même façon, déterminer 2, 3 et plus généralement pour tout entier compris entre 1 et 10,. Vérifier la formule obtenue pour 0 et 10. On dit que la variable aléatoire et donc aussi la variable suit une loi binomiale. Nous reverrons ce type de loi un peu plus loin.

9 Exemple 3 On considère la situation suivante : une urne contient 12 boules : huit rouges et quatre bleues. On extrait simultanément 3 boules de l'urne. Soit la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges que l'on a obtenu dans les trois boules extraites. L'ensemble Ω est constitué par tous les sous-ensembles de trois boules que l'on peut extraire de l'urne. Il y en a On a Ω 0,1,2,3. L'évènement 0 correspond au tirage de trois boules bleues. Il y a 4 4 tirages de ce type 3 possibles. On a donc : L'évènement 1 correspond au tirage d'une boule rouge et de deux boules bleues, donc à un triplet de trois boules contenant une rouge et deux bleues. Calculer 1, puis 2 et On peut généraliser le type de calcul que l'on vient de faire à une urne contenant boules : rouges et bleues. On extrait de l'urne boules et l'on s'intéresse au nombre de boules rouges obtenues. L'univers des possibles contient ensembles de éléments extraits parmi les boules de l'urne. On a Ω 0,1,...,. Pour 0,1,...,, on aura On dira que X suit une loi hypergéométrique. Nous reviendrons sur cette loi ultérieurement. 1.8) Caractérisation d'une loi de probabilité d'une VAR discrète Propriété directe Théorème Soit Ω,, un espace probabilisé et une VAR définie sur Ω. On suppose que,,...,,... On pose pour tout 1,. On a les propriétés suivantes : 1, 0 2 lim 1

10 Bien entendu dans le cas d'une variable discrète prenant un nombre fini de valeurs, on remplace la limite tout simplement par 1 Remarque lim est la somme d'une série. La première propriété est évidente, puisqu'il s'agit de probabilité. Nous avons vu dans des cas particuliers que la famille forme un système complet d évènements fini ou dénombrable d'évènements. Cette propriété se généralise. En effet, puisque est une application, si ω est un élément de Ω, il existe une valeur et une telle que. Donc tout élément ω de Ω appartient à un et un seul des ensembles. Ces ensembles sont disjoints deux à deux un même élément de Ω n'a qu'une image par et leut réunion forme Ω. D'après les axiomes de Kolmogorov, on a : lim lim Ω 1 Exemple 1 : On reprend l exemple de la loi binomiale vue dans l exemple 2 du 1-7. On a trouvé que 0,10, On a alors Exemple 2 Dans l exemple 1-4, nous avons rencontré une variable aléatoire telle que son univers image est Ω et telle que On a pour tout entier 1,, On procède à un changement de variable : On a donc

11 Et donc lim lim Dans ce type de situation, la question est de savoir si nous avons vraiment un système complet d'évènements. En effet si les évènements sont bien réalisables et disjoints deux à deux, on n'a pas prouvé que leur réunion était égale à Ω, mais que la probabilité de cette réunion est égale à celle de Ω. Autrement dit que le complémentaire de cette réunion est de probabilité nulle. Mais s'agit-il de l'évènement impossible, ou seulement d'un évènement quasi-impossible? On dit que la famille des forme un système quasi-complet d'évènements. Cette situation se reproduira dans ce genre de problèmes. Les énoncés par abus de langage considèrent qu'il s'agit simplement d'un système complet d'évènements. Propriété réciproque Si Ω, Ω est un espace probabilisable fini contenant évènements élémentaires, on considère un -uplet de valeurs réelles,,, et un -uplet de nombres réels positifs,,, tels que : 1 Alors on peut définir une variable aléatoire sur Ω par sa loi de probabilité : Ω,,, 1, De la même façon si Ω est un ensemble infini dénombrable, si l'on dispose d'une suite croissante,,,, qui tend vers et d'une suite, composé de nombres positifs tels que 1 alors on peut définir une variable aléatoire sur Ω par sa loi de probabilité : Ω,,,,, Bien évidemment la remarque que nous avons faite un peu plus haut reste valable : la famille constitue un système quasi complet d'évènements. Cet énoncé réciproque permet de considérer des variables aléatoires indépendamment de toute expérience aléatoire en donnant seulement leur loi à partir d'un espace probabilisé non précisé ce qui justifie la simulation. 1.9) Représentation graphique d'une loi Deux grandes façons sont utilisées pour représenter graphiquement une VAR : les diagrammes en bâtons et les histogrammes.

12 Considérons par exemple la variable aléatoire définie par la loi de probabilité suivante : /10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10 Sa représentation sous la forme de bâtons sera la suivante : 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Si nous prenons le cas d'une loi binomiale de paramètres et, on a En appliquant la formule Ω0,1,2,...,10. on obtient la loi de probabilité suivante : ,017 0,087 0,195 0,26 0,228 0,137 0,057 0,016 0,003 0, On représente graphiquement ce type de série habituellement par un histogramme. 3/10 1/4 1/5 3/20 1/10 1/20 0

13 1.10) Fonction de répartition Définition Soit X une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,. On appelle fonction de répartition de, la fonction définie par : R, Exemple de la loi donnée du premier exemple graphique Déterminer la fonction de répartition de la variable dont la loi de probabilité est : /10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10 On représente une telle fonction sous la forme d'une fonction en escalier. Propriétés de la fonction de répartition 1 est une fonction croissante mais pas strictement croissante 2 est une fonction continue à droite en tout réel. 3 On a lim 1 et lim 0 4 est discontinue à gauche en tout point de R correspondant à une valeur de Ω. Si est un tel point on a lim 5 D'une façon générale, R, avec Ω Remarque : est continue sur R-Ω. 1.11) Lien entre loi de probabilité et fonction de répartition Nous avons vu les premiers liens ci-dessus. On a quelques propriétés importantes. 1 1 Propriété évidente puisque 2 R, R, tels que, On a On a également On a donc Donc Et donc Ω Ω 1 1

14 Dans certains problèmes il est plus simple de déterminer la fonction de répartition pour déterminer la loi de probabilité de la variable. Considérons l exemple suivant : On effectue dans une urne contenant des boules numérotées de 1 à, tirages successifs en remettant la boule tirée à chaque fois. Soit X la VAR égale au plus grand des numéros tirés. On a Ω 1, Soit Ω. L'évènement correspond au fait que tous les numéros tirés sont inférieurs ou égaux à. Il s agit donc d une liste ordonnée avec répétition de numéros pris dans l ensemble 1,. Le cardinal de l évènement est donc égal à. Le nombre de listes ordonnées avec répétition que l on peut faire avec les boules est :. On a donc Or 1 Donc par incompatibilité 1 Donc 1 1 II) Moments d'une variable aléatoire 2.1) Espérance mathématique On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,, a) On suppose X(Ω) fini On donne Ω,,,, et pour tout 1,, Définition On appelle espérance mathématique de le réel noté défini par Exemple 1 Calculer si la loi de probabilité de est la suivante : /10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10

15 Exemple 2 Soit un réel compris strictement entre 0 et 1. On considère une variable aléatoire dont la loi est Ω 0, et 0,, 1 1 Démontrer que l on a bien une loi de probabilité. 2 Donner l expression de sous la forme d une somme 3 Montrer la formule En déduire que b )On suppose X(Ω) infini dénombrable d On donne Ω,,...,,... suite croissante de réels et l'on note pour tout,. Définition On dit que la variable admet une espérance si la série est absolument convergente. L'espérance est alors égale à lim La phrase «la série est absolument convergente» signifie que la limite quand tend vers l infini de est un nombre réel. Exemple : On admettra la formule suivante : R, lim! On considère une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par Ω, P!, λ R 1 Vérifier qu il s agit bien d une loi de probabilité 2 Montrer que l espérance mathématique existe et que Remarquons que comme le théorème le précise, si Ω est infini, l existence de l espérance n est pas garantie.

16 2.2) Le théorème du transfert a) Variable aléatoire fonction d'une autre variable aléatoire Définition On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,. Soit une fonction de R dans R et soit en fait une variable définie sur Ω Alors est aussi une VAR définie sur Ω,, La loi de Y se déduit de celle de X. Prenons un exemple dans le cas fini : On considère la variable dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : /10 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10 On considère les variables et définies par 3 2 Déterminer les lois de et de. b) Calcul de l'espérance Bien entendu, si l on a déterminé la loi de probabilité de, on peut toujours utiliser cette loi de probabilité pour calculer l'espérance, mais, si cela était possible, il serait plus simple de déduire directement l'espérance sans avoir besoin de passer par l'établissement de la loi de probabilité de. On a pour cela le théorème du transfert. On l'énoncera d'abord dans le cas où Ω est fini. Théorème dit du transfert ou du transport On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,. Soit une fonction de R dans R et soit Soit Ω ₁,..., admet une espérance définie par Donnons en une démonstration dans le cas plus simple où l application réalise une bijection de,..., sur un ensemble,...,, avec la convention. Nous savons alors que si la loi de probabilité de est donné par 1,, alors la loi de probabilité de est donnée par 1,,

17 Donc Nous admettrons le résultat dans le cas où l application n est pas une bijection. En reprenant les données de l exercice précédent, calculer de deux manières différentes et. Dans le cas d'un XΩ infini dénombrable, le théorème du transfert prend la forme suivante : Théorème On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,. Soit une fonction de R dans R et soit Soit Ω, étant une suite croissante d'éléments. Si la série de terme général est absolument convergente, alors la variable admet une espérance donnée par : lim 2.3) Une application importante du théorème du transfert Théorème On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,. Soit et deux réels et On a Nous n avons pas différencié ici les cas où Ω est fini ou infini dénombrable. Remarquons que la convergence absolue de implique celle de En effet, on a Donc Remarquons que toutes les séries qui apparaissent ici sont croissantes puisqu elles sont des sommes de termes positifs. Or On sait que lim On sait que existe par convergence absolue. Soit sa limite.

18 D autre part Et Donc Et donc lim 1 1 La suite de terme général est croissante et majorée. Elle est donc convergente et donc la série est absolument convergente. Démonstration du théorème On a : 1 2.4) Moments d'ordre d'une variable aléatoire Définition On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,. On appelle moment d'ordre de le nombre si il existe. On note le moment d'ordre. Nous utiliserons principalement le moment d'ordre 2 : ² 2.5) Moments centrés d'ordre d'une variable aléatoire Définition On considère VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,, admettant une espérance. On appelle moment centré d'ordre de le nombre si il existe

19 2.6) Variance et écart type Définition ion On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,, admettant une espérance. On appelle variance de et l'on note le moment centré d'ordre 2 de s'il existe. On appelle écart type et l'on note la racine carrée de la variance : On a donc ² La variance apparaît comme la moyenne au sens des probabilités des carrés des écarts à la moyenne des valeurs prises par. C est un nombre positif ou nul puisque c est une somme de nombres positifs. Remarque On dit que est une variable aléatoire constante si Ω ne contient qu'un seul élément. Soit cet élément. On a Ω,. On aura donc évidemment 1 et 1. On aura ² Réciproquement si 0, comme est une somme de nombres positifs, cela implique que chacun de ces nombres est égal à 0., 0 Si l'on suppose qu'aucun des n'est nul ce qui sera nécessairement le cas si Ω est fini et que l on ne conserve que les évènements réalisables, alors, donc la variable est constante. On peut dire de façon globale que la variable est presque constante autrement dit il existe Ω tel que 1 et, Ω, 0. Calculer si la loi de probabilité de est la suivante : /10 1/10 2/10 1/10 1/10 1/10 2.7) La formule de Koenig-Huyghens Théorème On considère une VAR définie sur un espace probabilisé Ω,,, admettant une espérance et une variance. On a :

20 Pour la démonstration, nous utiliserons une propriété que nous démontrerons un peu plus loin : Si et sont deux VAR définies sur un même espace probabilisé Ω,,, admettant chacune une espérance, alors admet une espérance et l'on a : On a donc Posons, on a C'est cette forme que l'on privilégie pour calculer la variance. Le calcul de est souvent délicat. Assez fréquemment, nous commencerons par calculer 1. En effet, 1. Nous allons voir une application de cette écriture dans l exercice qui suit. Soit un réel compris strictement entre 0 et 1. Nous avons vu que la variable aléatoire dont la loi est Ω 0, et 0,, 1 admettait une espérance égale à 1 Montrer que Calculer 1 3 En déduire que 1 2.8) Variance de On a On utilise alors la propriété On a 2 ² ² ²² 2 ² ²² 2 ² ²² ²² ²² ² ² On a donc la formule

21 On en déduit que 2.9) Variable centrée réduite Soit X une VAR définie sur un espace probabilisée Ω,, qui admet une espérance et une variance. On pose. On veut associer à une variable aléatoire d'espérance égale à 0 et de variance égale à 1. On note habituellement cette variable. Définitions Une variable d'espérance égale à 0 est dite centrée Une variable de variance égale à 1 est dite réduite. Une variable d'espérance égale à 0 et de variance égale à 1 est dite centrée réduite. On cherche une relation affine entre et de la forme On aura 0 On aura également ^ 1 ² ²² 0 On doit donc résoudre le système : 1 On se place dans le cas d'une variable X qui n'est pas presque constante. On aura 0. On trouve alors deux valeurs possibles pour. Le plus simple est de prendre la valeur positive, donc On en tire On a donc Ou encore 1 1 Remarque On appelle moment centré réduit d'ordre de X le moment d'ordre de.