Chapitre I : LES NOMBRES ENTIERS

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1 Chapitre I : LES NOMBRES ENTIERS I DIVISIBILITÉ Dans ce paragraphe, tous les nombres seront des entiers naturels (0,, 2, 3, 4,...). Définitions : ) On dit que m est un multiple de b quant il existe c tel que m = bc. 2) On dit que d divise a quand il existe c tel que a = dc. On dit alors que d est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par d. Remarques : ) Dire que b divise a revient à dire que a est un multiple de b. 2) 24 = 8 3 donc on peut en déduire que 3 et que 8 sont des diviseurs de 24 et que 24 est un multiple de 3 et de 8. 3) Tout nombre divise 0. En effet, pour tout nombre n, n 0 = 0 donc 0 est multiple de n, ou encore n divise 0. 4) En revanche, 0 ne divise aucun nombre non nul (il ne divise que 0). En effet, un multiple de 0 est toujours égal à 0 (n 0 = 0), donc ne peut être égal à un autre nombre.. 5) divise tous les nombres. 6) Tous les multiples de 5 sont de la forme 0, 5, 0,..., 5n... avec n entier. Plus généralement, chaque entier non nul a une infinité de multiples. 7) Tous les entiers, sauf 0, n ont qu un nombre fini de diviseurs (par exemple, les diviseurs de 240 ne peuvent être qu inférieur à ) On peut étendre cette définition aux entiers relatifs (,... 2,, 0,, 2, 3...) et, par exemple, comme 24 = ( 3) ( 8) dire que 8 est un diviseur de 24 et comme 2 = 2 ( 6) on peut dire que 2 est un multiple de 2 et de 6. Critères de divisibilité : par 2 : le nombre est pair (le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 ). par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3. par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. par 5 : le dernier chiffre est un zéro ou un cinq. par 6 : le nombre est à la fois divisible par 2 et par 3. par 8 : le nombre formé par les trois derniers chiffres est un multiple de 8. par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9. par 0 : le nombre se termine par zéro. par : la différence entre la somme des chiffres situés à un rang impair (unités, centaines...) et celle des chiffres situés à un rang pair (dizaines, milliers...) est un multiple de. Division euclidienne : = Effectuer la division euclidienne de a par b (avec b non nul), c est trouver les deux entiers naturels q et r, avec 0 r < b tels que a = b q + r. Vocabulaire est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste. La condition imposée au reste 0 r < b fait qu il n y a qu une seule division euclidienne pour a et b donnés (admis). 50 = cette égalité représente la division euclidienne de 50 par 20 (car 0 0 < 20) mais pas celle de 50 par 7 (car 0 7 ).

2 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM II NOMBRES PREMIERS Définition : un entier naturel est dit premier s il admet exactement deux diviseurs : et lui-même. Remarques : 0 n est pas premier (tous les entiers non nuls divisent 0 ). n est pas considéré comme premier : il n a qu un diviseur (lequel?). 6 = 2 3 n est pas premier (4 diviseurs : ; 2 ; 3 et 6 ). Nombres premiers inférieurs à 00 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 3 ; 7 ; 9 ; 23 ; 29 ; 3 ; 37 ; 4 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 6 ; 67 ; 7 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97. Le mathématicien grec Euclide a démontré, au iii e siècle avant J.-C., qu il existe une infinité de nombres premiers. Interprétation : Le nombre p (p 2) d élèves d une classe est premier quand les seules manières de partager cette classe en groupes de même effectif sont : { ou bien en un groupe de p élèves (classe entière), ou bien en p groupes de élève (cours particuliers). > 30 n est pas premier car groupe de 30 ; 2 groupes de 5 ; 3 groupes de 0 ; 5 groupes de 6 ; 6 groupes de 5 ; 0 groupes de 3 ; 5 groupes de 2 ou 30 «groupes» de. Théorème : (admis) de décomposition d un entier en facteurs premiers. Tout entier naturel n 2 peut s écrire comme produit de nombres premiers. Exemples : 42 = ; 9 = 9 (on considère que c est un produit avec un seul facteur) ; 40 = = (certains facteurs de la décomposition peuvent être égaux). Méthodes de décomposition : exemple, on veut décomposer 420 en facteurs premiers. méthode : on écrit 420 = 42 0 = = méthode 2 : soit 420 = en regroupant les termes, tous les facteurs sont bien premiers. > revoir les tables de multiplications! On effectue les divisions, si besoins répetées, par les nombres premiers 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; on s arrête lorsque le quotient obtenu est. Le produit de tous les diviseurs est alors la décomposition en facteurs premiers : ici 420 = > Le théorème indique qu à partir des nombres premiers, en les multipliant, on peut avoir tous les entiers (sauf 0 et ) : ce sont des nombres premiers dans le sens de «primitifs», «de bases». moralement : les nombres premiers sont les briques qui permettent de construire les entiers (le ciment étant la multiplication). En fait, il y a unicité en ce sens que 420 ne peut pas être construit avec d autres briques.

3 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM III III. APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION Simplification et multiplication de fractions Exemples : , on a et donc 56 = = puis = = = = = 2 (refaire les décompositions.) = = = 3 44 Rappel : La fraction 3 ne peut plus se simplifier. On dit qu elle est irréductible. 2 III.2 Savoir si un nombre est diviseur d un autre Exemple : 420 = (cf. II), de cette décomposition on peut remarquer que : 5 est un diviseur de 420 car 5 = 3 5 qui est dans sa décomposition et 420 = = 5 28 ; de même 420 est un multiple de 2 = 3 4 ; de 05 = ;... mais 3 n est pas un diviseur de 420 (3 est premier et ne figure pas dans la décomposition) ; 6 ne divise pas 420 car 6 = 2 4 est trop grand : ce n est que 2 2 qui intervient dans la décomposition de 420 ; de même 45 = n est pas un diviseur de 420. III.3 Rechercher des diviseurs communs { on décompose les deux nombres en produit de facteurs premiers ; méthode : on recherche les nombres commun aux deux décompositions exemple pour 540 et 375 : 25 5 et 540 = 54 0 = { 540 = donc les diviseurs communs sont :, 3, 5 et 3 5 = = Remarques : Si les nombres son simples, on peut faire la liste des diviseurs et comparer. 8 = 8 Exemple : 8 et 27 8 = 2 9 les diviseurs de 8 sont :, 2, 3, 6, 9 et 8. 8 = 3 6 } 27 = 27 les diviseurs de 27 sont :, 3, 9 et = 3 9 Donc les diviseurs communs à 8 et 27 sont, 3, 9. Deux nombres entiers ont toujours au moins un diviseur commun, le nombre. S ils n on pas d autres diviseurs communs, on dit qu ils sont premiers entre eux. Une fraction est irréductible dès que le numérateur et le dénominateurs sont premiers entre eux.

4 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM IV IV. RAPPELS SUR LES PUISSANCES Puissance de dix 0 0 = 0 ; 0 = 0 ; 0 5 = zéros ; 0 6 = 0 = 0,00 00 ; = 0 7 ; 0 3 = 0, zéros Préfixe : mille : 0 3 (kilo), un million : 0 6 (méga), un milliard : 0 9 (giga), mille milliard : 0 2 (tera), million de milliard : 0 5 (péta) un millième : 0 3 (milli), un millionième : 0 6 (micro), un milliardième : 0 9 (nano), millième de milliardième : 0 2 (pico), millionième de milliardième : 0 5 (femto) IV.2 Écriture scientifique = 2, (on déplace la virgule de 3 «crans» vers la gauche). 0, = 3,6 0 4 (on déplace la virgule de 4 «crans» vers la droite). 0,25 = 2,5 0 (si le nombre est plus petit que la puissance est négative). L écriture scientifique est de la forme a 0 p avec a < 0 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et p entier relatif. IV.3 Puissance entière d un nombre (n entier positif) 5 4 = = 625 a n = a a a a 4 fois n facteurs ( 8) 3 = ( 8) ( 8) ( 8) = 52 a = a 3 fois et a 0 = (par convention). 2 3 = 2 3 = = 8 IV.4 Règles de calculs sur les puissances on multiplie les puissances d un même nombre = = 3 6+( 2) = 3 4 on additionne les exposants 6 et 2 a n = a n = ( a) n ( a 0 ). règle p a q = a p+q. a 4 a 3 a 2 a = a a 0 = a = a a 2 = a 2 a 3 = a 3. on divise les puissances d un même nombre = 32 ( 4) = = = 52 7 = 5 5 on soustrait les exposants 2 et 7 règle : a p a q = ap q on prend la puissance d une puissance on prend le produit d une même puissance ( 0 2 ) 3 = = 0 6 on multiplie les exposants = (3 2) 4 = 6 4 on fait la puissance du produit règle : (a p ) q = a p q règle p b p = (ab) p on élève un quotient à une même puissance ( ) 3 2 = ( 3) = 9 4 règle : ( ) a p = ap b b p on élève le numérateur et le dénominateur à cette même puissance

5 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM ( ) n Remarque n = car a n = a a n = a a = a a = a ( ) n a = a Justifications : (Cas où p et q sont positifs. Je ne les demanderai pas, c est trop difficile!) a p a q = a a a a a a a a q facteurs = a a a a = a p+q p + q facteurs (a p ) q = a p a p a p a }{{ p } q puissances = a a a a a a a a a a a a q fois = a a a = a p q p q facteurs (ab) p = (a b) p = (a b) (a b) (a b) (a b) = a a a a ( ) a p = a b b a b a b a = }{{ b} b b b b {}}{ a a a a b b b b = a p b p = ap b p Règles de priorités : Attention : ( 5) 2 = ( 5) ( 5) = 25 et 5 2 = (5 5) = 25. Les puissances sont prioritaires, sauf s il y a des parenthèses. IV.5 Exemples, applications Règle : Dans une suite de calculs, on doit effectuer dans l ordre : les calculs à l intérieur des parenthèses ; les puissances ; les multiplications et divisions ; les additions et soustractions. Exemples : = = = (5 + 3) 2 = = 4 64 = 60, (pour il faut comprendre 2 (5 3).) À savoir : La liste des carrés jusqu à 20 et 30 2, = 2 ; 2 2 = 44 ; 3 2 = 69 ; 4 2 = 96 ; 5 2 = 225 ; 6 2 = 256 ; 7 2 = 289 ; 8 2 = 324 ; 9 2 = 36 ; 20 2 = 400 ; 30 2 = 900 ; 40 2 = La liste des cubes jusqu à 5 : 2 3 = 8 ; 3 3 = 27 ; 4 3 = 64 ; 5 3 = 25. Savoir retrouver très rapidement les puissances de 2 jusqu à = 4 ; 2 3 = 8 ; 2 4 = 6 ; 2 5 = 32 ; 2 6 = 64 ; 2 7 = 28 ; 2 8 = 256 ; 2 9 = 52 ; 2 0 = 024 (Remarquer que 000 = 0 3 est une bonne approximation de 2 0.)

6 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM Remarques : 3 2 = est un nombre positif ; 9 ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = +6 est aussi positif. Question : La puissance d un nombre peut-elle être un nombre négatif? Si oui, à quelle(s) condition(s)? Réponse : Pour a 0, a = a = a ; a est donc l inverse de a. 3 4 = = 8 et 4 3 = = 64. Il ne faut donc pas confondre les nombres 3 4 et 4 3. Question : Peut on trouver des entiers n et m tels que n m = m n? Réponse :,2 3 est bien défini et,2 3 =,2,2,2 =,728 En revanche, 3,2 n a aucun sens (n a pas été défini), l exposant doit être entier. Exemples : = = 5 5 ; = = 7 5+ = = 36 2 = 3 4 ; 2 8 = 23 8 = 2 5 ; 2 8 = 23 ( 8) = = 2. ( 5 2 ) 4 = = 5 8 ( ; 2 3 ) 4 = 2 ( 3) 4 = 2 2 ( ; 6 3 ) 3 = 6 3 ( 3) = 6 9 ; ( 3 2 ) 3 = 3 ( 2) ( 3) = 3 +6 = 3 6 (revoir la règle des signes!) ; 4 5 = ( 2 2) 5 = = 2 0 ; 27 3 = ( 3 3) 3 = = = (2 5) 5 = 0 5 ; 6 8 = (2 3) 8 = ( 5 2 = 6) = 25 ( ) ; = = 8 27 ; 6 4 ( ) = = 3 4 = ( ) 5 ( 6 3 = (2 3) 3 = ) = = = ; 8 5 (6 3)5 ou : = = = = = = Remarques : On a = 32 6 = 3 4 mais on peut aussi écrire = = De même, 8 5 = = 8 5 = 8 4 ; = 2 9 ( 3) = = Plus généralement pour a 0, on pourra utiliser la règle ap a q = a q p Il n y a pas de règle pour simplifier a priori des expressions comme ou 56 ; en effet, dans aucun des cas les exposants ou les nombres sous les 34 exposants sont les mêmes. Il faut bien faire attention de n appliquer qu une règle à la fois : = = 3 8 ou = ( 3 2) 4 = = 3 8 mais n est surtout pas égal à (3 3) 4+4 = ( 3 2) 8 = 3 6.

7 Chapitre I LES NOMBRES ENTIERS Mathématiques 3 e LFM Exercice : Le nombre s obtient en multipliant uniquement des 2 et des 5. Combien en faut-il de chaque? Réponse : = = = 2 3 (2 5) 4 Donc = (règle (ab) p = a p b p ) = (règle a p a q = a p+q ) = On doit donc multiplier sept 2 et quatre 5 pour obtenir Exercice : Combien de chiffres a le nombre ? Réponse : On va transformer l écriture à l aide des règles sur les puissances = ( 2 2) car 4 = 2 2 = (règle (a p ) q = a p q ) = car 2 = 20 + et a p+q = a p a q = (2 5) 20 5 (règle a p b p = (ab) p ) = Ce nombre n est autre qu un cinq suivi de 20 zéros (0 20 est un suivi de 20 zéros). Il a donc en tout 2 chiffres (ne pas oublier le 5!). Dans la vie de tous les jours, 5 20 = = , c est donc le nombre cinq cent milliards de milliards. Table des matières I DIVISIBILITÉ II NOMBRES PREMIERS 2 III APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION 3 III. Simplification et multiplication de fractions III.2 Savoir si un nombre est diviseur d un autre III.3 Rechercher des diviseurs communs IV RAPPELS SUR LES PUISSANCES 4 IV. Puissance de dix IV.2 Écriture scientifique IV.3 Puissance entière d un nombre IV.4 Règles de calculs sur les puissances IV.5 Exemples, applications