CTM 10 : Inéquations

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1 CTM 10 : Inéquations I. Compétences à atteindre C2 C3 C4 C7 Appliquer, analyser, résoudre des problèmes Représenter Repérer, comparer Acquérir les notions propres aux mathématiques II. Autoévaluation et évaluations formatives Je dois être capable dans : Autoévaluation 1 ère évaluation 2 ème évaluation C Utiliser les propriétés des inégalités Résoudre algébriquement une inéquation du 1 er degré à une inconnue Interpréter la résolution graphique d une inéquation du 1 er degré à une inconnue Résoudre des problèmes mettant en œuvre les inéquations du 1 er degré à une inconnue. C Construire un graphique lié à une inéquation du 1 er degré à une inconnue. C Traduire une inégalité sous la forme d un intervalle et réciproquement Traduire une inégalité ou un intervalle donné sous la forme d une droite graduée et réciproquement. C Acquérir les définitions propres aux mathématiques en les mémorisant Signature des parents

2 NOM : DELAIS :.. PRENOM :... :.. CLASSE : :.. CTM N 10 INEQUATIONS AUTOEVALUATION TRAVAIL J ai toujours mon CTM au complet avec moi Je me munis du matériel nécessaire à la réalisation de la tâche Je respecte les consignes Je comprends la signification des questions posées Je réalise mon travail jusqu au bout Je m applique dans la réalisation de ma tâche Je soigne mon travail Je respecte le délai imposé Je gère mon travail dans le temps Je cherche spontanément des ressources complémentaires (si nécessaire) T S P J CORRECTION Je corrige complètement mon travail J identifie la nature de mes erreurs (distraction compréhension) J identifie ce que je peux améliorer J identifie ce que j ai trouvé facile et difficile J autoévalue objectivement mon travail Je cherche à améliorer mes points faibles T S P J AUTOEVALUATION GLOBALE A EC NA

3 INEQUATIONS CTM 1 I. Vocabulaire 2 x² + 3x x³ 1 er membre 2 ème membre x, a R : x < a : x est STRICTEMENT INFERIEUR à a x x x > a : x est.. à a a : x est INFERIEUR OU EGAL à a a : x est à a II. Inégalités 1.- Traduis chaque groupe de figures par une propriété (en symboles mathématiques) en suivant l exemple. Complète ensuite la propriété encadrée : a) b) a) Si 24 > 16 b) Alors > Généralisation c) Si a > b d) Alors a + c > b + c a) b). Lorsque l on additionne ou soustrait un même nombre aux 2 membres d une inégalité, on obtient Exemples Si a < 3 alors a + 2 < (on ajoute 2 aux 2 membres) ; c est-à-dire a + 2 < 5 Si a < c alors a - 5 < c - 5 (on soustrait 5 aux 2 membres)

4 INEQUATIONS CTM 2.. Lorsque l on multiplie ou divise par un même nombre. les 2 membres d une inégalité, on obtient.. Exemples Si a < 3 alors a. 2 < 3. 2 (on multiplie par 2 les 2 membres) ; c est-à-dire 2a < 6 Si a < c alors a : 5 < c : 5 (on divise par 5 les 2 membres).. Lorsque l on multiplie ou divise par un même nombre. les 2 membres d une inégalité, on obtient.. Exemples Si a < 3 alors a. (-4) > 3. (-4) (on multiplie par (-4) les 2 membres) ; c est-à-dire -4a > -12 Si a < c alors a : (-7) > c : (-7) (on divise par (-7) les 2 membres)

5 INEQUATIONS CTM A l aide des propriétés et des exemples ci-dessus, complète la seconde inégalité. Attention au sens! b < c b + a < c + a (on a ajouté a aux 2 membres) a b a b b (on a soustrait b aux 2 membres) a b 2. a 9a > 3b - 3. a b (on a multiplié par 2 les 2 membres) (on a divisé par -3 les 2 membres) 6a > 9c - 2a (on a divisé par. les 2 membres) -a > b a (on a. par. les 2 membres) -2b c 0 (on a. 2 membres) b c b c (on a. 2 membres) 9a > 3b 3a (on a. 2 membres) 8b > - 4c - 4b (on a. 2 membres)

6 INEQUATIONS CTM 4 III. Représentation des inégalités

7 INEQUATIONS CTM 5 3) Exercice d application directe : Représente les inégalités suivantes sur la droite graduée annexée :

8 INEQUATIONS CTM 6 3) Exercice d application directe : Associe chaque intervalle ci-dessous à une droite graduée de l exercice de la page précédente. Note à côté de chaque intervalle le numéro de la droite correspondante. a) ] -3 ; 5 [ b) [ 3 ; + [ c) [ -3 ; 5 ] d) ; 3 ] e) 5 ; 2 f) [ -3 ; 5 [ g) 5 ; 2 h) ; 3 [ 5 i) ] ; 2 j) ] 3 ; + [ k) ] -3 ; 5 ]

9 INEQUATIONS CTM 7 Exercices

10 INEQUATIONS CTM 8 IV. Inéquations Une inéquation est une inégalité qui comporte une inconnue, souvent nommée «x». Cette inégalité ne sera vraie que pour certaines valeurs attribuées à cette inconnue. Ex. : 2x 6 2 est une inéquation dont l inconnue est x. Elle sera vraie si x = 3 ; ou si x = 4 ; ou mais pas si x = 5! Une inéquation admet plusieurs solutions que l on représentera par un intervalle ou une droite graduée. L ensemble des solutions d une inéquation est l ensemble des valeurs particulières que peuvent prendre l inconnue pour vérifier l inéquation. Si -5x 10-3 alors, -5x ; c est-à-dire -5x -5x 7 alors, 5x c est-à-dire x Si -3x 7 > -2 alors, -3x c est-à-dire -3x -3x. alors,. c est-à-dire x Si 4 > 6 4x alors,. C est-à-dire alors,. c est-à-dire.

11 INEQUATIONS CTM 9 b) Synthèse Pour arriver à la solution des inéquations dans l activité de la page précédente, on a utilisé les propriétés des inégalités pour changer les termes de membre comme on utilisait les propriétés des égalités dans les équations!! La méthode de résolution ne changera donc pas SAUF lorsque l on va multiplier ou diviser par un nombre négatif Que se passera-t-il alors? Pour résoudre une inéquation, on dira que : - Tout terme qui change de membre change de signe - Tout multiplicateur positif qui change de membre devient diviseur diviseur multiplicateur MAIS Multiplier ou diviser les 2 membres d une inégalité par un nombre négatif CHANGE LE SENS de cette inégalité! c) Solution d une inéquation Reprenons les exercices de la page précédente et notons leur solution : 1) 2x + 4 > 0 2x > 0 4 2x > 4 4 x > 2 x > 2 2) 5x x x 7 7 x 5 7 x 5 Changement de sens!! S = ] 2; + [ S 7 = ; + 5

12 INEQUATIONS CTM 10 3) -3x 7 > -2 4) 4 > 6 4x.... S =. S =.. Résoudre une inéquation consiste à trouver l intervalle des solutions de l inégalité correspondante. Elles peuvent aussi être représentées sur une droite graduée. Exercices

13 INEQUATIONS CTM 11 V. Résolution graphique d une inéquation Comme pour les équations, les inéquations peuvent être résolues à l aide d un graphique. Les 2 procédures sont d ailleurs très proches : Prenons un exemple : -2x 3 1) Transformer l inéquation afin d obtenir un membre égal à zéro : -2x 3-2x ) Remplacer «0» par «= y» : -2x x - 3 = y 3) Tracer la droite d équation «-2x - 3 = y» (à l aide d un tableau) : 4) Repérer les points de cette droite dont les ordonnées sont «0» (symbole venant de l inéquation de départ) : 5) Repérer les abscisses de ces points : ces abscisses sont la solutions que l on note par un intervalle!

14 INEQUATIONS CTM 12 Prenons un autre exemple : 3x > 6 1) Transformer l inéquation afin d obtenir un membre égal à zéro : 3x > 6 > 0 2) Remplacer «> 0» par «= y» : > 0 = y 3) Tracer la droite d équation «..= y» (à l aide d un tableau) : 4) Repérer les points de cette droite dont les ordonnées sont «.. 0» (symbole venant de l inéquation de départ) : 5) Repérer les abscisses de ces points : ces abscisses sont la solution que l on note par un intervalle!

15 INEQUATIONS CTM 13 Exercices : Résous les inéquations suivantes graphiquement et note la solution sous la forme d un intervalle. (Sur une feuille annexe) VI. Problèmes Résous les problèmes suivants sur une feuille annexe :