Questionnaires de révision du cours. Mécanique des Milieux Continus

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Quentin Bénard
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1 naires de révision du cours Mécanique des Milieux Continus Olivier THUAL, 11 janvier 2016 O. Thual naire de révision QUIZ MMC 1 / 21

2 MODE D EMPLOI Une nouvelle pression sur un touche remplace la précédente O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 2 / 21

3 Algèbre linéaire et tenseurs Soit B(x) = x 2 et V = grad B. Calculer div V. 1 div V = 2 2 div V = 6 3 div V = 2 x 4 div V = 0 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 3 / 21

4 Hypothèse du continu c(x, t) = C tot (2 π) 3/2 [l(t)] 3 exp[ x2 +y 2 +z 2 ] est solution exacte de 2 l(t) 2 c t = k c c avec l(t) = 2 k c t. À t = 0, on injecte ponctuellement une quantité C tot = 1 kg d un colorant en x = 0. On suppose qu il diffuse dans l espace avec un coefficient de diffusion k c = 1 4 π 10 8 m 2. s 1. Au bout de combien de temps la concentration maximale est-elle inférieure à une tonne par mètre cube? 1 Au bout de 10 6 s 2 Au bout de 1 s 3 Au bout de 10 6 s O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 4 / 21

5 Jacobienne d une déformation On considère la déformation définie par X = k a 1 e 1 + a 2 e 2 + (a 3 + β a 2 1 ) e 3. Calculer la Jacobienne F (a, t) de X (a, t) k F (a, t) = β a k 0 2 β a 1 2 F (a, t) = O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 5 / 21

6 Jacobienne d une petite déformation On considère la petite déformation définie par X = k a 1 e 1 + a 2 e 2 + (a 3 + β a 2 1 ) e 3. Calculer la tenseur des petites déformations ɛ(a, t). k ɛ(a, t) = β a k 1 0 β a 1 2 ɛ(a, t) = β a O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 6 / 21

7 Tenseur des contraintes On considère D = [0, L] 3 dont la frontière D(t) est soumise aux forces de contact T (x, n, t) = p a ρ 0 g x 3 e 3. Calculer la résultant F extcont (D) des forces de contact extérieures à D. 1 F extcont (D) = 0 2 F extcont (D) = ρ 0 g L 3 e 3 3 F extcont (D) = (p a ρ 0 g L 3 ) e 3 4 F extcont (D) = ρ 0 g L 3 e 3 5 F extcont (D) = ρ 0 g L 2 e 3 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 7 / 21

8 Vibrations élastiques L équation de Lamé s écrit : ρ 2 ξ 0 = (λ + µ)grad (div ξ) + µ ξ. On t 2 considère le mouvement décrit par le champ de déplacement ξ(a, t) = ξ m sin(k a 1 ) sin(k c t) e 2. Calculer c pour que ξ(a, t) soit une solution non nulle des équations de Lamé. 1 c = λ+2 µ 2 c = 3 c = 0 µ ρ0 ρ 0 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 8 / 21

9 Étirement d un cylindre a 2 T 0 a 1 On impose les forces de contact T (a, n) = (F a 1 /R) e 1 sur la surface Σ 0 = {a IR 3 0 a 3 L 3 et a a2 2 = R2 }. On suppose les σ i constants avec σ = σ 1 e 1 e 1 + σ 2 e 2 e 2 + σ 3 e 3 e 3. Donner l expression de ces constantes en fonction de F et R. 1 σ 1 = F a 1 /R, σ 2 = 0 et σ 3 = 0. 2 σ 1 = F, σ 2 = 0 et σ 3 = 0. 3 σ 1 = F, σ 2 = ν F et σ 3 = ν F. O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 9 / 21

10 Accélération On considère le champ de vitesse U(x, t) = (α t z β z 2 ) e z. Calculer l accélaration du. 1 d U = α t e z du = 0 du = α t + (α t 2 β z)(α t z β z 2 ) = α t e z du O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 10 / 21

11 Taux de variation des volumes On considère le champ de vitesse U = l ω [sin ϕ(x 3, t) e 1 cos ϕ(x 3, t) e 2 ] où ϕ(x 3, t) = k x 3 ω t. On suppose que l, ω et k sont des constantes positives. Calculer le taux de variation des volumes 1 δv(t) 1 1 δv(t) 2 1 δv(t) 3 1 δv(t) d δv(t) = l ω2 (cos ϕ + sin ϕ) d δv(t) = l ω k (cos ϕ + sin ϕ) d δv(t) = 0. d δv(t). O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 11 / 21

12 Dérivation d une intégrale sur un domaine transporté par le mouvement On considère un domaine D(t) transporté par le mouvement de vitesse U(x, t) et un champ c(x, t). On suppose tous les champs continus et dérivables. Calculer d D(t) c(x, t) d 3 x. D(t) c d 3 x = 1 d 2 d 3 d D(t) c d 3 x = D(t) c d 3 x = ( dc D(t) [ dc D(t) D(t) + c div U) d 3 x + div (c U)] d 3 x c t d 3 x + D(t) c U n ds O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 12 / 21

13 Navier-Stokes incompressible On considère un fluide newtonien incompressible tel que f = 0 et U = α z 2 e x. On note ρ 0 sa masse volumique ν n la viscosité cinématique. Calculer la pression en supposant que p(0) = p 0. 1 p = p 0 2 p = p 0 + ρ 0 ν n α x 3 p = p 0 ρ 0 ν n α x 4 p = p ρ 0 ν n α z 5 p = p 0 2 ρ 0 ν n α z O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 13 / 21

14 Navier-Stokes compressible Les équations de Navier-Stokes compressibles d un fluide parfait s écrivent dρ du + ρ div U = 0, ρ = grad p + f, ρ de = p div U. La relation de Gibbs définit l entropie par la relation T ds = de (p/ρ2 ) dρ. Calculer ds 1 ds = f U/T = (p/t ) div U 2 ds 3 ds = 0 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 14 / 21

15 Travail des forces intérieures de viscosité Le tenseur des contraintes visqueuses d un fluide newtonien est τ = λ n tr D I + 2 µ n D. On suppose que U = α x. Calculer le travail des forces intérieures de viscosité τ : D. 1 τ : D = (3 λ n + 2 µ n ) α 2. 2 τ : D = (3 λ n + 2 µ n ) α 2. 3 τ : D = (λ n + 2 µ n ) α 2. 4 τ : D = (λ n + 2 µ n ) α 2. 5 τ : D = 0. O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 15 / 21

16 Challowen On considère le mouvement X (a, t) défini par x 1 = α(t) a 1, x 2 = a 2, et x 3 = a L [1 α(t)] sin 2 (k a 1 ). Calculer la représentation eulérienne U(x, t) du champ de vitesse. 1 U = α x 1 e 1 4 L α sin 2 (k x 1 ) e 3 2 U = ( α/α) x 1 e 1 4 L α sin 2 (k x 1 /α) e 3 3 U = α e 1 8 L α cos(k x 1 ) sin(k x 1 ) e 3 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 16 / 21

17 Écoulement de Couette On considère le champ de vitesse U = U 0 z/l e x solution des équations de Navier-Stokes entre deux plaques située en z = ±L. Calculer la densité volumique des efforts intérieurs π int. 1 π int = ρ 0 ν n U 2 0 /L2 2 π int = ρ 0 ν n U 2 0 /L2 3 π int = 0 4 π int = (ρ 0 ν n U 0 /L) 2 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 17 / 21

18 Tourbillon dans un boite On considère le champ de vitesse U 1 = βx 1, U 2 = 0 et U 3 = βx 3 où β est une constante positive. Calculer la représentation eulérienne du (x, t) du champ d accélération du = β 2 (x 1 e 1 + x 3 e 3 ) du = β 2 (x 3 e 1 x 1 e 3 ) du = 0 du = β e 2 O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 18 / 21

19 Rotation d axe verticale On considère le champ de vitesse en coordonnées cylindriques U(r, θ, z) = ω r e θ où ω est une constante. Calculer l accélération du. 1 du 2 du 3 du = ω 2 e θ 4 du = 0 = ω 2 e r = ω 2 r e r O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 19 / 21

20 Utilisation des boitiers cliqueurs Vous avez utilisé des boitiers cliqueurs. Comment évaluez-vous ce processus pédagogique? 1 Mauvais 2 Très insatisfaisant 3 Instatisfaisant 4 Satisfaisant 5 Bon 6 Excellent 7 Sans avis O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 20 / 21

21 Évaluation de l enseignement de MMC L INP va mettre en place une procédure d évaluation des enseignements en demandant de noter de 1 à 6 une matière. Quelle note allez-vous attribuer à l enseignement de MMC? 1 Mauvais 2 Très insatisfaisant 3 Instatisfaisant 4 Satisfaisant 5 Bon 6 Excellent 7 Sans avis O. Thual (thual@imft.fr) naire de révision QUIZ MMC 21 / 21

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