Le modèle de Solow. Aurélien Eyquem. Semestre d Automne 2017

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Vincent Labbé
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1 Analyse Économique: Macroéconomie Le modèle de Solow Aurélien Eyquem Semestre d Automne 2017

2 Robert Solow (1956) A Contribution to the Theory of Economic Growth, QJE, p Prix Nobel 1987 Le modèle de Solow permet-il expliquer les faits stylisés? La démarche: les facteurs de production Evolution du capital : provient du lien dynamique entre le flux d épargne et d investissement et le stock de capital Evolution de la force de travail : croissance de la population Evolution de la production et du revenu

3 Hypothèses : un modèle très simple Les pays produisent un seul bien homogème (Y) Pas de commerce international La technologie est exogène (pas de R&D). On s en affranchira par la suite Des consommateurs: n optimisent pas. Propension marginale à consommer constante Des firmes: optimisent les facteurs de production en concurrence pure et parfaite

4 Plan 1 Le modèle de base 2 Le diagramme de Solow 3 Statique comparative: Effet d un accroissement du taux d investissement Effet d un accroissement du taux de croissance de la population 4 La croissance de long terme Référence: Jones, Ch. 2

5 Le modèle de base Deux équations: fonction de production, accumulation du capital Deux facteurs de production seulement: capital (K t ) et travail (L t ) Fonction de production de type Cobb-Douglas: Y t = F (K t, L t ) = K α t L 1 α t, 0 < α < 1 Rendements d échelle constants. Maths: homogénéité. Eco: pas d effet lié à la taille. Concurrence pure et parfaite, les prix sont normalisés à 1 et exogènes aux décisions des entreprises: Max Kt,L t π t = Y t r t K t w t L t

6 La fonction de production - suite Conditions de premier ordre: α Y t K t = r t (1 α) Y t L t = w t Remarque: w t L t = (1 α)y t et r t K t = αy t donc w t L t + r t K t = Y t

7 La fonction de production - suite On exprime la fonction de prod en termes de variables par tête (cf. faits stylisés). k t = K t /L t capital par tête y t = Y t /L t produit par tête. y t = Y t = f (k t ) = F (K t, L t ) L t L ( ) t α Kt = = kt α L t = K t α Lt 1 α L t

8 La fonction de production - suite Exprimée en termes de capital par tête, la fonction de prod. présente des rendements décroissants. df (.) dk t d 2 f (.) dk 2 t = αkt α 1 }{{} >0 : La fonction est croissante = α(α 1)kt α 2 : à taux décroissant }{{} <0

9 Accumulation du capital Accumulation du capital: K t+1 = K t + I t δk t = (1 δ)k t + I t K t+1 /L t = (1 δ)k t /L t + I t /L t = (1 δ)k t + i t k t+1 (1 + n) = (1 δ)k t + i t Avec 1 + n = L t+1 /L t tx de croiss. pop. Eco. fermée + équilibre sur le marché des biens et services: Y t = C t + I t + G t }{{} =0 Y t = C t + S t + T }{{} t =0 I t = S t + NX t }{{} =0

10 Accumulation du capital Règle exogène d arbitrage entre épargne et consommation: C t = cy t S t = (1 c)y t = sy t On remplace l investissement par sy t et Y t par la fonction de production: k t+1 = (1 δ)k t + sf (k t) 1 + n 1 + n L accroissement du stock de capital: k t+1 k t = sf (k t ) n + δ } 1 {{ + n } 1 + n k t }{{} Epargne par tête Investissement de remplacement Equation de SOLOW. La richesse par tête est déterminée par l acc. de capital, qui dépend des comportements d épargne, de la démographie et de la dépréciation du stock capital.

11 Le diagramme de Solow Alors, croissance ou pas? La réponse dépend du niveau stock de capital par tête.

12 Le diagramme de Solow Une unité de capital/tête suppl. prod/tête suppl épargne suppl. capital suppl. Mais rendements décroissants le suppl. de production est de plus en plus faible Jusqu au point où k t+1 = k t Pourquoi le capital est-il constant à partir d un certain point?

13 Le diagramme de Solow Rappel: g x = xt x t 1 x t 1 = dxt x t = dlog(x t ). En utilisant la fonction de production: log(y t ) = αlog(k t ) donc dlog(y t ) = g y = αdlog(k t ) = αg k Selon l équation de Solow, le taux de croissance de k t est donné par: g k = k t+1 k t = sf (k t) k t k t (1 + n) n + δ 1 + n Si Si Si sf (k t) k t(1+n) > n+δ 1+n, g k > 0 sf (k t) k t(1+n) = n+δ 1+n, g k = 0 sf (k t) k t(1+n) < n+δ 1+n, g k < 0

14 Le diagramme de Solow - Représentation en taux de croissance k : niveau de capital/tête (également dit intensif ) d état stationnaire

15 Le diagramme de Solow - Représentation en taux de croissance Si l on pose k t+1 = k t on obtient k = ( s n+δ ) 1/(1 α). Notion d état stationnaire. C est le niveau du stock de capital/tête auquel la croissance éco. s arrête dans le modèle de Solow Au-delà de ce niveau, tout ajout de capital/tête est insuffisamment productif Ne peut être soutenu Dans ce modèle, ce niveau est plus élevé si: l épargne s est élevée, la démographie n est peu dynamique, la dépréciation du capital δ est faible ( ) α/(1 α) Idem pour le niveau du produit/tête: y = s n+δ

16 Une interprétation sur le marché du capital Offre: épargne. Inélastique au taux d intérêt. Demande: décroissante selon le taux d intérêt r t. Productivité marginale du capital décroissante.

17 Un exemple: la Suisse y = k 1/3, k 0 = 4, s = 0.306, δ = 0.05, n = ( ) 1/(1 α) k = s n+δ = /2 = ( ) 3/2 y = (k ) 1/3 = /3 = Que se passe-t-il si s ou n augmente? Statique comparative.

18 On part de l état stationnaire. s s > s Statique comparative y = k 1/3, k 0 = 4, s = 0.4, δ = 0.05, n = k = et y = Pb dynamique: c t baisse d abord, avant d augmenter car y t augmente. Souhaitable?

19 Règle d or Quel est la meilleure propension à épargner? Celle qui maximise y? s = 1? Plus de consommation? Regardons plutôt celle qui maximise la consommation/tête: Maxc = Max(1 s)f (k ) = Max (f (k ) (n + δ)k ) f (k ) = (n + δ) ( α k = n + δ ) (1/(1 α)) Si l on compare ce stock de capital avec celui obtenu avec s quelconque: k = ( s n+δ ) 1/(1 α) s optimal = α. C est le taux d épargne de la règle d or. Reflète l arbitrage entre: plus de s donc plus de revenu et plus de s donc moins de consommation.

20 On part de l état stationnaire. n n > n Statique comparative y = k 1/3, k 0 = 4, s = 0.306, δ = 0.05, n = k = et y =

21 Pourquoi certains pays sont-ils plus riches que d autres? Dans le modèle de Solow: forts taux d épargne riches / démographie dynamique pauvres Autres facteurs: dépréciation du capital (droits de propriété, système judiciaire, climat, fonctionnement des institutions, guerres) Autres facteurs: α.

22 Prédictions du modèle de Solow Elasticité. Variation d une variable Y de ɛ% associée à une variation de 1% d une variable X ɛ = dlog(y )/dlog(x ) = (dy /Y )/(dx /X ) Niveau PIB/tête dans le modèle de Solow en logs: log(y ) = [log(s) log(n + δ)] α 1 α α Elasticité de y à s: 1 α. Si α = 1/3, élast. 1/2. de 10% du taux d épargne (ex: 20 à 22%) 5% de y

23 Taux d investissement et richesse

24 Démographie et richesse

25 Croissance de LT dans le modèle de Solow L état stationnaire existe, il est unique et stable.

26 Croissance de LT dans le modèle de Solow Dans le modèle de Solow à LT, g y = g k = 0. Pas de croissance du PIB/tête. Le PIB croît au même rythme que la population, n Y t et K t croissent au même taux: r t = α Yt K t aux faits stylisés. = cst. Conforme Y t et L t croissent au même taux: w t = (1 α) Yt L t Non-conforme aux faits stylisés. = cst.

27 Croissance de LT dans le modèle de Solow Hors de l état stationnaire, possible d avoir de la croissance. Transition vers l état stationnaire. Le taux de croissance est élevé loin du niveau de K/tête d état stationnaire. Plus on se rapproche de k, plus la croissance ralentit.

28 Quelle validation du modèle de Solow? Une variation entre les PIB/tête entre les pays: A LT si paramètres {n, s, α, δ, k 0 } différents A CT si l éco. est en dehors de l état stationnaire + au moins 1 paramètre différent (k 0 par ex.) Taux de croissance différents (si n différent à LT, ou si paramètres différents à CT) Changements dans la distribution mondiale des richesses (en combinant les deux faits ci-dessus). Faits stylisés 1 à 4. A LT, ratio K/Y donc rendement du capital constant (Fait 5.1) Parts des facteurs de production constantes (lié à la fonction Cobb-Douglas). (Fait 5.2) Le taux de croissance de LT n est pas positif...

29 Quelles recommandations? Que peuvent faire les pays pauvres (dans le modèle de Solow)? Pour créer de la croissance de dynamique transitoire? Pour atteindre des niveaux de PIB/tête supérieurs de manière permanente? Accroître le taux d épargne (s) Freiner la croissance de la force de travail (n) Réduire le taux de dépréciation (δ): améliorer l environnement des entreprises via les institutions

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