Sciences Physiques DS n o 6. Diffusion de neutrons dans un barreau de plutonium

Transcription

1 TPC2 Sciences Physiques DS n o 6 le 03/03/17 I - Diffusion de neutrons dans un barreau de plutonium On étudie la diffusion unidirectionnelle de neutrons dans un barreau de plutonium cylindrique d axe (Ox) et de section droite d aire S, s étendant entre les abscisses x = 0 et x = L et on note n (M, t) le nombre de neutrons par unité de volume. Cette diffusion satisfait à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion D = 22 m 2.s 1. D autre part, du fait des réactions nucléaires entre les neutrons et la matière, des neutrons sont produits : pendant une durée dt, dans un élément de volume dτ(m), il apparaît δn p = Kn (M, t)dτ(m)dt neutrons, où K = 3, s 1 est une constante positive homogène à l inverse d un temps et caractéristique des réactions nucléaires. On admettra en première approximation que n doit s annuler à tout instant aux extrémités du cylindre en x = 0 et x = L. En revanche on supposera que n (x, t) ne s annule pas à l intérieur du cylindre. 1 Établir l équation aux dérivées partielles dont n (x, t) est solution. 2 Déterminer n (x) à une constante multiplicative près en régime stationnaire. Montrer que ce régime n est possible que pour une valeur particulière L s de L. 3 a En régime quelconque, chercher n (x, t) à une constante multiplicative près sous la forme factorisée n (x, t) = h(x).g(t). b En déduire que n (x, t) diverge si L est supérieur à une valeur critique L c que l on explicitera et que l on calculera. II - Barreau de combustible nucléaire (Extrait Concours National 12) Le combustible nucléaire "MOX" (abréviation de "Mélanges d OXydes"), matériau radioactif fabriqué à partir de plutonium et d uranium appauvri, contient du dioxyde d uranium (UO 2 ) et du dioxyde de plutonium (P uo 2 ). Ce combustible est conditionné en pastilles empilées dans des tubes métalliques en alliage de zirconium. Ces tubes, d environ 4 m de longueur, sont aussi appelés gaines. L ensemble pastilles-gaine constitue un "crayon". Des assemblages de crayons sont ensuite plongés au cœur du réacteur nucléaire, pour y fournir de l énergie en entretenant la réaction de chaîne de fission. Il s agit, dans ce problème, de modéliser la diffusion thermique et de proposer une loi de répartition de la température à l intérieur de l un de ces crayons. L espace est rapporté, en coordonnées cylindro-polaires, à un repère de base orthonormée ( e r, e θ, e z ). Le barreau de combustible MOX se présente sous la forme d un cylindre plein, d axe (z z), de rayon R et de longueur imaginée infinie. Le matériau radioactif est supposé homogène et de conductivité thermique λ uniforme et constante. Le phénomène de réaction nucléaire s accompagne d une puissance volumique uniforme dégagée p au sein du combustible. En régime permanent, la surface périphérique (ensemble des points tels que r = R) du MOX, au contact de la gaine métallique de zirconium, excellent conducteur thermique, présente une température constante et uniforme T (r = R) = T 0. 1

2 Le régime de diffusion thermique est stationnaire. Les données de l énoncé sont ; R, λ, p et T 0. 1 Préciser, sans démonstration, la direction de la diffusion de la chaleur à l intérieur du barreau de longueur considérée comme infinie. En déduire la loi de Fourier qui permet de rendre compte du phénomène de diffusion. 2 Déterminer, en fonction de certaines données de l énoncé, la puissance thermique linéique P th (r) (ou puissance thermique par unité de longueur L = 1 m, mesurée selon l axe (z z)) engendrée à l intérieur d une surface cylindrique, notée S(t), d axe (z z) et de rayon r (avec r < R). 3 En déduire le flux thermique linéique φ th (r), ou flux de chaleur, traversant par unité de longueur (L = 1 m) la surface cylindrique définie précédemment. 4 Déterminer, en fonction de p et r, l expression vectorielle de la densité de courant thermique j th en tout point de la surface S(t). 5 Écrire l équation différentielle vérifiée par la température T à l intérieur du combustible. 6 Établir la loi de répartition T de la température à l intérieur du matériau radioactif. 7 Localiser, dans le barreau, l endroit où la température est maximale. Exprimer, en fonction des données de l énoncé, cette température maximale T max. 8 Tracer, pour 0 r R, l allure de la courbe représentative de cette fonction T. 9 Application numérique : R = 1, m ; λ = 3, 0 W.m 1.K 1 ; p = 2, W.m 3 ; T (r = R) = T 0 = 600 K. a Calculer la température maximale T max. b Déterminer la valeur numérique du flux linéique de chaleur φ th (r = R) traversant la gaine de zirconium. c La température de fusion du MOX vaut T f = 2900 K. Quelle est la valeur limite R lim du rayon R du crayon au-delà de laquelle la fusion du combustible MOX risque d intervenir? d La valeur R = 1, m du rayon a-t-elle été bien choisie? 2

3 III - Diffusion thermique dans un fil électrique (Extrait E3A PSI 12) Considérons un fil métallique cylindrique, homogène, de section droite S, dont le périmètre vaut p, et de longueur L. Le rayon de ce fil est supposé petit par rapport à sa longueur. Le métal constitutif possède une conductivité thermique λ, une résistivité électrique ρ, une masse volumique µ et une capacité thermique massique c. Les parois latérales du fil sont parfaitement calorifugées et les extrémités sont maintenues à des températures T 1 et T 2 (avec T 1 > T 2 ) grâce à des thermostats. La température T (x) dans le fil ne dépend que de l abscisse x (figure 1a), avec T (0) = T 1 et T (L) = T 2. Toute l étude est réalisée en régime permanent. 1 Rappeler la loi de Fourier pour une densité volumique de courant thermique notée j th. Exprimer le flux (ou puissance) thermique φ th traversant une section droite S du fil. 2 Établir, à l aide d un bilan énergétique sur une tranche élémentaire du fil de section S et de longueur dx, l équation différentielle vérifiée par la température T (x). En déduire la loi de répartition de T (x) en fonction de T 1, T 2, L et x. Tracer schématiquement cette répartition de température en fonction de x. 3 Exprimer la puissance thermique φ 2 cédée à la source de température T 2 en fonction de λ, S, T 1, T 2 et L. 4 Le fil est maintenant parcouru par un courant électrique continu d intensité I, répartie uniformément sur toute la section S (figure 1b). Les sections terminales (S 1 ) et (S 2 ) sont maintenues simultanément à des températures constantes T 1 et T 2, et à des potentiels constants V 1 et V 2. Après établissement d un régime stationnaire, les surfaces isothermes et équipotentielles sont des plans orthogonaux à l axe (Ox). La résistivité électrique ρ du fil est indépendante de la température et le fil est considéré comme un conducteur ohmique ayant une résistance constante, bien que la température T (x) ne soit pas uniforme. Les dimensions du fil ne varient pas avec la température. Exprimer la résistance dr d une tranche élémentaire du fil, de longueur dx et de section S En déduire la puissance thermique volumique P th,v produite au sein du fil, en fonction de l intensité I, de S et ρ. 3

4 5 Établir l équation différentielle vérifiée par la température T (x). En déduire l expression de T (x), puis celle de la densité volumique de courant de chaleur j th (x) en fonction de ρ, λ, S, T 1, T 2, L, x et I. 6 Écrire le courant de chaleur ou flux thermique φ th le long du fil, en notant G = λs sa conductance L thermique et R sa résistance électrique. Tracer, toujours avec T 1 > T 2, l allure de la répartition de température T (x) en distinguant les cas où le terme 1 2 RI2 est inférieur ou supérieur à la quantité G(T 1 T 2 ). Commenter. 7 Déterminer la puissance thermique φ 2 désormais cédée à la source de température T 2. Interpréter physiquement le résultat obtenu. IV - Machine de Linde La machine de Linde représentée sur la figure ci-dessous, est utilisée pour obtenir du diazote liquide à partir de diazote initialement gazeux à la pression p 1 = 1, 0 bar et à la température T 1 = 290 K. Elle fonctionne en régime stationnaire et les variations d énergie mécanique y sont négligeables. Le diazote évolue de manière réversible et isotherme de l état E 1 (p 1 = 1, 0 bar, T 1 = 290 K) jusqu à l état E 2 (p 2 = 200, 0 bar, T 2 = 290 K) dans le compresseur (Cp). Puis il traverse dans une conduite un échangeur thermique calorifugé (Et) où il évolue de manière isobare de l état E 2 à l état E 3 (p 3 = 200, 0 bar, T 3 ) en échangeant de la chaleur avec du diazote qui circule dans une autre conduite en évoluant de l état E 6 à E 1. Puis le diazote traverse le détendeur (Dt), simple conduite calorifugée comportement un étranglement, où il évolue de manière isenthalpique de l état E 3 à l état E 4 (p 4 = 1, 0 bar, T 4 = 78 K, h 4 = h 3 ) où il est diphasé avec un titre massique en vapeur x 4. Le séparateur (Sp) a pour seul effet de séparer les fractions x 4 (vapeur) et 1-x 4 (liquide) du diazote qui y rentre dans l état E 4 ; on récupère, aux deux sorties, la fraction 1-x 4 (liquide) dans l état E 5 (p 5 = 1, 0 bar, T 4 = 78 K, x 5 = 0) et la fraction x 4 (vapeur) dans l état E 6 (p 6 = 1, 0 bar, T 6 = 78 K, x 6 = 1). La fraction x 4 (vapeur) traverse ensuite l échangeur thermique (Et) où elle évolue de l état E 6 à l état E 1 en croisant l autre circulation de diazote qui évolue de l état E 2 à l état E 3. 4

5 Toutes les données concernant les différents états du diazote seront extraites du diagramme (T, s) simplifié représenté sur la figure ci-dessous où la pression est donnée en bar, la température en K, l entropie massique en kj.k 1 kg 1 et l enthalpie massique en kj.kg 1. 1 Placer les points représentatifs des états E 1 et E 2 sur le diagramme et en extraire les valeurs de h 1, h 2, s 1 et s 2. En déduire le travail utile ω u fourni par le compresseur et la chaleur q fournie par le thermostat lors du transfert de 1 kg de diazote dans le compresseur. Le diazote est-il assimilable à un gaz parfait au cours de l évolution 1 2? 2 En considérant le système fermé (Σ) constitué du diazote contenu à l instant t dans l échangeur thermique (Et) et des masses δm 2 et δm 6 = x 4 δm 2 qui vont y entrer entre les instants t et t + dt, établir la relation : h 3 h 2 + x 4 (h 1 h 6 ) = 0. 5

6 3 Exprimer s 4 en fonction de s 5, s 6 et x 4 et h 4 en fonction de h 5, h 6 et x 4. En utilisant notamment la relation établie au 2, en déduire que : x 4 = h 2 h 5 h 1 h 5. 4 Placer les points représentatifs des états E 5, E 6, E 4 et E 3 sur le diagramme et en déduire les valeurs numériques de h 5 et h 6. 5 Déduire des questions précédentes les valeurs numériques de x 4, h 4 et s 4. Placer l état E 3 sur le diagramme et en déduire la valeur numérique de la température T 3. 6 Calculer la masse de diazote liquide recueillie par heure pour une machine dont la puissance est égale à P = 100 kw. On vit dans un monde où ceux qui ont tout ne se satisfont de rien, et où ceux qui n ont rien se satisfont de tout. 6