Résolutions graphiques d équations et d inéquations

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1 Résolutions graphiques d équations et d inéquations Élie Arama cbea 9 novembre 207

2 Équations 2 Inéquations 3 Signe d une fonction

3 Équations

4 Définition Soient f et g deux fonctions numériques définies sur D f et D g. On note C f et C g leurs courbes représentatives respectives. Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x) revient à déterminer les abscisses des points d intersections de C f et C g. Remarque Si C f et C g ne s intersectent pas, alors l équation f(x) = g(x) n a pas de solution.

5 Application Soient f et g deux fonctions définies sur [ 7 2 ; 9 2] par leurs courbes représentatives respectives C f et C g. Résoudre l équation : C f f(x) = g(x) 0 C g

6 Application Soient f et g deux fonctions définies sur [ 7 2 ; 9 2] par leurs courbes représentatives respectives C f et C g. Résoudre l équation : C f f(x) = g(x) C f et C g possèdent deux points d intersections d abscisses 2 et 3. L équation f(x) = g(x) admet donc deux solutions : 2 et 3. C g 2 0 3

7 Définition Soit f une fonction définie sur D f R et k un nombre réel. Résoudre graphiquement l équation f(x) = k revient à résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x) en prenant pour g la fonction constante définie sur R par g(x) = k dont la courbe représentative est la droite parallèle à l axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0;k).

8 Application Soit f définie sur [ 7;6] par sa courbe représentative C f. C f 0 Résoudre graphiquement l équation : f(x) = 4.

9 Application Soit f définie sur [ 7;6] par sa courbe représentative C f. (0;4) C f 0 Résoudre graphiquement l équation : f(x) = 4.

10 Application Soit f définie sur [ 7;6] par sa courbe représentative C f. y = 4 C f Résoudre graphiquement l équation : f(x) = 4. Les solutions de l équation f(x) = 4 sont : 6 et 5.

11 Remarques Résoudre f(x) = k revient à déterminer les éventuels antécédents de k par f. Lorsque k = 0, résoudre f(x) = 0 revient à déterminer les éventuelles abscisses des points d intersection de la courbe représentative de f et de l axe des abscisses. Chercher les zéros d une fonction f revient à trouver les solutions de l équation f(x) = 0.

12 2 Inéquations

13 Définitions Soient f et g deux fonctions numériques définies sur D f et D g. On note C f et C g leurs courbes représentatives respectives. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) < g(x) revient à déterminer les abscisses des points de C f se situant strictement en dessous de ceux de C g. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) > g(x) revient à déterminer les abscisses des points de C f se situant strictement au dessus de ceux de C g.

14 Remarques Les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les mêmes que celles de l inéquation f(x) < g(x) auxquelles on a ajouté celles de l équation f(x) = g(x). Les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les mêmes que celles de l inéquation f(x) > g(x) auxquelles on a ajouté celles de l équation f(x) = g(x).

15 Application Reprenons les fonctions f et g définies sur [ 7 2 ; 9 2] par leurs courbes représentatives respectives C f et C g. Résoudre l inéquation : C f f(x) < g(x) 0 C g

16 Application Reprenons les fonctions f et g définies sur [ 7 2 ; 9 2] par leurs courbes représentatives respectives C f et C g. Résoudre l inéquation : C f f(x) < g(x) C f est strictement en dessous de C g lorsque x est strictement compris entre 2 et 3. L ensemble des solutions de f(x) < g(x) est donc l intervalle ] 2;3[ C g

17 Remarques Dans l exemple précédent, on remarque que l on a exclu 2 et 3 de l ensemble des solutions de f(x) < g(x). Cela est dû au fait qu en 2 et 3 on ait f(x) = g(x) comme vu précédemment. Si l on avait cherché à résoudre f(x) g(x), on aurait inclus les valeurs 2 et 3. Ainsi, l ensemble des solutions aurait été l intervalle fermé [ 2; 3].

18 Application Soient f et g deux fonctions définies sur [ 3;3] par leurs courbes représentatives respectives C f et C g. Résoudre l inéquation : C f f(x) g(x) 0 C g

19 Application Soient f et g deux fonctions définies sur [ 3;3] par leurs courbes représentatives respectives C f et C g. Résoudre l inéquation : C f f(x) g(x) C f est au dessus de C g lorsque x est compris entre 3 et ou lorsque x est compris entre 2 et L ensemble des solutions de l inéquation f(x) g(x) est donc la réunion d intervalles [ 3; ] [2;3]. C g

20 Remarque Dans l exemple précédent, si l on avait cherché à résoudre f(x) g(x) au lieu de f(x) > g(x), on aurait exclu les valeurs et 2. Ainsi, l ensemble des solutions aurait été la réunion d intervalles [ 3; [ ]2;3]. Notation Le symbole mathématique se lit «union».

21 Définition Soit f une fonction définie sur D f R et k un nombre réel. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) < k, f(x) k, f(x) > k ou f(x) k revient respectivement à résoudre graphiquement l inéquation f(x) < g(x), f(x) g(x), f(x) > g(x) ou f(x) g(x) en prenant pour g la fonction constante définie sur R par g(x) = k dont la courbe représentative est la droite parallèle à l axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0;k).

22 Application Soit f définie sur [ 7;6] par sa courbe représentative C f. C f 0 Résoudre graphiquement l inéquation : f(x) < 4.

23 Application Soit f définie sur [ 7;6] par sa courbe représentative C f. (0;4) C f 0 Résoudre graphiquement l inéquation : f(x) < 4.

24 Application Soit f définie sur [ 7;6] par sa courbe représentative C f. y = 4 C f Résoudre graphiquement l inéquation : f(x) < 4. L ensemble des solutions de l inéquation f(x) < 4 est ] 6;5[.

25 3 Signe d une fonction

26 Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] de R. f est négative sur [a;b] lorsque pour tout x [a;b], on ait : a b f(x) 0. C f Graphiquement, f est négative lorsque sa courbe représentative est située en dessous de l axe des abscisses. Remarque Dans la définition précédente, si l on remplace : «f(x) 0» par «f(x) < 0», on dira, plus particulièrement, que f est strictement négative sur [a; b].

27 Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] de R. f est positive sur [a;b] lorsque pour tout x [a;b], on ait : C f f(x) 0. a b Graphiquement, f est positive lorsque sa courbe représentative est située au dessus de l axe des abscisses. Remarque Dans la définition précédente, si l on remplace : «f(x) 0» par «f(x) > 0», on dira, plus particulièrement, que f est strictement positive sur [a; b].

28 Remarques Trouver le signe de f sur son ensemble de définition D f revient à déterminer si f est positive ou négative et ce, sur quels intervalles de D f. Attention, il ne faut surtout pas confondre signe et variations d une fonction. Ces deux notions sont complètement dissociées.

29 Définition Le signe ainsi que les éventuels zéros d une fonction sur son ensemble de définition sont généralement résumés dans ce que l on appelle un tableau de signes. Un signe négatif est représenté par un symbole, tandis qu un signe positif est représenté par un symbole «+». La juxtaposition de ces symboles, séparés par des «0» permet ainsi d indiquer, dans le tableau de signes, sur quels intervalles la fonction est négative ou positive.

30 Exemple Soit f définie sur [ 4;4] par sa courbe représentative C f. C f 0

31 Exemple Soit f définie sur [ 4;4] par sa courbe représentative C f. C f 0 Voici son tableau de signes : x f(x)

32 Liens et références Fonctions Généralités (Yvan Monka) ; Maths collection Indice (Bordas, édition 207) : pages 44, 45, 64 et 65.