Programmation linéaire en variables continues : propriétés mathématiques et résolution

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1 Programmation linéaire en variables continues : propriétés mathématiques et résolution 1

2 Programme linéaire continu Définitions - Notations (1) n min c x 1 n ai x bi, i 1,..., m 1 x 0, ou mincx AX b X 0 2

3 Définitions - Notations (2) N.B. max min = x 0 3

4 Définitions - Notations (3) Variables d écarts n a x b a x t b i i i i i 1 1 n 4

5 Définitions - Notations (4) Soit le P.L. min CX : AX b, X 0 Solution Vecteur X tel que AX = b Solution admissible Vecteur X tel que AX = b et X 0 5

6 Définitions - Notations (5) Base Matrice B (m x m) extraite de A et dont le dét. est 0 Indices de base (hors base) Variables en base (hors base) 6

7 Définitions - Notations (6) Solution de base (associée à une base B) Solution où les variables hors base sont nulles. Solution de base explicitée Solution de base associée à une matrice unité 7

8 Résultats fondamentaux (1) 1) est convexe P X : AX b, X 0 2) Pest soit vide soit un polyèdre convexe soit un ensemble polyédrique convexe non borné 8

9 Résultats fondamentaux (2) 3) Si P est un polyèdre convexe, alors l ensemble des solutions optimales du P.L. min CX : X P contient au moins un sommet de P. 9

10 Résultats fondamentaux (3) Démonstration Soit S 1,, S k les sommets et cs m min cs i i X P X isi i 1et i 0 CX cs cs i i i i m i 10

11 Résultats fondamentaux (4) 4) Si A est de rang m, alors tout sommet de X : AX b, X 0 est une solution de base admissible. N.B. : P = ème colonne de la matrice A 11

12 Démonstration Résultats fondamentaux (5) Soit S = (s 1,., s k, 0.0) un sommet de P (s i > 0). Si P 1,, P k ne sont pas linéairement k k 1 indépendants, alors,..., : P k 0 1 On a aussi s P P b

13 Résultats fondamentaux (6) k 1 ( s ) P P ( s ) P P 0 0 où tel que s, 13

14 Résultats fondamentaux (7) X et X P où X s s 1 ( 1 1,..., k k, ) 1 2, X 2 ( s1 1,..., sk k, ), 1 S X X 2 ce qui est impossible car 1 2 P 1.P k sont linéairement indépendants 14

15 Si k = m, S est la solution de base correspondant à B = (P 1 P k ) Résultats fondamentaux (8) Si k < m, S est la solution de base correspondant à (P 1 P k ) complétée à l aide de m-k colonnes bien choisies. 15

16 Résultats fondamentaux (9) 5) Si A est de rang m, alors toute solution de base admissible est un sommet de {X : AX = b, X 0} 16

17 Résultats fondamentaux (10) Démonstration Soit S = (s 1,, s m,0 0) une solution de base admissible B = (P 1 P m ) est une base et s i 0, i Si s i = 0, i, S est un sommet. 17

18 Résultats fondamentaux (11) Démonstration (suite) Sinon et si S n est pas un sommet, alors S = X 1 + (1 - )X 2 où 0 1, X 1 P et X 2 P x 1i = x 2i = 0, i > m BX 1 = BX 2 = b X 1 = X 2 = S. 18

19 Algorithme de dénombrement Soit min {CX : AX = b, X 0} où A est de rang m. ou max 1) Rechercher toutes les solutions de base (annuler n-m variables et résoudre le système qui reste). 2) Retenir les solutions de base admissibles (composantes 0) 3) Sélectionner la meilleure 19

20 Algorithme du Simplexe (1) Principe Partir d une première solution de base admissible explicitée et se déplacer de solution de base admissible en solution de base admissible en améliorant touours la fonction économique. 20

21 Algorithme du Simplexe (2) Hypothèses de départ Système d égalités AX = b A contient une matrice unité de rang m b 0 21

22 Changement de base (1) AX = b Base B : matrice unité A X = b Base B : matrice unité x b, i I( B) i x 0, J( B) i ' x b, i I( B') i i x 0, J( B') Z 0 ii ( B) c b i i Z ' 0 i ii ( B') c b ' i I( B') I( B) { k} \ { r} 22

23 Changement de base (2) Avant le changement de base, on a xi ai x bi, i I( B) J ( B) br xr En particulier ( i r): xk a a rk rk J ( B) k a a r rk x 23

24 Changement de base (3) x x i k a a x a a a ik ik r i rk J ( B) ark k x a r r a a x b a rk J ( B) k rk r rk r aikbr x bi, i I( B), i r ark 24

25 Changement de base (4) Après le changement de base, on a x a ' x b ', i I( B') i J ( B') i i 25

26 Changement de base (5) ' ' x a x a x b, i I( B), i r i ir r i i J ( B) k x a ' x a ' x b ' k kr r k k J ( B) k ' 26

27 Changement de base (6) a a a a ' ik i i r, i I( B) I( B') a rk a ' k a a r rk b b b a ' ik i i r, i I( B) I( B') a rk b ' k b a r rk 27

28 Changement de base (7) Variation de la fonction économique z ' 0 ii ( B') c b i ' c b ' c b ' i i i k k ii ( B) I ( B') c b b a i i r a ( ' ii B I B ik rk c k b a r rk 28

29 Changement de base (8) ii ( B) c b i i r b a a ik rk r c b k ark b r c ibi c a ii ( B) ark ii ( B) c i ik k z k br z0 ( zk ck ) a rk 29

30 Choix de k et r Changement de base (9) Il faut z k -c k > 0 dans problème à minimum z k -c k < 0 dans problème à maximum a rk > 0 (pivot) b i b a ik r 0, i I( B) I( B') a rk 30

31 Changement de base (10) Règle z k -c k = max (z -c ) si problème à minimum z k -c k = min (z -c ) si problème à maximum b a r rk min a ik0 bi a ik 31

32 Critère d optimalité (1) Calcul de Z 0 (Q) où Q = point quelconque admissible On a x a x b, i I( B) i J ( B) i i Z ( Q) c x ( Q) c x ( ) o i i Q ii ( B) J ( B) 32

33 Critère d optimalité (2) c i bi aix ( Q) cx ( Q) ( ) J ( B) J ( B) ii B c ibi ciai c x ( Q) ii ( B) J ( B) ii ( B) Z ( z c ) x ( Q) 0 J ( B) 33

34 Critère d optimalité (3) Problème à min. : z - c 0, J (B) Z 0 (Q) Z 0,Q Problème à max. : z - c 0, J (B) Z 0 (Q) Z 0, Q 34

35 Critère d optimalité (4) Cas où on ne trouve pas de pivot positif Soit, dans un problème à min. : z a k ik c k 0 0, i Soit le point Q tel que : x ( Q) 0, J( B), k xk ( Q) 0 xi ( Q) bi aik xk ( Q), i I( B) 35

36 Critère d optimalité (5) Q est admissible z 0 (Q) = z 0 - (z k -c k ) x k (Q) < z 0, et x k (Q) peut être aussi grande que l on veut. solution infinie. 36

37 Algorithme du Simplexe pour un problème à minimum (1) 1 Il faut min {CX : AX = b, X 0} où A contient une matrice unité de rang m, b 0. 2 Si z - c 0,, alors optimalité. Sinon, on choisit k : z k - c k = max (z - c ) > 0. 37

38 Algorithme du Simplexe pour un problème à minimum (2) 3 Si a ik 0, i, alors solution infinie. Sinon, on choisit r tel que b a r rk min a 0 ik bi a ik 4 Effectuer le changement de base et aller en 2. 38

39 Algorithme du Simplexe pour un problème à maximum (1) 1 Il faut max {CX : AX = b, X 0} où A contient une matrice unité de rang m, b 0. 2 Si z - c 0,, alors optimalité. Sinon, on choisit k : z k - c k = min (z - c ) < 0. 39

40 Algorithme du Simplexe pour un problème à maximum (2) 3 Si a ik 0, i, alors solution infinie. Sinon, on choisit r tel que b a r rk min a 0 ik bi a ik 4 Effectuer le changement de base et aller en 2. 40

41 Méthode de la base artificielle (1) n i i 1 x 0, 1... n min a x b 0, i 1... m n 1 c x n i i i 1 x 0, ; v 0, i min a x v b, i 1... m n 1 i c x M v i i I II 41

42 Méthode de la base artificielle (2) Si, dans la solution optimale de II, v i = 0, i, alors, c est la solution optimale de I. Sinon, le problème I n a pas de solution admissible (système contradictoire) 42

43 Convergence - Technique de perturbation 43

44 Dualité : définition AX b YA C X 0 Y 0 min CX max Yb 44

45 Dualité : autres cas (1) AX b YA C X 0 Y 0 max CX min Yb 45

46 Dualité : autres cas (2) AX b X 0 max CX YA - C Y 0 max Yb 46

47 Dualité : autres cas (3) AX b YA - C X 0 Y 0 min CX min Yb 47

48 Dualité : autres cas (4) AX = b YA C X 0 min CX Y s.r.s. max Yb 48

49 Théorèmes fondamentaux (1) Soit AX = b YA C X 0 et Y s.r.s. min CX max Yb 49

50 Théorèmes fondamentaux (2) 1) Si X et Y sont admissibles alors CX Yb. Dém. : CX Y A X = Yb 50

51 Théorèmes fondamentaux (3) ~ ~ ~ ~ 2) Si X et Y sont admissibles et si CX = Yb, ~ ~ alors X et Y sont optimales Dém. : corollaire du précédent. 51

52 Théorèmes fondamentaux (4) 3) a) Si la solution optimale du primal existe et est finie, alors celle du dual aussi et les valeurs optimales des fonctions économiques sont égales b) Si la solution optimale du primal est infinie, alors le dual est contradictoire 52

53 Théorèmes fondamentaux (5) Démonstration a) 1 1 A X b où A K A, b K b, c A c f f f f f f 0 ~~ Soit Y 1 c f K ~~ 1 Y A c f K A c f Af c ~~ 1 Y b c f K b c f b f N.B. : (c f K -1 ) = z b) Corollaire du 1er théorème Remarque : Les deux programmes peuvent être contradictoires 53

54 Algorithme dual simplexe (1) Principe : Partir d une première solution de base non admissible explicitée et se déplacer de solution de base non admissible en solution de base non admissible en faisant des concessions sur la fonction économique. 54

55 Algorithme dual simplexe (2) Hypothèses de départ : Système d égalités AX = b A contient une matrice unité de rang m z - c satisfont le critère d optimalité 55

56 Algorithme dual simplexe (3) Changement de base : idem Simplexe. 56

57 Algorithme dual simplexe (4) Choix de r et k Règle : b minb r i i z k a rk c k min a 0 r z a r c (si problème à min) z k a rk c k max a r0 z a r c (si problème à max) 57

58 Algorithme dual simplexe (5) N.B. : si a r 0, (pas de pivot négatif), alors le système est contradictoire car 0 ar x br 0 58

59 Méthode de la contrainte artificielle (1) Cas où la matrice unité de départ correspond aux variables d écarts Soit un problème à min. : Soit il faut z - c 0, c 0,. 0 0 P : c, N : c et c min c f N 59

60 Méthode de la contrainte artificielle (2) On aoute la contrainte artificielle n1 N x x M x M x x f N f n1 60

61 Méthode de la contrainte artificielle (3) n c x c x c c x c M c x f f f n1 1 P N f Si la solution optimale est sur la contrainte artificielle, alors la solution optimale du problème initial est infinie. 61

62 Adonction d une contrainte 62

63 Coûts et prix marginaux (1) J ( B) 1) Rappel : 0 0 z ( Q) z z c x ( Q) Soit xk ( Q) 1, où k J( B) x ( Q) 0, J( B), k z ( Q) z z c 0 0 k k Coût marginal N.B. : Q est admissible si b a i i ik 0,. 63

64 Coûts et prix marginaux (2) 2) Soit AX b AX b X 0 et X 0, où min CX min CX ' ' bi bi, i i ' b b i i i c b c K b c K b e c b z ' ' f f f f f f i Prix marginal 64