Matrices. Chapitre V. 1 Révisions. a) Généralités

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1 Chapitre V Matrices 1 Révisions a) Généralités Définitions Soient m, n et un corps commutatif Une matrice de type m, n à coefficients dans est un tableau de mn éléments de à m lignes et n colonnes, que l on note : a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a m,1 a m,2 a m,n ou, en abrégé, a ij Dans la notation abrégée, a i,j désigne l élément (ou coefficient) de la i ième ligne et la j ième colonne L ensemble des matrices à m lignes et n colonnes est noté M m,n Définitions Une matrice de type n, n a le même nombre de lignes et de colonnes Elle est dite carrée d ordre n L ensemble des matrices carrées d ordre n est noté M n Si A a ij M n, alors on dit que A est diagonale si l on a a ij 0 dès que i j, qu elle est triangulaire supérieure si l on a a ij 0 dès que i j, et qu elle est triangulaire inférieure si l on a a ij 0 dès que i j Définition Une matrice à une seule ligne s appelle un vecteur-ligne, et une matrice à une seule colonne s appelle un vecteur-colonne Sur l ensemble M m,n on définit les lois suivantes : une addition entre matrices de même type : si a ij, b ij M m,n, alors a ij b ij a ij b ij multiplication d une matrice par un scalaire : si a ij M m,n et λ, alors λ a ij λa ij produit d une matrice A a ij de type m, k et une matrice B b ij de type k, n : AB c ij, où c i,j a i1 b 1j a ik b kj k r 1 a ir b rj Remarques 32

2 CHAPITRE V MATRICES 33 (a) Le produit AB ne peut s effectuer que si le nombre de colonnes de A est égale au nombre de lignes de B (b) On peut avoir AB 0 sans que A ou B soient nulles (c) En général, on ne peut pas simplifier à gauche ou à droite : si AB AC ou BA CA, on n a pas forcément B C (d) Lorsqu elle est définie, le produit des matrices n est pas commutatif en général : AB associatif, et distributif à gauche et à droite par rapport à l addition BA Mais il est Proposition 46 Munis des lois d addition et de multiplication matricielle, M n est un anneau unitaire non commutatif L élément neutre pour l addition est la matrice nulle ; celui de la multiplication est la matrice identique de M n, notée I n Proposition 47 Muni des deux premières lois, M m,n est un espace vectoriel sur de dimension finie, et dim M m,n mn En particulier, M m,n est isomorphe (en tant que -espace vectoriel) à mn Le vecteur nul est la matrice nulle, et l opposé de la matrice A a ij est A a ij Remarque Pour tout i 1,, m et j 1,, n, soit E i,j M m,n la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf celui à l intersection de la i ième ligne et de la j ième colonne qui est égal à 1 Toute matrice A a i,j M m,n s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des E i,j : A m n i 1 j 1 a i,j E i,j Les mn matrices E i,j 1 i m, 1 j n forment une base de M m,n, appelée base canonique de M m,n b) Transposée Définition Soit A a ij M m,n On appelle transposée de A la matrice B b ij de M n,m définie par : b ij a ji Cette matrice est notée t A Définition Soit A a ij M n une matrice carrée On dit que A est une matrice symétrique (resp antisymétrique) si t A A (resp t A A) Exemple Dans M n, toute matrice diagonale est symétrique Proposition 48 (Propriétés de la transposée) (a) Soient A, B M m,n et λ Alors on a : (i) t t A A, t λa λ t A et t A B t A t B

3 CHAPITRE V MATRICES 34 (ii) Si C M m,p, alors t AC t C t A, de di- (b) L ensemble des matrices symétriques (resp antisymétriques) est un sous-espace vectoriel de M n mension n n 1 2 (resp n n 1 2 ) c) Inverse Définition Soit A M n une matrice carrée On dit que la matrice A est inversible s il existe une matrice B M n telle que AB BA I n La matrice B est dite inverse de A, et est notée A 1 Théorème 49 (Propriétés de l inverse) On se place dans M n (a) Soit A M n Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est une matrice inversible (ii) A est une matrice inversible à gauche (il existe B M n telle que BA I n ) (iii) A est une matrice inversible à droite (il existe B M n telle que AB I n ) (b) Soit A une matrice inversible Alors l inverse A 1 M n de A est unique et inversible, et A 1 1 A (c) Si A, B M n sont inversibles, alors AB est inversible, et AB 1 B 1 A 1 (d) Si A est inversible, alors t A est inversible, et t A 1 t A 1 Définition Muni de la multiplication, l ensemble des matrices inversibles de M n note GL n, et s appelle groupe linéaire est un groupe Il se d) Matrice d une application linéaire Définition Soient E et F deux -espace vectoriels de dimension finie n et m respectivement Soient B e i 1 i n une base de E, C f j 1 j m une base de F, et f une application linéaire de E dans F Alors f e 1,, f e n s écrivent de manière unique sous la forme : f e 1 a 1,1 f 1 a m,1 f m f e 2 a 1,2 f 1 a m,2 f m f e n a 1,n f 1 a m,n f m, ou encore f e j m i 1 a i,j f i pour j 1,, n La matrice (representative) de f dans les bases B et C, notée Mat f ; B, C, est la matrice appartenant à M m,n dont les coefficients de la j ième colonne sont les coordonnées du vecteur f e j dans la base C f i 1 i m, c est-à-dire : f e 1 f e 2 f e n Mat f ; B, C f 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n f 2 a 2,1 a 2,2 a 2,n f m a m,1 a m,2 a m,n

4 CHAPITRE V MATRICES 35 Si F E, alors f est un endomorphisme, et l on peut choisir la même base B dans E considéré comme espace de départ et d arrivée Dans ce cas, Mat f ; B, B M n, et l on notera cette matrice Mat f ; B B Définition Soient E un espace vectoriel de dimension finie n et B e i 1 i n une base de E Soient x E, et x 1,, x n les coordonnées de x dans la base B (donc x x 1 e 1 x n e n ) On écrira Mat x; B x 1 M n,1, et on dira que X est la matrice de x dans la base x n Proposition 50 Soient E, F deux E et C une base de F Alors : -espace vectoriels de dimension n, m respectivement Soient B une base de (a) l application de L E, F dans M m,n qui à une application f associe Mat f ; B, C est un isomorphisme d espaces vectoriels En particulier, dim L E, F mn (b) l application de E dans n qui à x E associe Mat x; B est un isomorphisme d espaces vectoriels Théorème 51 Soient E, F des -espace vectoriels de dimension finie, B une base de E, C une base de F, f : E F une application linéaire, et A Mat f ; B, C (a) Si x E, soient X Mat x; B et Y Mat f x ; C Alors : AX Y (b) Si G est un -espace vectoriel de dimension finie, D est une base de G, et g : F G est une application linéaire, alors C BA, où B Mat g; C, D et C Mat g f ; B, D (c) L application f est bijective si et seulement si Mat f ; B, C est inversible Ceci étant, Mat f ; B, C 1 Mat f 1 ; C, B e) Changement de bases La matrice qui représente une application linéaire a été construite par rapport à un choix de bases dans l espace de départ et l espace d arrivée Nous allons voir comment sont reliées deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes Définition Soient E un -espace vectoriel de dimension n, B e 1,, e n et B e 1,, e n deux bases de E On appelle matrice de passage de la base B à la base B la matrice Pass B, B Mat Id E ; B, B La matrice Pass B, B base B est donc la matrice dont la j ième colonne est formée des coordonnées de e j dans la Remarque Si Q est la matrice de passage de la base B à la base B, alors QP Mat Id E ; B, B I n, donc P est inversible, et P 1 Q

5 CHAPITRE V MATRICES 36 Théorème 52 (action de changement de base : coordonnées) Soient E un -espace vectoriel de dimension n, et B et B deux bases de E Soient x E, X Mat x; B, X Mat x; B et P Pass B, B Alors X PX Théorème 53 (action de changement de base : applications) Soient E, F des -espace vectoriels de dimension finie, f L E, F, B et B deux bases de E, et C et C deux bases de F Soient A Mat f ; B, C, A Mat f ; B, C, P Pass B, B et Q Pass C, C Alors A Q 1 AP Ceci se voit schématiquement : E B Id E f E P B A F Id F F C Q 1 C En particulier, si f : E E est un endomorphisme, B, B sont deux bases de E, A Mat f ; B, A Mat f ; B, et P Pass B, B, on a : A P 1 AP Ceci motive les définitions suivantes : Définitions (a) Deux matrices A, A M m,n sont dites équivalentes s il existe Q GL m, et P GL n, telles que A Q 1 AP (b) Deux matrices A, A M n sont dites semblables s il existe P GL n, telles que A P 1 AP Remarques (a) La relation «être equivalente à» est une relation d équivalence dans M m,n (b) Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes (c) La relation «être semblable à» est une relation d équivalence dans M n (d) Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes (e) Deux matrices semblables sont équivalentes Mais la réciproque n est pas vraie f) Rang d une matrice Nous avons déjà défini le rang d une application linéaire f : E F au Chapitre IV comme rg f dim Im f Si e 1,, e n est une base de E, rg f dim Vect f e 1,, f e n a 1k Définition Soit A a ij M m,n Soient c k a mk m, 1 k n, les vecteurs-colonnes de A On pose rg A, le rang de A, égal au nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes considérées comme éléments de l espace vectoriel m, autrement dit, rg A dim Vect c 1,, c n

6 CHAPITRE V MATRICES 37 Comme on peut imaginer, il y a un lien avec la notion de rang d une application linéaire Théorème 54 (a) Soit A M m,n Alors rg A rg t A (b) Soient E, F deux espaces vectoriels sur de dimension finie, et f L E, F Soient B une base de E, C une base de F, et A Mat f ; B, C Alors rg f rg A Autrement dit, deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes ont même rang ; en particulier, deux matrices équivalentes ont même rang Le rang d une matrice se calcule à l aide de la méthode de Gauss 2 Polynôme d interpolation de Lagrange Étant donnés n 1 points x i, y i du plan, où les x i sont distincts, il existe un polynôme unique L de degré n (appelé polynôme d interpolation de Lagrange) tel que L x i y i pour tout i 1,, n 1 Théorème 55 Soient un corps commutatif infini, et n X P X deg P n On considère n 1 éléments distincts α 1,, α n 1 Soient les polynômes L 1,, L n 1 définis par : L i X X α 1 X α i 1 X α i 1 X α n 1 α i α 1 α i α i 1 α i α i 1 α i α n 1 Alors : (a) L i α j δ i,j pour tous 1 i, j n 1 (b) La famille L 1,, L n 1 est une base de n X (c) Soient β 1,, β n 1 quelconques Alors le polynôme L X β 1 L 1 β n 1 L n 1 est l unique pôlynome de n X tel que L α i β i pour tout i 1,, n 1 Il s appelle polynôme d interpolation de Lagrange Démonstration (a) On a bien L i α i 1 et L i α j 0 pour tout j i (b) Supposons que λ 1 L 1 λ n 1 L n 1 0, où λ 1,, λ n 1 Pour tout i 1,, n 1, on a L i n X et λ i λ 1 L 1 α i λ n 1 L n 1 α i 0, donc la famille L 1,, L n 1 est libre, et puisque dim n X n 1, c est une base de n X par le Théorème 28

7 CHAPITRE V MATRICES 38 (c) D après le (a), on a L α i β i pour tout i 1,, n 1 Puisque L n X et L 1,, L n 1 est une base de n X, L se décompose de manière unique sur les L i

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