Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire

Transcription

1 Spéciale PSI - Cours "Electronique des signaux et systèmes" 1 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire Nous nous proposons dans ce chapitre d étudier la réponse d un système linéaire à une excitation sinusoïdale. L intérêt de cette étude est double : cette situation correspond à des cas réelles : courant sinusoïdal délivré par le secteur par exemple ; si le signal n est pas sinusoïdal, il su!t de le décomposer en signaux sinusoïdaux (décomposition en série de Fourier) et d appliquer la méthode présenté au chapitre I Observation du régime harmonique 1.1. Stabilité du système Soit un système linéaire ; il est donc régi par une équation diérentielle du type n i=0 a i. di e dt = m i k=0 b k. dk s dont les coecients dt k a i et b k sont réels et constants. Nous dirons que le système est stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée. Nous admettons (cf cours de math) que le système est stable si et seulement si : l ordre de dérivation le plus élevé est celui d une dérivée de la réponse s(t): m n; les racines de l équation caractéristique m k=0 b k.r k =0sont à parties réelles négatives. Pour les systèmes d ordre un et deux cette condition est véri)ée si tous les coecients de l équation caractéristiques sont du même signe. Remarque : Il n existe pas de système physique réel dont la réponse augmente indé)niment avec la fréquence, n est donc toujours inférieur à m Aspect pratique Pour observer expérimentalement la réponse d un système à une excitation sinusoïdale, nous ne disposons pas dans la pratique d un signal sinusoïdal in)ni : en toute rigueur, pour observer le régime forcé, l excitation du système doit débuter au temps t et l étude doit être menée pour t +. Nous considérerons que le régime permanent est atteint si le régime transitoire est négligeable devant le régime permanent (au bout d une durée, temps caractéristique du système). En électronique, des non-linéarité peuvent également apparaître pour des signaux de trop forte amplitude ; nous veillerons doncàtravaillerenpetits signaux. L obtention d une réponse sinusoïdal, dans les conditions précédentes, apparaît comme un test de la linéarité du système; nous reviendrons sur cette propriété en conclusion de ce chapitre. 2. Etude de la fonction de transfert (rappels) 2.1. Fonction de transfert Soit un système linéaire stable. Avec les hypothèses précédentes, sa réponse à une excitation sinusoïdale est sinusoïdale (en régime forcé) ; nous pouvons donc utiliser la notation complexe. Rappel :lafonction de transfert opérationnelle H(p) dusytèmeest: H(p) = S(p) E(p) = n i=0 ai.pi mk=0 b k.p k En régime harmonique p = j est un imaginaire pur et la fonction de transfert opérationnelle H(p) peut être remplacée par la fonction de transfert complexe ou transmittance isochrone H(j) = s(j) e(j) = n i=0 a i.(j) i mk=0 b k.(j) k Dans la suite nous conserverons la notation opérationnelle. Dé-nition : m, degré du dénominateur de la fonction de transfert, est appelé ordre du système.

2 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire Décomposition en éléments simples Les signaux d entrée et de sortie des systèmes physiques étudiés sont des fonctions du temps à valeurs réelles. Les coecients a i et b k de l équation diérentielle n i=0 a i. di e(t) dt = m i k=0 b k. dk s(t) véri)ée par le signal de sortie sont réels. dt k La fonction de transfert est donc une fraction rationnelle à coecients réels que nous pouvons décomposer en éléments simples. Ainsi la fonction de transfert H(p) est factorisable sous la forme de fonctions de transfert élémentaires H k (p) d ordre zéro, un ou deux à coecients réels : H(p) = k H k (p) avec H k (p) =a ou b cp + d ou fp + g hp 2 + kp + l avec a,b,c,d,f,g,h,k,l 2.3. Module et argument En régime harmonique H(p) =H(j) = s(j) e(j) = S.ejt E.e jt = S E = H(j).ej. Nous avons donc : Le module H(j) de la fonction de transfert est le rapport des amplitudes des signaux de sortie s(t) et d entrée e(t) ; L argument = Arg(H(j)) de la fonction de transfert est le déphasage de la réponse s(t) par rapport à l excitation e(t). En utilisant la décomposition du 2.2. nous avons H(p) = k H k(p) et = k Arg(H k(p)) Exercice 1 :Circuit RC en cascade 1) Déterminer l expression du transfert H(p) =u 1 /u E pour le circuit 1 en fonction de p et de = RC. 2) Déterminer l expression du transfert H(p) =u 2 /u E pour le circuit 2 en fonction de p, et a, a étant une constante positive réglable. Discuter l in0uence de a sur cette fonction de transfert Diagramme de Bode Rappels Un diagramme de Bode est la représentation d une fonction de transfert au moyen de deux courbes : une courbe de réponse en gain donnant les variations du gain en décibels G db () =20. log 10 H(j) en fonction de la pulsation exprimée dans une échelle logarithmique log 10 ; une courbe de réponse en phase donnant les variations du déphasage () =Arg(H(j)) de s(t) par rapport à e(t) en fonction de la pulsation exprimée dans une échelle logarithmique log 10 ; Propriétés Les propriétés du module, du logarithme et de l argument simpli)ent le tracé du diagramme de Bode : Après avoir décomposé H(p) en fonction de transfert d ordre un et deux, la représentation de Bode de H(p) s obtient par addition selon l axe des ordonnées des représentations de Bode des fonctions de transfert H k (p) (il est judicieux de commencer par la somme des tracés asymptotiques). Il est donc important de connaître les diagrammes de Bode des systèmes d ordre un ou deux. réf réf

3 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire Etude des cas limites Nous pouvons véri)er le diagramme de Bode en étudiant physiquement le comportement à basse et haute fréquence : A basse fréquence : un condensateur est équivalent à un circuit ouvert, une bobine est équivalente à un court-circuit ; A haute fréquence : un condensateur est équivalent à court-circuit, une bobine est équivalente à un circuit ouvert ; 2.5. Autres représentations Il est possible de représenter H(p) diérement : représentation de Nyquist: il faut tracer dans le plan complexe m(h(p)) en fonction de e(h(p)) (courbe paramétrée enfonctionde) ; représentation de Black: il faut tracer G db () =20. log 10 H(j) en fonction de () =Arg(H(j)). Exercice 2 : Diagramme de Bode 1 Soit la fonction de transfert H(p) = a p 1+ p 1+ p avec p = j et <a<!. Déterminer l allure de son diagramme de Bode asymptotique en amplitude et phase. Nature du système? 3. Système d ordre 1 (rappels) 3.1. Passe-bas d ordre un H(p) = ±1 1+p Pulsation de coupure: o = 1, décroissance en bande atténuée : 20 db par décade ; Rotation totale de phase : = Passe-haut d ordre un H(p) = ±p 1+p Pulsation de coupure : o = 1, croissance en bande atténuée : +20 db par décade; Rotation totale de phase: = 2.

4 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire Déphaseur d ordre un H(p) = 1p 1+p Rotation totale de phase: = #. 4. Systèmes d ordre 2 (rappels) Dé-nition : Un système linéaire est d ordre 2 lorsque le dénominateur de sa fonction de transfert est de degré 2. dénominateur peut s écrire sous la forme : D =1+2% p + 2 p 2 Ce 4.1. Passe-bas d ordre 2 La fonction de transfert d un )ltre passe-bas d ordre 2 est de la forme H(p) = ±1 1+2p+ 2 p 2 H (jx) = ±1 avec x = = 0 Pulsation de coupure sur le diagramme asymptotique : o = 1, décroissance en bande atténuée: 40 db par décade; existence d une résonance si % < % c = 1 2 0, 707 (Q c = 1 2 ); Rotation totale de phase: = #. L allure du diagramme de Bode dépend de la valeur de % (ou Q). Nous retrouvons une étude du même type que dans le cas du régime libre d un circuit du second ordre. Nous nous plaçons dans le cas +. On cherche à factoriser D =1+ 1 Q (jx) +(jx)2 sous la forme D = 1+j 1+j xx1 xx2. Cela est possible s il existe (x 1,x 2 ) tel que x 1 x 2 =1et 1/x 1 +1/x 2 =1/Q. Il faut donc que l équation X QX +1admette 2 solutions réelles er cas : % > 1 Q<1/2 Le discriminant =1/Q 2 4 est positif et nous pouvons alors décomposer la fonction de transfert en produit de deux transfert du premier ordre : 1 1 H (jx) = 1+j x x 1 1+j x x 2 LetracédudiagrammedeBodesefaitsansdiculté en sommant les tracés des deux )ltres du premier ordre : ème cas : % =1 Q =1/2 Le discriminant =1/Q 2 4 est nul et nous pouvons alors écrire la fonction de transfert comme un carré d un transfert du premier ordre : 2 1 H (jx) = 1+jx Le tracé du diagramme de Bode se fait de la même façon :

5 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire ème cas : % < 1 Q>1/2 Le discriminant =1/Q 2 4 est négatif et nous ne pouvons pas décomposer la fonction de transfert en produit de deux transfert du premier ordre. Nous pouvons observer un phénomène de résonance si % < % c = 1 2. Le tracé du diagramme de Bode se fait par une étude globale de la fonction de transfert (les courbes ci-dessous sont repérées en fonction du facteur d amortissement % =1/ (2Q)) Passe-haut d ordre 2 H(p) = ± 2 p 2 1+2p+ 2 p 2 H (jx) = ±(jx) 2 Pulsation de coupure sur le diagramme asymptotique: o = 1, décroissance en bande atténuée: 40 db par décade; existence d une résonance si % < % c = 1 2 =0, 707 (Q c = 1 2 ); Rotation totale de phase: = #. PourtracerlediagrammedeBodeilsut de décomposer la fonction de transfert en produit de deux transfert : H (jx) =(jx) 2 1 Nous retrouvons la fonction de transfert d un )ltre passe-bas du second ordre ; il faut donc distinguer les mêmes cas :

6 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire Passe-bande d ordre 2 H(p) = ±2p 1+2p+ 2 p 2 H (jx) = ± 1 Q (jx) Pulsation centrale: o = 1, bande passante à 3 db: =2% o = o Q, décroissance en bande atténuée: 20 db par décade; Rotation totale de phase: = #. Pour tracer le diagramme de Bode nous pouvons décomposer la fonction de transfert en produit de deux transfert : H (jx) = 1 Q (jx) 1 Nous retrouvons la fonction de transfert d un )ltre passe-bas du second ordre ; il faut donc distinguer les mêmes cas. Pour cette étude nous pouvons également remarquer que 1 Q H (jx) = (jx) 1+ = 1 1 Q (jx)+(jx)2 1+jQ x 1 x Il en résulte les propriétés suivantes : La courbe de gain passe par un maximum pour x =1et g db =0. L axe des gains est un axe de symétrie de la courbe. Les deux asymptotes se coupent sur l axe des gains en A(0, 20 log Q) et contrairement aux passe-bas et aux passe-hauts du même ordre, leurs pentes sont de ±20dB par décade et non de ±40dB par décade.

7 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire Coupe-bande d ordre 2 H(p) = ±(1+ 2 p 2 ) 1+2p+ 2 p 2 H (jx) =± 1+(jx)2 Pulsation rejetée: o = 1, bande rejetée à 3 db: =2% o = o Q ; Discontinuité de phase: = # Déphaseur d ordre 2 H(p) = 12p+ 2 p 2 1+2p+ 2 p H (jx) = 1 1 Q (jx)+(jx) Q 1 (jx)+(jx)2 Rotation totale de phase: = 2#. 5. Système à déphasage minimal A partir de la fonction de transfert d un système stable, il est possible d en imaginer une in)nité ayant les mêmes courbes de réponse en gain mais dont les courbes de phase sont diérentes. Il sut, pour cela, de multiplier la fonction de transfert par des fonctions de transfert de déphaseur dont le module est égale à un. Parmi tous les systèmes possédant la même courbe de réponse en gain, il n en existe qu un seul à déphasage minimal, pour lequel la fonction de transfert ne comporte aucun facteur identi)able à celui d un déphaseur. On admet le résultat suivant : Un système à déphasage minimal est un système dont la fonction de transfert ne possède pas de zéro à partie réelle positive. 6. Conclusion La réponse d un système à un signal sinusoïdal permet très souvent de caractériser sa linéarité (la réponse à une excitation sinusoïdale est sinusoïdale pour un système linéaire) ; Pour caractériser une éventuelle non-linéarité nous pouvons calculer le taux de distorsion harmonique total (D.H.T.) après décomposition en série de Fourier du

8 Approfondissement de l électronique des systèmes linéaires. Chapitre II : Réponse harmonique d un système linéaire 8 signal de sortie (cf. Ch I ). s = s(t) = a o 2 + [a k cos(kt)+b k sin(kt)] k=1 les termes d ordre supérieur ou égal à 2 constituent la distorsion harmonique k=2 D.H.T. =10. log (a2 k + b2 k ) 10 k=1 (a2 k + (exprimé en db). b2 k ) Cet essai permet aussi, dans le cas d un système linéaire, d attribuer un modèle à sa fonction de transfert et d accéder à ses paramètres caractéristiques : gain statique et constante de temps pour une réponse du type premier ordre, gain statique, pulsation propre et coecient d amortissement pour une réponse du type deuxième ordre (rappel: le coecient d amortissement % est lié au facteur de qualité Q par la relation 2% =1/Q)... Cette phase d identi)cation du système est nécessaire pour le commander (c est à dire présenter le signal d entrée pour obtenir une sortie voulue). Le chapitre suivant présente une autre forme d identi)cation, fondée sur des essais temporels et non fréquentiels (tests à l échelon ou à l impulsion). Exercice 3 : Filtre actif 2 v e v s Les impédances Z et Z 1 sont des condensateurs de même capacité C et les impédances Z 2 et Z 3 sont des résistances pures R 2 et R 3. Le signal d entrée est sinusoïdal de fréquence f = /2#. 1) Ca1cu1er la transmittance H(j) =v s /v e de ce )ltre. 2.1) On donne C =20nFet R = R 2 = R 3 =11k. Calculer la fréquence de coupure à 3 db du )ltre et tracer l allure du diagramme de Bode. 2.2) On donne C =20nFet R 3 =2R 2 =2R =22k. Calculer la nouvelle fréquence de coupure à 3 db. Quel est, pour cette fréquence, le déphasage centre v s et v e?