Corrigé du brevet blanc de mathématiques du lundi 4 avril 2011

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1 Corrigé du brevet blanc de mathématiques du lundi 4 avril 2011 I - ACTIVITES NUMERIQUES EXERCICE 1 a) Calculer le nombre A et donner le résultat sous la forme la plus simple possible. A = ) A = A = ) A = ) A = A = ) A = b) Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme d un entier relatif. B = B = B = B = 4 B = c) Donner l écriture scientifique de C. C = C = 0,8 C = C = C = 0,8 C = C = EXERCICE 2 Expressions n 1 n 2 n 3 n 4 1) (9x 2)² = 81x² 36x 4 81x² 36x x² 18x x² 18x 4 2) 25x² - 36 = (5x 6)(5x 6) (5x 6)(5x + 6) (5x² 6)(5x² + 6) Ne se factorise pas 3) (x + 3)(x 2) (x + 7) = x² 13 x² + 1 x² x ) 3(x 1) + (x + 2)(x 1) est un produit est une somme 5) (4x + 3) + (2x 6) = 3(2x 1) 8x² 18x 12 2x 3 5x 2 1

2 EXERCICE 3 Voici les scores des participants à un championnat de bowling : a) Compléter le tableau suivant sans justifier (on le collera sur la copie): Scores Effectifs Effectifs cumulés croissants On justifiera toutes les réponses à partir de b). b) Quelle est l étendue des scores de ce championnat? L étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Etendue = = 161 c) Quelle est la moyenne des scores arrondie à 0,1 près de ce championnat? Moyenne = Moyenne = Moyenne = A ce championnat, la moyenne des scores est 182,6 environ. d) Quelle est la médiane des scores de ce championnat? L effectif total est égal à 33, c est un nombre impair. La médiane correspond donc à la valeur centrale de la série. Donc la médiane est la 17 e valeur. On cherche le rang 17 dans les effectifs cumulés croissants. On lit le score 171. Donc, la médiane des scores de ce championnat est égale à 171. e) Déterminer les valeurs du premier et troisième quartile. Premier quartile : On divise l effectif total par 4. Le 1 er quartile correspond à la 9 e valeur, c est-à-dire 142. Troisième quartile : On multiplie l effectif total par ¾ Le 3 ème quartile correspond à la 25 e valeur, c est-à-dire

3 II - ACTIVITES GEOMETRIQUES EXERCICE 1 Dans cet exercice l'unité est le centimètre. On considère le triangle ABC tel que AB = ; AC = et BC = 5. 1) Démontrer que ABC est rectangle en A. Dans le triangle ABC, le côté le plus long est [BC]. On compare donc et : Donc : D après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A. 2) Calculer le périmètre du triangle ABC, donner la valeur exacte sous la forme a où a est un nombre entier. 3) Calculer l'aire exacte de ce triangle. On rappelle la formule de l aire d un triangle: (base hauteur) 2 (d après 2.) 4) Où est placé le centre du cercle circonscrit au triangle? Justifier la réponse. Le triangle ABC est rectangle en A. Or, si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. Donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu du côté [BC]. EXERCICE 2 Soit ABCD un rectangle tel que : AB = 6 cm et AD = 4,5 cm. E est un point du segment [AB] tel que AE = 3,6 cm. A M est un point du segment [AD] tel que AM = 2,7 cm. 1) Construire la figure en vraie grandeur. Figure à compléter. M E B 3 D C

4 2) Démontrer que les droites (EM) et (BD) sont parallèles. Les droites (AB) et (AD) sont sécantes en A. De plus les points A, E, B d une part et les points A, M, D d autre part sont distincts entre eux et alignés dans le même ordre. On compare et : Donc, Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, on peut dire que les droites (EM) et (BD) sont parallèles. 3) On considère le point N du segment [BC] tel que CN = 2 cm. La parallèle à la droite (BD) passant par N coupe la droite (CD) en P. Calculer PC. Les droites (BC) et (DC) se coupent en C De plus, les points B, N et C d une part et D, P et C d autre part sont distincts entre eux et alignés. Les droites (BD) et (NP) sont parallèles. Donc, d après le théorème de Thalès, on a CP cm 4) Calculer la longueur NP D après les données, ABCD est un rectangle donc, par définition, le triangle NCP est rectangle en C et d après le théorème de Pythagore, on a : NP² = CN² + CP² NP² = 2² + NP² = 4 + = NP = = cm 4

5 III PROBLEME Téva roule en scooter et, tout à coup, il aperçoit un piéton. La distance de réaction est la distance parcourue entre le temps où Téva voit l obstacle et le moment où il va ralentir ou freiner. Téva est en bonne santé : il lui faut 1 seconde en moyenne pour réagir. PREMIERE PARTIE : 1. Si Téva roule à 54 km/h : a) Quelle distance en mètre parcourt-il en une heure? A 54 km/h, Téva parcourt 54 km en une heure, c est-à-dire m en une heure. b) Quelle distance en mètre parcourt-il en une seconde? 1 h = s Il parcourt donc En déduire la distance de réaction de Téva, s il roule à 54 km/h. Il faut 1 seconde à Téva pour réagir, il parcourt 15 m en 1 seconde. S il roule à 54 km/h, la distance de réaction de Téva est 15 m. 2. On admettra que la distance de réaction se calcule avec la formule : D R = V,où D R est la distance de réaction en mètre et V est la vitesse en km/h. Reproduire et compléter le tableau suivant : Vitesse en km/h Distance de réaction en mètre 12, SECONDE PARTIE : On appelle x la vitesse à laquelle peut rouler un conducteur. 1. Exprimer, en fonction de, la distance de réaction.. 2. a) Sur une feuille de papier millimétré, placer l origine O en bas et à gauche. Prendre pour unités : en abscisse, 1 cm pour 10 km/h ; en ordonnée, 1 cm pour 2 m. b) Dans le repère précédent, tracer la représentation graphique de la fonction d définie par. (On pourra utiliser le tableau de la 1 ère partie.) est de la forme ax avec a égal à donc d est une fonction linéaire. Par propriété, sa représentation graphique est une droite qui passe par l origine et d équation : y =. Elle passe également par le point de coordonnées (90 ; 25) par exemple. (A placer en inscrivant l abscisse et l ordonnée.) 5

6 Distance de réaction en m , Vitesse en km/h 3. Un conducteur roule à la vitesse de 30 km/h. a) Déterminer graphiquement la distance de réaction de ce conducteur. Graphiquement, pour 30 km/h, on lit 8,4 m sur l axe des ordonnées (mettre les flèches). La distance de réaction de ce conducteur à la vitesse de 30 km/h est 8,4 m. b) Retrouver les résultats de la question précédente par le calcul. Le présenter sous forme de fraction la plus simple possible, puis arrondir à l unité. C est l image de 30 par la fonction d. arrondi à l unité 4. En utilisant le graphique (on laissera les traits apparents avec les flèches), donner la vitesse à partir de laquelle la distance de réaction est supérieure à 20 m. La distance de réaction est supérieure à 20 m a partir d une vitesse supérieure à 72 km/h. 6