Méthodes algébriques pour la théorie des automates
|
|
- Sébastien Dupuis
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 1/28 Université Paris-Diderot Sciences mathématiques de Paris Centre Thèse de Doctorat Spécialité Informatique Méthodes algébriques pour la théorie des automates Luc Dartois
2 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
3 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
4 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
5 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
6 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
7 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
8 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
9 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
10 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée :
11 2/28 Exemple d automate : le digicode Objectif : la porte doit s ouvrir si l on entre le code ,..., 9 2, 4,..., 9 1 1,..., 9 p 1 q r s OK 2,..., 9 1 2,..., 7, 9 entrée : Langage reconnu : {1,..., 9} 1138{1,..., 9}
12 3/28 Automates Unidirectionnel p a u q p a a u q r p a q p a q Bidirectionnel u a u r Déterministe Non-déterministe
13 3/28 Automates Unidirectionnel p a u q p a a u q r p a q p a q Bidirectionnel u a u r Déterministe Non-déterministe
14 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = =
15 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = =
16 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = =
17 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Ce transducteur réalise la division par 3 pour les nombres écrits en binaire (bit de poids fort) entrée : 10 = = = 3.
18 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) Unidirectionnel Séquentiel Unidirectionnel non-déterministe u ũ Bidirectionnel Bidirectionnel déterministe Bidirectionnel non-déterministe Déterministe Non-déterministe
19 4/28 Automates avec sorties (ou transducteurs) ua au Unidirectionnel Séquentiel Unidirectionnel fonctionnel Unidirectionnel non-déterministe u ũ Bidirectionnel Bidirectionnel déterministe Bidirectionnel fonctionnel Bidirectionnel non-déterministe Déterministe Non-déterministe
20 5/28 Modèles pour les langages rationnels Machine Algèbre Automates a 1 2 Monoïdes η : A (M,, 1 M ) Logique MSO x a(x) ϕ(x)
21 5/28 I. Transducteurs bidirectionnels apériodiques Machine Algèbre Transducteurs bidirectionnels a a, 1 2 Apériodiques [[x ω = x ω+1 ]]
22 5/28 II. Ajout des prédicats modulaires Automates a 1 2 Monoïdes η : A (M,, 1 M ) Ajout des prédicats modulaires MSO x a(x) ϕ(x)
23 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1
24 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1
25 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a
26 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a a
27 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a a b
28 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 1 a a b b
29 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b
30 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b
31 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b b
32 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b b a
33 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 2 a a b b b b a a
34 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
35 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
36 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
37 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
38 6/28 Exemple de transducteur bidirectionnel Ce transducteur réalise la fonction miroir : u uũ. ɛ, a a, b b, a a, b b, a ɛ, b ɛ, ɛ, ɛ, a a b b 3 a a b b b b a a
39 7/28 Modèles de transductions Transducteurs bidirectionnels déterministes [AC10] Streaming String Transducers [AC10] [EH01] [AC10] MSO-transductions [Cou94] [Courcelle 94], [Engelfriet, Hoogeboom 01], [Alur,Černý 10]
40 7/28 Modèles de transductions Transducteurs bidirectionnels apériodiques et déterministes Aperiodic Streaming String Transducers [FKT14] [FKT14] FO-transductions [Filiot, Krishna, Trivedi 14]
41 8/28 Composition des transducteurs A B u A(u) = v B(v) B A Stabilité par composition Séquentiel Bidirectionnel déterministe Générique oui oui Apériodique oui??
42 8/28 Composition des transducteurs A B u A(u) = v B(v) B A Stabilité par composition Séquentiel Bidirectionnel déterministe Générique oui oui Apériodique oui oui (Nouveau)
43 9/28 Monoïde de transitions dans le cas unidirectionnel Éléments du monoïde u R u Q Q R a = {(1, 1), (2, 1)} Loi de composition R uv = R u R v R ab = {(1, 1), (2, 1)} {(1, 2)} = {(1, 2), (2, 2)} a b 1 2 a ɛ 1 2 Produits a 1 1 aa = a b 2 - bb = 0 ab 2 2 aba = a ba 1 - bab = b bb - -
44 10/28 Éléments du monoïde de transitions Cas unidirectionnel : u R u Q Q u gauche-droite
45 10/28 Éléments du monoïde de transitions Cas bidirectionnel : 4 relations de Q Q u gd(u) gauche-droite u dg(u) gg(u) droite-gauche dd(u) gauche-gauche droite-droite 4 types de parcours partiels [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
46 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv =
47 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R u
48 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v
49 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
50 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) gd(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
51 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) gg(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
52 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) gg(v)dd(u) gd(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
53 11/28 Loi de composition des parcours u v Cas unidirectionnel : R uv = R ur v Cas bidirectionnel : gd(uv) = gd(u) ( gg(v)dd(u) ) gd(v) [Shepherdson 59], [Pécuchet 85], [Birget 89]
54 12/28 Composition des Transducteurs Un transducteur bidirectionnel est apériodique si son monoïde de transitions est apériodique, i.e. s il existe un entier n tel que pour tout mot u, u n et u n+1 ont les mêmes parcours. Théorème [Chytil, Jákl 77] Soient A et B deux transducteurs bidirectionnels, déterministes, et composables. Alors on peut effectivement construire un transducteur C déterministe et tel que C = B A. A B u A(u) = v B(v) B A
55 12/28 Composition des Transducteurs Un transducteur bidirectionnel est apériodique si son monoïde de transitions est apériodique, i.e. s il existe un entier n tel que pour tout mot u, u n et u n+1 ont les mêmes parcours. Théorème [Carton, D.] Soient A et B deux transducteurs bidirectionnels, déterministes, apériodiques et composables. Alors on peut effectivement construire un transducteur C déterministe et apériodiques tel que C = B A. A B u A(u) = v B(v) B A
56 13/28 Cas particulier Théorème Soient A un transducteur unidirectionnel et B un transducteur bidirectionnel, tous deux déterministes et apériodiques. Alors on peut effectivement construire un transducteur D déterministe et apériodique tel que D = B A.
57 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u 0 A D A(u) : B B A(u)
58 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
59 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
60 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
61 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : A(u) : B A A(u j ) u j D B A(u)
62 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : A(u) : A A(u j ) B u j D B A(u)
63 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : A(u) : A A(u j ) B u j D B A(u)
64 14/28 Fonctionnement du transducteur D u : u i A D A(u) : A(u i ) B B A(u)
65 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) u u u u
66 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) u u u u A
67 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) n A itérations u u u u A q 1 q 2 q q q q q
68 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) n A itérations u u u u A q 1 q 2 q q q q q A(u n ) v... v v
69 15/28 Apériodicité du transducteur D n = O(n A + n B) gd D(u n ) = gd D(u n+1 ) n A itérations u u u u A q 1 q 2 q q q q q A(u n ) B v p 1 p 2... v v p nb 1 p p n B itérations
70 16/28 Travaux en cours Transducteurs bidirectionnels apériodiques et déterministes Aperiodic Streaming String Transducers [FKT14] [FKT14] FO-transductions [Filiot, Krishna, Trivedi 14]
71 16/28 Perspectives Transducteurs bidirectionnels J -triviaux et déterministes? J -trivial Streaming String Transducers?? BΣ 1-transductions
72 17/28 Ajout des prédicats modulaires Automates a 1 2 Monoïdes η : A (M,, 1 M ) Ajout des prédicats modulaires MSO x a(x) ϕ(x)
73 18/28 Logique monadique du second ordre Modèles : mots finis sur un alphabet fini. abba = ({0, 1, 2, 3}, a = {0, 3}, b = {1, 2},...) Logique monadique du second ordre : ϕ ϕ ϕ xϕ X ϕ x X a(x) x < y ϕ x a(x) y ( x < y a(y) ) ( y < x b(y) ) L(ϕ) = b aa
74 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d.
75 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d. ψ x ( a(x) MOD 3 0 (x)) D 3 1. L(ψ) = (A 3 ) a(a 3 ).
76 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d. ψ x ( a(x) MOD 3 0 (x)) D 3 1. L(ψ) = (A 3 ) a(a 3 ). ϕ x ( a(x) MOD 3 0 (x) MOD2 1 (x)). L(ϕ) = (A 6 ) A 3 aa.
77 19/28 Prédicats modulaires Prédicats modulaires Pour tout entiers 0 i < d, un prédicat unaire MOD d i (x), satisfait si x i mod d, un prédicat 0-aire D d i, satisfait si u i mod d. MOD est l ensemble des prédicats MOD d i (x), D d i, pour 0 i < d. ψ x ( a(x) MOD 3 0 (x)) D 3 1. L(ψ) = (A 3 ) a(a 3 ). ϕ x ( a(x) MOD 3 0 (x) MOD2 1 (x)). x ( a(x) MOD 6 3 (x)). L(ϕ) = (A 6 ) A 3 aa.
78 20/28 Questions de logique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Problème de la définissabilité Soit L un langage régulier. Existe-t-il une formule ϕ de F[σ] telle que L = L(ϕ)?
79 20/28 Questions de logique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Problème de la définissabilité Soit L un langage régulier. Existe-t-il une formule ϕ de F[σ] telle que L = L(ϕ)? Problème de transfert La décidabilité de F[σ] implique-t-elle celle de F[σ, MOD]?
80 21/28 Résultats connus BΣ 1 [<] : Formules du premier ordre de profondeur de quantification 1, J : Monoïde dont la relation de division est l égalité, QV : Morphisme η tel que η((a d ) ) appartient à V. Fragment Caractérisation algébrique Référence BΣ 1 [<] J [Sim75] BΣ 1 [< MOD] J MOD [CPS06] Σ 2 [<, MOD] Effective [KW14] FO[<] A [MP71] & [Sch65] FO[<, MOD] QA [BCST92] [Schützenberger 65], [McNaughton, Papert 71], [Simon 75], [Barrington, Compton, Straubing, Thérien 92], [Chaubard, Pin, Straubing 06], [Kufleitner, Walter 14]
81 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres (variétés de morphismes syntaxiques) V MOD.
82 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres (variétés de morphismes syntaxiques) V MOD. Problème Le produit semidirect ne préserve pas la décidabilité.
83 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L et tout entier d, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD d ], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres V MOD d.
84 22/28 Caractérisation algébrique Soit F[σ] un fragment de la logique sur les mots finis. Théorème [D.,Paperman], [Kufleitner, Walter 14] Si F[σ] est caractérisé par la variété de monoïdes V. Alors pour tout langage régulier L et tout entier d, les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable par une formule de F[σ, MOD d ], Le morphisme syntaxique de L appartient à la lm-variété de timbres V MOD d. Deux sous-problèmes Décision Décidabilité de V MOD d. Délai Peut-on calculer un entier d tel que L est définissable dans F[σ, MOD] ssi L est définissable dans F[σ, MOD d ]?
85 23/28 Automate 2-itéré a, b 1 2 a, b Langage (A 2 ), monoïde de transitions : C 2
86 23/28 Automate 2-itéré A A 2 Langage (A 2 ), monoïde 2-itéré trivial
87 23/28 Automate 2-itéré A A 4 Langage (A 2 ), monoïde 4-itéré isomorphe au 2-itéré
88 23/28 Automate 2-itéré A A 4 Langage (A 2 ), monoïde 4-itéré isomorphe au 2-itéré Indice de stabilité (d après [Straubing 94]) Pour tout langage régulier L, il existe un plus petit entier s tel que ses automates minimaux s-itéré et 2s-itéré soient isomorphes. Algébriquement, on a A s L A 2s L A 3s L....
89 24/28 Pertinence de l indice de stabilité Langage (A 2 ) Langage parité (nombre pair de a) a, b 1 2 b a 1 2 b a, b a monoïde de transitions : C 2 monoïde de transitions : C 2
90 24/28 Pertinence de l indice de stabilité Langage (A 2 ) s = 2 Langage parité (nombre pair de a) s = 1 a, b 1 2 b a 1 2 b a, b a monoïde de transitions : C 2 monoïde de transitions : C 2 A 2 1 A 2 2 monoïde 2-itéré trivial ab, ba a 2, b 2 a 2, b ab, ba monoïde 2-itéré C 2
91 25/28 Cas de FO 2 [<, MOD] Théorème [D.,Paperman (STACS13)] Soit L un langage régulier d indice de stabilité s. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable dans FO 2 [<, MOD], L est définissable dans FO 2 [<, MOD s ], Le morphisme syntaxique η de L appartient à DA MOD = QDA, Le sous-monoïde η(a s ) appartient à DA.
92 26/28 Généralisable? Soit F[σ] un fragment de logique caractérisé par la variété V. Généralisation? Soit L un langage régulier d indice de stabilité s. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable dans F[σ, MOD], L est définissable dans F[σ, MOD s ], Le morphisme syntaxique η de L appartient à V MOD = QV, Le sous-monoïde η(a s ) appartient à V.
93 26/28 Généralisable? Soit F[σ] un fragment de logique caractérisé par la variété V. Généralisation? Non Soit L un langage régulier d indice de stabilité s. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : L est définissable dans F[σ, MOD], (L est définissable dans F[σ, MOD s ],) Problème ouvert Le morphisme syntaxique η de L appartient à V MOD QV (en particulier J MOD QJ), Le sous-monoïde η(a s ) appartient à V.
94 27/28 Résultats de décidabilité Fragment Caractérisation algébrique Délai BΣ 1 [<, MOD] FO[<, MOD] FO 1 [MOD] FO 2 [<, MOD] FO[=, MOD] J MOD [CPS06] QA [BCST92] QJ 1 Nouveau QDA Nouveau, [DP13] ACom MOD Nouveau 2s (s par [CPS06]) Décidable s Décidable s Décidable s Décidable 2s Décidable FO 2 k [<, MOD] V k MOD 2ks Nouveau Décidable
95 28/28 Perspectives (Prédicats modulaires) L ajout des prédicats modulaires correspond algébriquement à un produit semidirect par MOD. C est une caractérisation non effective, cependant : On a une réponse positive et effective pour la plupart des fragments connus (FO, FO 2, FO 2 k, BΣ 1, BΣ k?).
96 28/28 Perspectives (Prédicats modulaires) L ajout des prédicats modulaires correspond algébriquement à un produit semidirect par MOD. C est une caractérisation non effective, cependant : On a une réponse positive et effective pour la plupart des fragments connus (FO, FO 2, FO 2 k, BΣ 1, BΣ k?). Ensuite? L indice de stabilité est-il toujours un indice de délai? Les méthodes semblent s étendre aux variétés positives (Σk?) ou aux ne-variétés, Cette approche reste valable pour tout ensemble de prédicats unaires ayant une caractérisation algébrique (prédicats locaux unaires, prédicats algébriques).
Structures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailTransducteurs d arbres et (peut-être un peu) apprentissage
Transducteurs d arbres et (peut-être un peu) apprentissage A. Lemay 2006 Taxonomie des transducteurs d arbres Syntax Directed translation (Irons 60) Attributed Tree Transducers (Knuth 68, Fülop 81) Rational
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailInformatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur
Université Paris-Sud Licence d Informatique Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur Adresse de l auteur : LIX École Polytechnique
Plus en détailpar Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis
LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailAlgorithmique et Programmation Fonctionnelle
Algorithmique et Programmation Fonctionnelle RICM3 Cours 9 : Lambda-calcul Benjamin Wack Polytech 2014-2015 1 / 35 La dernière fois Typage Polymorphisme Inférence de type 2 / 35 Plan Contexte λ-termes
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailSUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*)
PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 56 Fasc. 4 1999 SUR CERTAINS SYSTEMES D EQUATIONS AVEC CONTRAINTES DANS UN GROUPE LIBRE (*) J. Almeida and M. Delgado Résumé: Le théorème principal trouvé par Ash pour sa preuve
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailObjectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Les quanta s invitent
TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS III CHAPITRE I Les quanta s invitent I-1. L Univers est en constante évolution 2 I-2. L âge de l Univers 4 I-2.1. Le rayonnement fossile témoigne 4 I-2.2. Les amas globulaires
Plus en détailCours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin
Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin 11 octobre 2014 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Bases de la programmation en C++ 7 3 Les types composés 9 3.1 Les tableaux.............................
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailLongtemps, je me suis imaginé le bonheur de rédiger cet avant-propos. J en
Avant-propos Qui trop embrasse, mal étreint. Adage populaire On ne peut faire l amour avec toutes les femmes, mais il faut essayer. Autre adage Longtemps, je me suis imaginé le bonheur de rédiger cet avant-propos.
Plus en détailModèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques
Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailC algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.
Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailBougez, protégez votre liberté!
> F a Bgz, pégz v bé! www.a-. CAT.ELB.a240215 - Cé ph : Fa Daz à v p aé N az p a v gâh a v! Aj h, p g évq v ; Pa, p 4 aça q, v, éq qaé v. Ca ax é ç, b pa évé ax p âgé a h a p j. E pè v, h pa épagé. Pa
Plus en détailProduit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4
Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailFondements de l informatique Logique, modèles, et calculs
Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs Cours INF423 de l Ecole Polytechnique Olivier Bournez Version du 20 septembre 2013 2 Table des matières 1 Introduction 9 1.1 Concepts mathématiques........................
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailRecherche dans un tableau
Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6
Plus en détailSystème binaire. Algèbre booléenne
Algèbre booléenne Système binaire Système digital qui emploie des signaux à deux valeurs uniques En général, les digits employés sont 0 et 1, qu'on appelle bits (binary digits) Avantages: on peut utiliser
Plus en détailCHRISTOPHE REUTENAUER* Dédié à mon ami Xavier Viennot
Séminaire Lotharingien de Combinatoire 54 (2006), Article B54h MOTS DE LYNDON GÉNÉRALISÉS CHRISTOPHE REUTENAUER* Dédié à mon ami Xavier Viennot Abstract. By choosing for each position i of infinite words
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL
LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL 75 LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL CHAPITRE 4 OBJECTIFS PRÉSENTER LES NOTIONS D ÉTIQUETTE, DE CONS- TANTE ET DE IABLE DANS LE CONTEXTE DU LAN- GAGE PASCAL.
Plus en détail1 de 46. Algorithmique. Trouver et Trier. Florent Hivert. Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert
1 de 46 Algorithmique Trouver et Trier Florent Hivert Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert 2 de 46 Algorithmes et structures de données La plupart des bons algorithmes
Plus en détail1ère partie Nadine Cullot. Bases de données déductives. Bases de données déductives Introduction et Motivation
Master STIC «Image Informatique et Ingénierie» Module Informatique Modèles de représentation - 10h CM Nadine Cullot Kokou Yétongnon nadine.cullot@u-bourgogne.fr kokou.yetongnon@u-bourgogne.fr 1ère partie
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailBureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch
Pre-MBA Statistics Seances #1 à #5 : Benjamin Leroy-Beaulieu Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch Mise à niveau statistique Seance #1 : 11 octobre Dénombrement et calculs de sommes 2 QUESTIONS
Plus en détailAlgorithmes récursifs
Licence 1 MASS - Algorithmique et Calcul Formel S. Verel, M.-E. Voge www.i3s.unice.fr/ verel 23 mars 2007 Objectifs de la séance 3 écrire des algorithmes récursifs avec un seul test rechercher un élément
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailCCI Génie Logiciel UFR - IMA. Objectifs du cours d'aujourd'hui. Génie Logiciel Validation par le test. Qu est-ce que tester un programme?
Validation par le test Objectifs du cours d'aujourd'hui Donner des réponses aux questions suivantes : Lydie du Bousquet 2 Qu est-ce que tester un programme? Exercice 1 : Inscrivez sur une feuille ce que
Plus en détail16H Cours / 18H TD / 20H TP
INTRODUCTION AUX BASES DE DONNEES 16H Cours / 18H TD / 20H TP 1. INTRODUCTION Des Fichiers aux Bases de Données 2. SYSTEME DE GESTION DE BASE DE DONNEES 2.1. INTRODUCTION AUX SYSTEMES DE GESTION DE BASES
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailThéorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / Modélisation
IFIPS S7 - informatique Université Paris-Sud 11 1er semestre 2009/2010 Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / 1 Forêts et arbres II Théorème 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes
Plus en détailUniversité de La Rochelle. Réseaux TD n 6
Réseaux TD n 6 Rappels : Théorème de Nyquist (ligne non bruitée) : Dmax = 2H log 2 V Théorème de Shannon (ligne bruitée) : C = H log 2 (1+ S/B) Relation entre débit binaire et rapidité de modulation :
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détailSimulation centrée individus
Simulation centrée individus Théorie des jeux Bruno BEAUFILS Université de Lille Année 4/5 Ce document est mis à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Partage dans les
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailSystèmes déductifs DEA D INFORMATIQUE UNIVERSITÉ BORDEAUX 1. Systèmes déductifs (Retoré) Plan Début Fin Préc. Suiv.
Systèmes déductifs DEA D INFORMATIQUE UNIVERSITÉ BORDEAUX 1 Plan 1 Liens avec d autres domaines de l informatique............... 3 2 La déduction naturelle de base (conjonction, implication)....... 4 3
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailEtudier l influence de différents paramètres sur un phénomène physique Communiquer et argumenter en utilisant un vocabulaire scientifique adapté
Compétences travaillées : Mettre en œuvre un protocole expérimental Etudier l influence de différents paramètres sur un phénomène physique Communiquer et argumenter en utilisant un vocabulaire scientifique
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailOrdonnancement temps réel
Ordonnancement temps réel Laurent.Pautet@enst.fr Version 1.5 Problématique de l ordonnancement temps réel En fonctionnement normal, respecter les contraintes temporelles spécifiées par toutes les tâches
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailValidation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble
Validation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble Guillem Candille, janvier 2006 Système de Prévision d Ensemble (EPS) (ECMWF Newsletter 90, 2001) Plan 1 Critères de validation probabiliste
Plus en détailArchitecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits
Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits 1 Rappel : un peu de logique Exercice 1.1 Remplir la table de vérité suivante : a b a + b ab a + b ab a b 0 0 0 1 1 0 1 1 Exercice
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCryptographie RSA. Introduction Opérations Attaques. Cryptographie RSA NGUYEN Tuong Lan - LIU Yi 1
Cryptographie RSA Introduction Opérations Attaques Cryptographie RSA NGUYEN Tuong Lan - LIU Yi 1 Introduction Historique: Rivest Shamir Adleman ou RSA est un algorithme asymétrique de cryptographie à clé
Plus en détail1.1 Rappels sur le produit cartésien... 1. 1.2 Relations... 3. 1.3 Graphes dirigés... 8. 1.4 Arbres... 12. 1.5 Exercices... 19. 2.1 Motivation...
Table des matières 1 Relations et graphes 1 1.1 Rappels sur le produit cartésien.................... 1 1.2 Relations.................................. 3 1.3 Graphes dirigés..............................
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailCalcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane
Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre
Plus en détailInfo0101 Intro. à l'algorithmique et à la programmation. Cours 3. Le langage Java
Info0101 Intro. à l'algorithmique et à la programmation Cours 3 Le langage Java Pierre Delisle, Cyril Rabat et Christophe Jaillet Université de Reims Champagne-Ardenne Département de Mathématiques et Informatique
Plus en détailProgrammation Par Contraintes
Programmation Par Contraintes Cours 2 - Arc-Consistance et autres amusettes David Savourey CNRS, École Polytechnique Séance 2 inspiré des cours de Philippe Baptiste, Ruslan Sadykov et de la thèse d Hadrien
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailLogiciel Libre Cours 3 Fondements: Génie Logiciel
Logiciel Libre Cours 3 Fondements: Génie Logiciel Stefano Zacchiroli zack@pps.univ-paris-diderot.fr Laboratoire PPS, Université Paris Diderot 2013 2014 URL http://upsilon.cc/zack/teaching/1314/freesoftware/
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailCours d introduction à l informatique. Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions
Cours d introduction à l informatique Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions Qu est-ce qu un Une recette de cuisine algorithme? Protocole expérimental
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailConception des systèmes répartis
Conception des systèmes répartis Principes et concepts Gérard Padiou Département Informatique et Mathématiques appliquées ENSEEIHT Octobre 2012 Gérard Padiou Conception des systèmes répartis 1 / 37 plan
Plus en détailProgrammation par contraintes. Laurent Beaudou
Programmation par contraintes Laurent Beaudou On se trouve où? Un problème, une solution : la solution est-elle une solution du problème? simulation, vérification 2 On se trouve où? Un problème, une solution
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailProgramme détaillé BTS INFORMATIQUE DE GESTION DIPLÔME D ETAT. Objectifs de la formation. Les métiers. Durée de la formation
Objectifs de la formation Les inscriptions sont réservées aux élèves de niveau BAC ou plus, et sont ouvertes dans la mesure des places disponibles. Le Brevet de Technicien Supérieur d Informatique de Gestion
Plus en détailALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION En C
Objectifs ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION Une façon de raisonner Automatiser la résolution de problèmes Maîtriser les concepts de l algorithmique Pas faire des spécialistes d un langage Pierre TELLIER 2
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailInitiation à la programmation en Python
I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de
Plus en détailCalculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Plus en détailIFT1215 Introduction aux systèmes informatiques
Introduction aux circuits logiques de base IFT25 Architecture en couches Niveau 5 Niveau 4 Niveau 3 Niveau 2 Niveau Niveau Couche des langages d application Traduction (compilateur) Couche du langage d
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détail