I) Trace d une matrice carrée

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1 CHAPITRE IV: Dans ce chapitre, K = R ou C. On notera [M] i j le coefficient situé à la ligne i colonne j de la matrice M lorsque M M np (K) où (n, p) (N ) 2 I) Trace d une matrice carrée Définition : Trace d une matrice carrée Si A est une matrice carrée, on appelle trace de A qu on note Tr(A) la somme des coefficients diagonaux de A. A M n (K), Tr(A) = n [A] ii Proposition : Linéarité de la trace [ ] Tr : Mn (K) K La trace est une application linéaire : L (M A Tr(A) n (K),K) Autrement dit : (A,B) M n (K) 2, α K, Tr(αA + B) = αtr(a) + Tr(B) ( ) ( ) EXEMPLE N O 1 On donne A =, B =. Calculer Tr(A), Tr(B), Tr(AB) et Tr(BA) i=1 Proposition : Commutativité de la trace La trace est commutative c est à dire que (A,B) M n (K) 2, Tr(AB) = Tr(BA) Proposition : Trace et transposition Si A M n (K), EXEMPLE N O 2 Tr( t A) = Tr(A) Justifier F = {M M n (K) Tr(M) = 0} est un sev de M n (K) dont on précisera la dimension EXEMPLE N O 3 Si n N, déterminer l ensemble des couples (A,B) de M n (K) 2 solutions de AB BA = I n? 1/8 LEROY - PT Paul Constans

2 II) Déterminant d une matrice carrée II-1) Définition du déterminant Théorème (admis) et définition : Déterminant d une matrice carrée Il existe une unique application de M n (K) dans K qu on appelle le déterminant telle que : i) le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes ; ii) l échange de deux colonnes a pour effet de multiplier le déterminant par 1 ; iii) le déterminant de la matrice I n vaut 1 On notera det A le déterminant de la matrice A ( ) a b Dans le cas n = 2, on a : det A = det = c d a b c d = ad bc On rappelle qu on peut interpréter géométriquement ce déterminant dans le plan : Dans le cas n = 3, le déterminant coïncide avec la notion de produit-mixte de géométrie dans l espace : det A = det a a a b b b c c c = a a a b b b c c c On rappelle qu on peut interpréter géométriquement ce déterminant dans l espace : On généralise la notation précédente : Si A = (a i j ) 1 i,j n M n (K) alors det A = a a 1n.. a n1... a nn II-2) Propriétés du déterminant Propositions : Opérations sur les déterminants Si on note C j la colonne j de la matrice A : Pour 1 i < j n, alors det(c 1,...,C i,...,c j,...,c n ) = det(c 1,...,C j,...,c i,...,c n ) autrement dit le déterminant est multiplié par 1 si on réalise l opération C i C j Pour tout scalaire α, det(c 1,...,C i,...,c n ) = det(c 1,...,C i + αc j,...,c n à cause de i) autrement dit le déterminant est invariant par les opérations C i C i + αc j Si C j = kc j avec k K, det(c 1,...,C i,...,c j,...,c n ) = det(c 1,...,C i,...,c j kc i,...,c n ) en utilisant C j C j kc i = det(c 1,...,C i,...,o n,1,...,c n ) = 0 par linéarité selon la colonne j autrement dit le déterminant est nul s il possède deux colonnes colinéaires en particulier : le déterminant est nul s il l une des colonnes est nulles ou s il y a deux colonnes identiques. et même : le déterminant est nul si les colonnes de A sont liées Pour tout scalaire α, det(αa) = det(αc 1,...,αC i,...,αc n ) = α n det(c 1,...,C i,...,c n ) = α n det(a) par linéarité selon les n colonnes autrement dit α K, det(αa) = α n det A 2/8 LEROY - PT Paul Constans

3 Proposition (admis) : Déterminant d une transposée Si A M n (K) alors det( t A) = det A COROLLAIRE : Le déterminant vérifie les mêmes propriétés vis-à-vis des lignes que des colonnes Proposition (admis) : Déterminant d un produit Si (A,B) M n (K) 2 alors : det(ab) = det AdetB = det(ba) Proposition : Déterminant et matrice inversible Soit A M n (K) alors A GL n (K) det(a) 0 et, dans ce cas : det(a 1 ) = 1 det A II-3) Calcul du déterminant par développement Méthode (admis) : calcul du déterminant par développement Si A = (a i j ) 1 i,j n M n (K), on appelle mineur associée au coefficient a i j de A le déterminant i j d ordre n 1 obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j de A On dit n qu on calcule le déterminant en développant selon la colonne j de A avec : det A = ( 1) i+j a i j i j qu on calcule le déterminant en développant selon la colonne i de A avec : det A = EXEMPLE N O 4 Calculer det i=1 n ( 1) i+j a i j i j j =1 Proposition : déterminant d une matrice triangulaire Si A M n (K) est triangulaire supérieure, alors son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux. Remarque 1 : C est donc aussi le cas pour une matrice diagonale! Remarque 2 : Attention au signe pour des matrices triangulaires par rapport à l anti-diagonale... II-4) Déterminant d une famille de vecteurs Définition : Déterminant d une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n Si E est un K espace vectoriel avec dime = n N rapporté à une base B pour toute famille (x 1,..., x n ) de n vecteurs de E, on définit le déterminant de cette famille relativement à la base B, qu on note det B (x 1,..., x n ) comme le déterminant de la matrice Mat B (x 1,..., x n ) M n (K) det B (x 1,..., x n ) = detmat B (x 1,..., x n ) Ce déterminant hérite donc des propriétés du déterminant des matrices carrées 3/8 LEROY - PT Paul Constans

4 Caractérisation des bases par le déterminant : Si E est un espace de dimension finie n N et (x 1,..., x n ) une famille de n vecteurs de E (x 1,..., x n ) est une base de E (x 1,..., x n ) est libre Pour toute base B de E, det B (x 1,..., x n ) 0 Il existe une base B de E avec det B (x 1,..., x n ) 0 Méthode : Application pour la recherche de l équation d un hyperplan Si E est un espace de dimension finie n N et (x 1,..., x n 1 ) une base de l hyperplan H de E x H Pour toute base B de E, det B (x 1,..., x n 1, x) = 0 EXEMPLE N O 5 On donne les vecteurs #» u = (a, a,1,0), #» v = (1, a,0,1) et w #» = (0,1,0, a) de R 4 où a R Montrer que H a = Vect( #» u, #» v, w) #» est hyperplan et donner une équation de celui-ci dans la base canonique. III) Matrices semblables III-1) Définition et caractérisation Définition : Matrice semblable Soient A et B deux matrices de M n (K), on dit que les matrices A et B sont semblables lorsqu il existe une matrice P inversible (càd P GL n (K)) telle que : B = P 1 AP C est une relation d équivalence sur M n (K) puisque : c est une relation c est une relation c est une relation Théorème : Caractérisation des matrices semblables Deux matrices sont semblables si elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes d un espace E de dimension n. Proposition : Des invariants par similitude Deux matrices semblables ont le même rang, la même trace et le même déterminant. Attention! Il s agit seulement de condition nécessaires EXEMPLE N O 6 Soit A = 3 1 1, les matrices suivantes sont-elles semblables à A? A 1 = A 2 = A 3 = On pourra calculer rg(a 3 I 3 ) /8 LEROY - PT Paul Constans

5 III-2) Trace et déterminant d un endomorphisme Définitions : trace et déterminant d un endomorphisme Si f L (E) où E est un espace de dimension finie alors on définit la trace de f notée Tr(f ) et le déterminant de f noté det(f ) comme la trace et le déterminant de la matrice de f dans une base B quelconque de E Propositions : Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f et g des endomorphismes de E, Si B = (e 1,...,e n ) est une base de E, det f = Si α K, det(αf ) = det(f g ) = f est un automorphisme EXEMPLE N O 7 On définit f sur R n [X] par: P R n [X], f (P) = XP + P(2). Justifier que f est un endomorphisme de R n [X] et calculer sa trace et son déterminant. IV) Éléments propres Dans cette partie, E est un K espace vectoriel et f désigne un endomorphisme de E. IV-1) Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres Définitions : Valeurs propres et vecteurs propres d un endomorphisme Un scalaire λ K est une valeur propre de f s il existe un vecteur x de E non nul tel que f (x) = λx. autrement dit : λ est valeur propre de f x E, x 0 E et f (x) = λx Le vecteur x est alors un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. autrement dit : x E est un vecteur propre de f x 0 E et λ K, f (x) = λx Remarques : un vecteur propre n est jamais nul! Si x est un vecteur propre, la valeur propre λ associée à x est unique. Il n y a pas unicité du vecteur propre associé à une valeur propre. En particulier, un vecteur non nul de Vect(x) est encore un vecteur propre de f pour la valeur propre λ Géométriquement, les vecteurs propres sont les vecteurs de E tels que f laisse stable la droite vectorielle Vect(x). En effet : Pour x E avec x 0 E, x est un vecteur propre de f Vect(x) est stable par f 5/8 LEROY - PT Paul Constans

6 Par ailleurs : f (x) = λx f (x) λx = 0 E (f λid E )(x) = 0 E x Ker (f λid E ) aussi : Théorème : λ est valeur propre de f Ker (f λid E ) {0 E } Définition : Sous espace propre Si λ K est une valeur propre de f, on appelle sous-espace propre de f associé à λ le sous-espace vectoriel E λ (f ) = Ker (f λid E ) Remarques : E λ (f ) est bien un sev puisque E λ (f ) contient tous les vecteurs propres de f associés à λ avec, en plus, 0 E. Si λ n est pas valeur propre de f, on peut quand même définie E λ (f ) = Ker (f λid E ) = Si λ = 0 alors E 0 (f ) = de sorte que : 0 est une valeur propre de f si et seulement si Définition : Spectre d un endomorphisme On appelle spectre de l endomorphisme f et on note Sp(f ) l ensemble des valeurs propres de f Définitions : Éléments propres d une matrice carrée Si A M n (K), on définit les éléments propres de la matrice A comme les éléments propres de l endomorphisme de K n canoniquement associée à A. Ainsi : λ K est valeur propre de A X K n, X 0 K n et AX = λx Ker (A λi n ) {0 K n } X K n est vecteur propre de A X 0 K n et λ K, AX = λx E λ (A) = Ker (A λi n ) est l espace propre de A associé à la valeur propre λ on note Sp(A) et on appelle spectre de la matrice A l ensemble des valeurs propres de la matrice A Remarques : Si λ est une valeur propre de A alors : dime λ (A) De même, si E est un espace de dimension finie et si λ est une valeur propre de f L (E) : ( 0 1 EXEMPLE N O 8 On note A = 0 0 ) dime α (f ) ( 0 0 et B = 1 0 ) dans M 2 (R) On définit l application f qui à une matrice M de M 2 (R) associe f (M) = AMB. Vérifier que f est un endomorphisme de M 2 (R) et préciser ses valeurs propres et ses espaces propres. 6/8 LEROY - PT Paul Constans

7 IV-2) Somme de sous-espaces propres Propositions : Somme de sous-espace propres Deux sous-espace propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. autrement dit : si λ µ, E λ (f ) E µ (f ) = {0 E } Une somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est directe. autrement dit : si λ 1,...,λ p sont des valeurs propres 2 à 2 distincte alors Corollaire : famille de vecteurs propres Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre Proposition : Si E est de dimension finie, il y a au plus dime valeurs propres distinctes pour f L (E) IV-3) Polynôme caractéristique Dans cette partie E est un espace vectoriel de dimension finie. C est donc en particulier le cas lorsqu on s intéresse aux éléments propres d une matrice. λ est une valeur propre de f x E, x 0 E et f (x) = λx Ker (f λid E ) {0 E } Théorème et définition : Polynôme caractéristique Si E est un espace vectoriel de dimension n et f L (E), l application [χ f : x det(xid E f )] est une application polynômiale On appelle polynôme caractéristique de f, noté χ f, le polynôme associé et on a λ est valeur propre de f λ est une racine de χ f On définit également le polynôme caractéristique χ A d une matrice A de M n (R) par : χ A (x) = det(xi n A) λ est valeur propre de A λ est une racine de χ A Calcul pratique : χ f (x) = det(xid E f ) = det(xi n M) = χ M (x) où M est la matrice de f dans une base quelconque de E SUITE EXEMPLE N O 8 Retrouver le spectre de f à l aide du polynôme caractéristique. 7/8 LEROY - PT Paul Constans

8 Proposition : Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et donc les même valeurs propres. De plus, les sous-espaces propres sont de même dimension (mais ils ne sont pas égaux...) EXEMPLE N O 9 Les matrices A = et B = sont-elles semblables? Proposition : degré et coefficients du polynôme caractéristique Si M M n (K) alors χ M est un polynôme unitaire de degré n et on a : χ M (x) = x n Tr(M)x n ( 1) n det(m) Remarque : La connaissance du coefficient d ordre n 1 est hors programme. Proposition : Valeurs propres complexes Si M M n (C) alors χ M possède exactement n racines dans C comptées avec leurs multiplicités donc M a exactement n valeurs propres complexes si on les compte avec leur ordre de multiplicité. Si M M n (R) alors c est aussi une matrice de M n (C) aussi on peut distinguer le spectre réel Sp R (M) et le spectre complexe Sp R (M) de M. On a l inclusion : et l équivalence : λ Sp C (M) associé au vecteur propre Z C n λ Sp C (M) associé au vecteur propre Z C n de sorte que, pour λ Sp C (M), on détermine E λ (M) à partir de E λ (M) par conjugaison. EXEMPLE N O 10 Déterminer les éléments propres de A = /8 LEROY - PT Paul Constans