Pourcentages et évolutions

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1 Pourcentages et évolutions Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Part en pourcentage Ensemble de référence Addition et comparaison de pourcentages Pourcentages de pourcentages Pourcentages d évolution Différentes façons d exprimer une variation Lien en pourcentage d évolution et coefficient multiplicateur Évolutions successives Notion d indice Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 PART EN POURCENTAGE Activité : Activité 1 1 (fp) 1 Part en pourcentage 1.1 Ensemble de référence Définition : Soit E un ensemble pris comme ensemble de référence. Soit A une partie de l ensemble E. La part en pourcentage de A dans l ensemble E est le nombre t tel que : t nbre d élèments de A = nbre d élèments de E Remarques : 1. Cela revient à considérer que l ensemble de référence a un effectif de et de faire un calcul de proportionnalité. 2. Avant de calculer ou d utiliser un pourcentage, il est donc essentiel de connaître l ensemble de référence. 3. Dans les calculs, il peut être utile d utiliser les pourcentages sous forme décimale. Par exemple, prendre 20 % d une quantité revient à multiplier par 20, soit 0, 2. Exercices : 5, 6 page page , 16, 19 page , 22 page 22 5 [Déclic] Module : Test E page 10 et exercice 55 page 27 6 [Déclic] 1.2 Addition et comparaison de pourcentages Activité : Activité 1 page 11 7 [Déclic] Exemple : Dans l activité, additionner les pourcentages de la deuxième ligne conduirait à une part des externes supérieure à %, ce qui est absurde. Par contre, additionner les pourcentages de la première ligne donne un total de %, ce qui correspond bien au total des élèves. Propriété 1 : Pour pouvoir additionner des pourcentages, ils doivent avoir le même ensemble de référence et concerner des parties n ayant aucun élément commun. Propriété 2 : Si deux pourcentages portent sur le même ensemble de référence, ils sont classés dans le même ordre que les données absolues. Remarque : S ils ne portent pas sur le même ensemble de référence, ce n est pas nécessairement le cas. Exercice : 13 page 20 8 [Déclic] 1. Part en pourcentage. 2. Calculs simples sur les pourcentages. 3. QCM. 4. Utilisation, diagrammes, tableaux. 5. Répartition en pourcentage. 6. Utilisation des listes de la calculatrice. 7. Tableau. 8. Vrai ou faux. 2

3 2 POURCENTAGES D ÉVOLUTION 1.3 Pourcentages de pourcentages 1.3 Pourcentages de pourcentages Propriété : Prendre t % de t % d une quantité x, c est effectuer le calcul : t t x Exemple : Dans l activité : l effectif total est de élèves ; 38 % desélèves sont en Seconde ; 45 % des élèves de Seconde sont des externes. Pour connaître la part des élèves externes de Seconde, il faut effectuer la calcul suivant : = 0, 45 0, 38 0 = 171 élèves Remarque : En utilisant la forme décimale, on peut déterminer directement la part en pourcentage des élèves externes de Seconde. En effet, 0, 45 0, 38 = 0, 171 = 17,1 soit 17,1 %. Exercices : 12 page , 18 page [Déclic] 2 Pourcentages d évolution Activités : Activité 2 page et activité 4 page [Déclic] 2.1 Différentes façons d exprimer une variation Définition : On considère une quantité passant de la valeur initiale à la valeur finale V 2. La variation absolue est la quantité V = V 2. Le coefficient multiplicateur est le nombre (sans unité) par lequel il faut multiplier pour obtenir V 2. Il est noté CM. On a donc : V 2 = CM soit CM = V 2 La variation relative est la quantité (sans unité) : V = V 2 Le pourcentage d évolution est la variation relative exprimée en pourcentage. Ainsi, pour une évolution de t % t = V 2 soit t = V 2 Remarque : Pour une hausse (V 2 > ) : V > 0 ; CM > 1 et t > 0. Pour une baisse (V 2 < ) : V < 0 ; 0 < CM < 1 et t < 0. Exercice : 24 page [Déclic] 9. QCM. 10. Pourcentages de pourcentages. 11. Différentes manières d exprimer une variation. 12. Augmenter et diminuer. 13. QCM. 3

4 2.2 Lien en pourcentage d évolution et coefficient multiplicateur 2 POURCENTAGES D ÉVOLUTION 2.2 Lien en pourcentage d évolution et coefficient multiplicateur Propriété : Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par CM = 1 + t Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par CM = 1 t.. Exemples : Une augmentation de 50 % donne un coefficient multiplicateur de = 1, 5. Une augmentation de 5 % donne un coefficient multiplicateur de = 1, 05. Une diminution de 75 % donne un coefficient multiplicateur de 1 75 = 0, 25. Une diminution de 5 % donne un coefficient multiplicateur de 1 5 = 0, 95. Remarques : 1. On peut avoir des augmentations de plus de % mais pas de diminutions de plus de %. 2. La propriété précédente permet aussi de retrouver le pourcentage d évolution à partir du coefficient multiplicateur : CM = 1, 7 correspond à une augmentation de 70 % ; CM = 1, 07 correspond à une augmentation de 7 % ; CM = 1, 856 correspond à une augmentation de 85,6 % ; CM = 3 correspond à une augmentation de 200 % ; CM = 0, 6 correspond à une diminution de 40 % ; CM = 0, 82 correspond à une diminution de 18 %. Exercices : 23, 25 page , 28 page page , 40 page page [Déclic] Module : Activité 3 page 11 et exercices 32, 35, 37 page [Déclic] 2.3 Évolutions successives Exemple : Le chiffre d affaire d une entreprise était de 15 millions d euros en Il a chuté de 5 % en 2005 puis a augmenté de 12 % en En 2005, le chiffre d affaire était de : 0, = e En 2006, le chiffre d affaire était de : 1, 12 0, = e Globalement, le chiffre d affaire de 2004 a été multiplié par 1, 12 0, 95 = 1, 064 ce qui corresond a une augmentation globale de 6,4 % et non de 12 5 = 6 % comme on pourrait le penser à priori. Propriété : Lors d évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient. CM V 1 CM 0 2 V1 V2 alors CM global = CM 1 CM 2 Remarque : Les pourcentages d évolution ne s additionnent jamais (ils ne portent pas sur le même ensemble de référence). Pour trouver l évolution globale, il faut utiliser les coefficients multiplicateurs. Application : Évolutions compensatoires Tout d abord, une hausse de 10 % n est pas compensée par une baisse de 10 %. En effet, dans ce cas, CM global = 1, 1 0, 9 = 0, 99 ; ce qui correspond à une baisse globale de 1 %. Pour trouver la baisse compensatoire à une hausse de 10 %, il faut que CM global = 1. On obtient donc l équation 1, 1 CM = 1 soit CM = 1 1,1 0, 909 ; ce qui correspond à une baisse d à peu près 9,1 %. Exercices : 44, 45 page page 25, 50 page 26 et 53 page , 56 page [Déclic] 14. Lien entre coefficient multiplicateur et pourcentage d évolution. 15. Utilisation du coefficient multiplicateur. 16. Utilisation des listes de la calculatrice. 17. Évolution de la recette. 18. Évolution du pouvoir d achat. 19. Calculs sur la T.V.A. 20. QCM Vrai ou faux. 21. Évolutions successives et coefficients multiplicateurs. 22. Exercices de synthèse. 4

5 RÉFÉRENCES 2.4 Notion d indice 2.4 Notion d indice Exemple : Test D page 10[Déclic] 1. On choisit de calculer des indices base en Fréquentation en France des cinémas en 2001 : Indice , 5 Fréquentation aux USA des cinémas en 2001 : Indice , 2 On peut remarquer que la fréquentation a augmenté plus rapidement en France qu aux USA. 2. On choisit de calculer des indices base en Fréquentation en France des cinémas en 2002 : Indice , 3 Fréquentation aux USA des cinémas en 2002 : Indice , 3 Entre 1995 et 2002, la fréquentation des cinémas en France a augmenté de 42,3% contre 34,3 % aux USA. Définition : Pour étudier les variations d une ou plusieurs quantités dans le temps, on fixe une date de référence à laquelle on attribue l indice. Les indices des autres dates sont donnés par un calcul de proportionnalité. Remarque : Les indices permettent de calculer rapidement des pourcentages d évolution par rapport à la date de référence et de comparer des évolutions sur des données qui n ont pas le même ordre de grandeur. Exercices : 49, 52 page [Déclic] Module : exercice 57 page [Déclic] Références [Déclic] Déclic 1 ère ES, enseignement obligatoire et option, Hachette Éducation, , 3, 4, Utilisation d indices. 24. Calcul d indices à l aide d un tableur. 5