BACCALAUREAT BLANC MATHEMATIQUES SERIE E.S. Durée : 3 heures. Coefficient 5

Transcription

1 BACCALAUREAT BLANC Avril 01- Lycée de la côtière- La Boisse. MATHEMATIQUES SERIE E.S. Durée : 3 heures Coefficient 5 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la législation en vigueur. Une seule calculatrice par table. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et le précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Le candidat vérifiera que le sujet comporte bien 5 pages (celle-ci incluse)

2 Exercice 1 : QCM (4 points) Soit f une fonction définie sur l ensemble ] ; [ ] ; + [. On note ( C f ) la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormal. On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ] ; [ et ] ; + [ et on note de f. On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous : f ' la fonction dérivée x f 0 1 Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte : Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0.5 point et l absence de réponse n apporte ni ne retire aucun point. 1. L équation f ( x)=0 admet : a. une unique solution b. deux solutions c. trois solutions. La courbe représentative de f admet : a. une asymptote d équation x=1 b. une asymptote d équation y= c. une asymptote d équation y=1 3. ln[ f (x)] existe pour tout réel x de : a. ]0 ; + [ b. ] ; [ c. ] ; -3[ ] ; + [ 4. L équation ln[ f (x)]=1 admet : a. une unique solution b. deux solutions c. trois solutions 5. Sur l intervalle [6 ; + [, ln[ f (x)] est : a. toujours positif b. toujours négatif c. change de signe 6. Le nombre dérivé de la fonction ln[ f (x)] en x = 6 est : 1 a. 0 b. c. ln 7. On note g la fonction définie par g(x) = e f(x), alors g est définie sur : a. ]0 ; + [ b. ] ; + [ c. ] ; [ ] ; + [ 8. On note g la fonction définie par g(x) = e f(x), alors : a. x = 0 a. x = a. x = 1

3 Exercice :(5 points) On indiquera les formules utilisées et les détails des calculs. Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des fraises, des framboises et des myrtilles. Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à confiture, soit des barquettes de fruits à déguster. Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, six sur dix achètent une barquette de fruits à déguster. Lorsqu un client achète une barquette de fruits à déguster, la probabilité qu il demande une barquette de myrtilles est de 0,1 et la probabilité qu il demande une barquette de framboises est de 0,4. Lorsqu un client achète une barquette de fruits à confiture il ne demande jamais de myrtilles et demande des fraises dans 70 % des cas. Un client achète une barquette. On notera : - D l événement «le client achète une barquette de fruits à déguster», - F l événement «le client demande des fraises», - B l événement «le client demande des framboises», - M l événement «le client demande des myrtilles». 1. Recopier l arbre ci-dessous et le compléter à l aide des données de l énoncé. D D F B M F B On pourra compléter l arbre à l aide des résultats de la question suivante.. a. Quelle est la probabilité que le client demande des fraises sachant qu il achète une barquette de fruits à déguster. b. Le client achète une barquette de fruits à confiture ; quelle est la probabilité qu il demande des framboises? 3. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de fraises est égale à 0, Le client achète une barquette de fraises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de fruits à déguster? On arrondira le résultat au millième. 5. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à déguster, quel que soit le fruit, 3 euros la barquette de framboises à confiture et euros la barquette de fraises à confiture ; a. On note x i les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et p i leur probabilité. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses. Valeur x i 5 3 Probabilité associée : p i b. Calculer l espérance de cette loi de probabilité. c. Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 150 barquettes vendues. 6. Trois clients se présentent pour acheter une barquette de fruits. On suppose que les choix de ces trois clients sont indépendants. Calculer la probabilité qu au moins l un des trois clients achète une barquette de fruits à déguster.

4 Exercice 3 : (4 points) La représentation graphique C f ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur ]0;+ [ dans un repère (O ; i, j). On note f ' la fonction dérivée de f. La courbe C f vérifie les propriétés suivantes : - les points ainsi marqués sont à coordonnées entières et appartiennent à la courbe tracée - la tangente au point A d'abscisse e 1 est parallèle à l'axe des abscisses - la droite tracée est la tangente à C f au point d'abscisse B. Faire attention aux unités sur chacun des axes. 1. Par simple lecture graphique : a. Déterminer f (1). b. Déterminer l'équation de la tangente à C f au point d'abscisse 1.. Une des quatre courbes ci-dessous est celle représentative de la fonction f '. Déterminer celle qui la représente en justifiant l'élimination de chacune des trois autres. Courbe 1 Courbe Courbe 3 Courbe 4 3. On admet que la fonction f est définie par une expression de la forme f (x)=ax ln( x)+b où a, b et k sont des nombres réels a. Déterminer f ' en fonction de x (et éventuellement de a et/ou b ) b. Justifier que cette expression de f ' nous donne bien une tangente horizontale au point A. c. En utilisant la question 3.a. et des propriétés de la courbe C f données au début de l'exercice, calculer a et b

5 Exercice 4 : (7 points) Partie A - Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur R par f (x)=15(0,4 x)e x +6 et soit (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i, j). 1. a. Déterminer la limite de f en. b. Déterminer la limite de f en +. ( Pour cette question uniquement, on pourra utiliser sans la démontrer l'égalité f (x)= 6 15 x +6 e e x ) x Interpréter graphiquement ce résultat.. Soit f la fonction dérivée de f. a. Vérifier que, pour tout x réel, on a f (x)=15(x 1,4)e x. b. Étudier le signe de f (x). c. Établir le tableau de variations de f. 3. a. Montrer que l équation f (x)=4,5, admet sur l'intervalle ] ;1,4] une unique solution α. b. Donner une valeur approchée de au centième près. Pour la suite, on admettra que sur [1,4;+ [ l'équation f (x)=4,5 admet une seconde solution notée et on admet que 3,4. c. Quel est l ensemble des solutions, dans l intervalle [0 ; 7], de l inéquation f (x) 4,5? Partie B - Application La fonction f est la fonction coût marginal C M de fabrication d un produit. x est exprimé en tonnes (x compris entre 0 et 7), et le coût est exprimé en milliers d euros. 1. a. Indiquer pour quelle production le coût marginal est minimum et quel est le coût marginal correspondant (arrondi à l'euro près). b. Pour quelles productions le coût marginal est-il inférieur à 4500? (on donnera chacune des bornes de l intervalle à la centaine d'euros près). La fonction coût total C T est une primitive de la fonction coût marginal. a. Montrer que C T (x)=(15 x+9)e x +6 x+k ( où k est un élément de R). b. Sachant que les frais fixes de cette production s'élèvent à milliers d'euros, déterminer la valeur de k.

6 BACCALAUREAT BLANC Avril 01- Lycée de la côtière- La Boisse. MATHEMATIQUES SERIE E.S. Durée : 3 heures Coefficient 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la législation en vigueur. Une seule calculatrice par table. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et le précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Le candidat vérifiera que le sujet comporte bien 5 pages (celle-ci incluse)

7 Exercice 1 : QCM(4 points) Soit f une fonction définie sur l ensemble ] ; [ ] ; + [. On note ( C f ) la courbe représentative de f dans le plan muni d un repère orthonormal. On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles ] ; [ et ] ; + [ et on note de f. On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous : f ' la fonction dérivée x f 0 1 Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte : Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0.5 point et l absence de réponse n apporte ni ne retire aucun point. 1. L équation f ( x)=0 admet : a. une unique solution b. deux solutions c. trois solutions. La courbe représentative de f admet : a. une asymptote d équation x=1 b. une asymptote d équation y= c. une asymptote d équation y=1 3. ln[ f (x)] existe pour tout réel x de : a. ]0 ; + [ b. ] ; [ c. ] ; -3[ ] ; + [ 4. L équation ln[ f (x)]=1 admet : a. une unique solution b. deux solutions c. trois solutions 5. Sur l intervalle [6 ; + [, ln[ f (x)] est : a. toujours positif b. toujours négatif c. change de signe 6. Le nombre dérivé de la fonction ln[ f (x)] en x = 6 est : 1 a. 0 b. c. ln 7. On note g la fonction définie par g(x) = e f(x), alors g est définie sur : a. ]0 ; + [ b. ] ; + [ c. ] ; [ ] ; + [ 8. On note g la fonction définie par g(x) = e f(x), alors : a. x = 0 a. x = a. x = 1

8 Exercice : ( 5 points) 1. Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées. On modélise les bancs par les sommets A, B, C, D, E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous : G B A C a. On désire peindre les bancs de façon que deux bancs reliés par une allée soient toujours de couleurs différentes. Donner un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires et justifier. Déterminer ce nombre. b. Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée?. Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens. Par exemple la circulation dans l'allée située entre les bancs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la circulation dans l'allée située entre les bancs A et B ne pourra se faire que de A vers B. Le graphe G ci-dessous modélise cette nouvelle situation : E B D G A C E D a. Donner la matrice M associée au graphe G (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique) b. On donne M = Combien y a-t-il de chemins de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B? Les donner tous. c. Montrer qu'il existe un seul cycle de longueur 5 passant par le sommet A. Quel est ce cycle? En est-il de même pour le sommet B?

9 Exercice 3 : (4 points) La représentation graphique C f ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur ]0;+ [ dans un repère (O ; i, j). On note f ' la fonction dérivée de f. La courbe C f vérifie les propriétés suivantes : - les points ainsi marqués sont à coordonnées entières et appartiennent à la courbe tracée - la tangente au point A d'abscisse e 1 est parallèle à l'axe des abscisses - la droite tracée est la tangente à C f au point d'abscisse B. Faire attention aux unités sur chacun des axes. 1. Par simple lecture graphique : a. Déterminer f (1). b. Déterminer l'équation de la tangente à C f au point d'abscisse 1.. Une des quatre courbes ci-dessous est celle représentative de la fonction f '. Déterminer celle qui la représente en justifiant l'élimination de chacune des trois autres. Courbe 1 Courbe Courbe 3 Courbe 4 3. On admet que la fonction f est définie par une expression de la forme f (x)=ax ln( x)+b où a, b et k sont des nombres réels a. Déterminer f ' en fonction de x (et éventuellement de a et/ou b ) b. Justifier que cette expression de f ' nous donne bien une tangente horizontale au point A. c. En utilisant la question 3.a. et des propriétés de la courbe C f données au début de l'exercice, calculer a et b

10 Exercice 4 : (7 points) Partie A - Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur R par f (x)=15(0,4 x)e x +6 et soit (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i, j). 1. a. Déterminer la limite de f en. b. Déterminer la limite de f en +. ( Pour cette question uniquement, on pourra utiliser sans la démontrer l'égalité f (x)= 6 15 x +6 e e x ) x Interpréter graphiquement ce résultat.. Soit f la fonction dérivée de f. a. Vérifier que, pour tout x réel, on a f (x)=15(x 1,4)e x. b. Étudier le signe de f (x). c. Établir le tableau de variations de f. 3. a. Montrer que l équation f (x)=4,5, admet sur l'intervalle ] ;1,4] une unique solution α. b. Donner une valeur approchée de au centième près. Pour la suite, on admettra que sur [1,4;+ [ l'équation f (x)=4,5 admet une seconde solution notée et on admet que 3,4. c. Quel est l ensemble des solutions, dans l intervalle [0 ; 7], de l inéquation f (x) 4,5? Partie B - Application La fonction f est la fonction coût marginal C M de fabrication d un produit. x est exprimé en tonnes (x compris entre 0 et 7), et le coût est exprimé en milliers d euros. 1. a. Indiquer pour quelle production le coût marginal est minimum et quel est le coût marginal correspondant (arrondi à l'euro près). b. Pour quelles productions le coût marginal est-il inférieur à 4500? (on donnera chacune des bornes de l intervalle à la centaine d'euros près). La fonction coût total C T est une primitive de la fonction coût marginal. a. Montrer que C T (x)=(15 x+9)e x +6 x+k ( où k est un élément de R). b. Sachant que les frais fixes de cette production s'élèvent à milliers d'euros, déterminer la valeur de k.