Etude du système de deux points

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1 Mécanique 8 Etude du système de deux points Même s'il est vrai qu'après l'étude mécanique d'un point matériel il est logique de passer à celle de deux points matériels, l'importance du problème à deux corps dépasse largement ces considérations. Le problème se pose de l'infiniment petit, la molécule diatomique, à l'infiniment grand, les mouvements de planètes autour du Soleil, ce que nous appellerons le problème de Kepler. Il s'agit donc d'un système de deux points : donc deux points M et M, de masses et m. I. Description du problème I.. Centre d'inertie ou centre de masse Soient OM = r et OM = r les vecteurs positions de M et M dans un référentiel R quelconque. On définit le barycentre G du système par ( + m ) OG = OM + m OM où O est un point quelconque. Si O est confondu avec G on obtient : GM + m GM = 0, G étant entre M et M on en déduit aisément : GM = GM - M M GM = I.. Eléments cinétiques dans R I... Résultante cinétique M M et GM = - m M M La résultante cinétique est la quantité de mouvement totale p du système : p = p + p p = v + m v = d OM + m d OM = d ( OM +m OM ) = ( + m ) d OG p = ( + m ) v G qui est la quantité de mouvement d'un point matériel ayant la masse totale du système et la position de son centre d'inertie. I... I..3. Moment cinétique Rappel : moment cinétique en O : Pour l'ensemble des deux points on aura Si on change l'origine O en O' : O'M = O'O + OM L O' = L O = OM ^ p = OM ^ m v pour un point M de masse m. L O = OM ^ v + OM ^ m v L O + O'O ^ p + O'O ^ p = L O + O'O ^ p Moment cinétique par rapport à un axe de vecteur unitaire e passant par O : L = L O e Energie cinétique L'énergie cinétique de l'ensemble des deux points dans R est E c = v + m v I.3. Référentiel barycentrique I.3.. Définition On appelle référentiel barycentrique d'un système de points le référentiel R* animé d'un mouvement de translation par rapport au référentiel R, et dans lequel le point G est fixe. Autrement dit, le référentiel R* est animé d'un mouvement de translation de vitesse v G par rapport au référentiel R et les vecteurs de base de R* sont invariants au cours du temps. Pratiquement on choisira pour la base dans R* l'origine en G et les vecteurs unitaires égaux à ceux de R. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - avril 0 page / 6

2 Nous allons calculer maintenant tous les éléments cinétiques dans ce référentiel particulier R* et tous ces éléments seront notés avec une *. I.3.. Eléments cinétiques dans le référentiel barycentrique Résultante cinétique barycentrique On calcule p * = ( + m ) v * G = 0 puis que G est immobile dans R* Moment cinétique barycentrique L * G = GM ^ v * + GM ^ m v * Par ailleurs de L * A = L * G + AG ^ p * et p * = 0 on déduit que le moment cinétique barycentrique de notre système est le même quelque soit le point où on le calcule dans R*. En conséquence on le notera simplement L *. Rappel : loi de composition des vitesses : v R (M) = v *(M) + v e avec v e = v G vitesse de G dans R. L O/R = OM ^ v + OM ^ m v = OM ^ ( v * + v G ) + OM ^ m ( v * + v G ) L O/R = OM ^ v * + OM ^ m v * + OM ^ v G + OM ^ m v G L O/R = L * O + ( OM + m OM ) ^ v G = Ce qui constitue le premier théorème de Koenig. Energie cinétique barycentrique L * + ( + m ) OG ^ v G. L'énergie cinétique de l'ensemble des deux points dans R est E c = v + m v Avec la loi de composition des vitesses : E C = E C * +.(m + m ) v G + (m v * + m v * ) v G or v * + m v * = p * = 0 On trouve le second théorème de Koenig : E C = E C * +.(+ m ) v G II. Etude dynamique du système de deux points matériels II.. Forces intérieures et forces extérieures On appelle force intérieure à un système de points une interaction entre deux points appartenant au système. Ici donc, le système S étant constitué des deux points M (masse ) et M (masse m ) l'action F / de M sur M est une force intérieure. En plus de ces forces intérieures, le système peut être soumis à des forces extérieures. La somme ou résultantes des forces subies est donc somme de la résultante des forces intérieures F int et de la résultante des forces extérieures F ext. Par le principe des actions réciproques F / = - F / et ces forces sont portées par l'axe M M. Donc la somme des forces intérieures F int = 0. La résultante des forces subies par un système se calcule donc en considérant seulement les forces extérieures. Le moment résultant en O des forces subies se compose du moment résultant en O des forces extérieures M O ( F ext ) et du moment résultant en O des forces intérieures M O ( F int ) M O ( F int ) = OM ^ F / est portée par M M. F / + OM ^ F / = ( OM - OM ) ^ F / = M M ^ F / = 0 puisque Le moment résultant en O des forces subies par un système se calcule donc en considérant seulement le moment en O des forces extérieures. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - avril 0 page / 6

3 Même chose si on calcule le moment des forces par rapport à un axe. II.. Théorème du centre de masse Hypothèses : soit un système S formé de deux points M (masse ) et M (masse m ) fermé, ce qui veut dire qu'il n'échange pas de matière avec l'extérieur. Le référentiel d'étude R g est galiléen. On peut alors écrire la RFD pour chacun des deux points soumis à des forces extérieures F e et à l'action de l'autre point a = F e + F / et m a = F e + F /. Par addition et avec F / + F / = 0 on a : a + m a = F e + F e a + m a = d OM + m d OM = d ( OM +m OM ) = d En posant + m = m on trouve le théorème du centre d'inertie m a G = F ext. ( ) OG Dans un référentiel galiléen R g le mouvement du centre de masse d'un système de deux points matériels est celui d'un point matériel où serait concentrée toute la masse du système. Sera généralisée en seconde année aux systèmes matériels quelconques. On en déduit immédiatement le théorème de la quantité de mouvement : d p II.3. Théorème du moment cinétique = F ext Même démarche : on écrit le théorème du moment cinétique pour chacun des points dans R g dl O, = OM ( F e + F / ) et d L O, = OM ( F e + F / ) et on les additionne : dl O, + d L O, = OM F e + OM F e + OM F / + OM F / dont les deux derniers termes sont la somme des moments des forces intérieures qui est nulle. On pose L O = L O, + L O, moment cinétique résultant de S en O et on obtient le théorème du moment cinétique en O fixe dans le référentiel galiléen R g : d L O = M ( F ext ). Dans un référentiel galiléen R g la dérivée du moment cinétique résultant d'un système de deux points matériels en un point fixe du référentiel est égale à la somme des moments en ce point des forces extérieures au système. On en déduit le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe : dl Oz = M z,ext. III. Etude énergétique III.. Puissance et travail des forces intérieures Soit P int la somme des puissances des forces intérieures : P int = F / v + F / v = F / ( v - v ) ou P int = F / d M M = F / dm M puisque F / est colinéaire à M M. On remarque que la puissance des forces intérieures est fonction de la position relative des deux points et ne dépend pas du référentiel d'étude. Le travail des forces intérieures est W int = P = F / dm M = F / d(m M ) On constate que W int est nul si d(m M ) = 0 soit si M M = constante c'est à dire pour un système indéformable. La puissance et le travail des forces intérieures ne sont nuls que pour des systèmes indéformables. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - avril 0 page 3 / 6

4 III.. Théorèmes de la puissance et de l'énergie cinétiques En écrivant ces théorèmes pour chacun des points matériels sans oublier les forces d'inertie au cas où le référentiel d'étude ne serait pas galiléen puis en additionnant les équations obtenues : de C + de C = P + P = P int, + P ext, + P int, + P ext, soit : de C = P ext + P int La dérivée de l'énergie cinétique du système est égale à la somme des puissances de toutes les forces, intérieures et extérieures, subies par le système. Par intégration, on retrouve le théorème de l'énergie cinétique : E c = W ext + W int : dans un référentiel galiléen la variation de l'énergie cinétique d'un système de points entre deux instants, est égale à la somme des travaux effectués entre des deux dates par toutes les forces, intérieures et extérieures subies par le système. Noter que dans le cas de systèmes rigides et indéformables la puissance et le travail des forces intérieures sont nuls. III.3. Energies potentielle et mécanique On peut encore distinguer parmi les forces extérieures comme parmi les forces intérieures, des forces conservatives et des forces non conservatives et poser E p = - W pour les forces conservatives. E c = - E p,ext - E p,int + W noncons soit E c + E p,ext + E p,int = E = W noncons L'énergie mécanique du système est somme des énergies cinétiques des points et de toutes les énergies potentielles d'interaction des points du système avec l'extérieur et de l'énergie potentielle interne résultant des interactions des points du système entre eux. Entre deux dates, la variation de l'énergie mécanique du système est égale au travail effectué entre ces dates par les forces non conservatives. IV. Système isolé de deux points IV.. Hypothèses d'étude Nous supposerons que le système est isolé, autrement dit la seule interaction non négligeable est celle qui a lieu entre les deux points. L'étude est faite dans un référentiel supposé galiléen R g. Le choix de ce référentiel dépend du système concret envisagé. Exemples de cas concrets : noyau et électron d'un atome d'hydrogène dans un référentiel terrestre : le poids des particules est négligeable devant la force électrostatique qu'ils exercent l'un sur l'autre. Soleil et planète dans le référentiel de Copernic : les forces de gravitation exercées par les autres astres sont négligeables IV.. Mouvement des points M et M dans R g IV... Mouvement du barycentre Nous supposerons le système isolé du monde extérieur, autrement dit, seules les forces intérieures au système ne sont pas nulles (ou négligeables). La RFD dans le référentiel galiléen R g donne : ➀ d v = F / = - F et ➁ m d v = F / = F Ces deux équations couplées, ne peuvent pas être résolues séparément car F dépend des positions des deux points. D'où la difficulté. Si l'on ajoute membre à membre les deux équations, on aboutit à d v = 0. Ce qui revient à dire que le mouvement d'ensemble d'un système de deux particules isolé, défini par le mouvement de son centre d'inertie G, est un mouvement rectiligne uniforme. On le savait déjà, c'est le principe d'inertie. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - avril 0 page 4 / 6

5 IV... Mouvement relatif des particules Nous noterons r = r temporelle v = d r à M. r = r u, la position relative de M par rapport à M. Sa dérivée = v v est la vitesse de M par rapport à M ou vitesse relative de M par rapport En divisant l'équation ➀ par, l'équation ➁ par m, et en soustrayant membre à membre, on obtient : d v - d v = m On obtient µ d v F / - = F = µ d r de masse µ, placé en M tel que F / = " + % $ ' F = d v # m &. Posons µ = + m ce qui n'est autre que la RFD appliquée à un mobile ponctuel (fictif) r = OM = M M, soumis à la force F égale à celle que le point M exerce sur M. µ est appelée masse réduite de ce système. La solution r (t) détermine le mouvement de ce mobile fictif qui est le mouvement relatif de M par rapport à M. IV..3. Mouvements dans R g On connaît le mouvement du barycentre G, mouvement rectiligne uniforme dans R g puisque le système est isolé et le mouvement relatif de M par rapport à M. On peut donc déterminer les mouvements des r deux points : m GM = - GM GM = - GM m = GM GM = GM = r OM = OG + r et GM = - M M = m r OM = OG + m r. Une manière élégante de simplifier ces expressions, serait d'avoir OG constamment nul. Autrement dit il faudrait placer l'origine du repère en G dans un référentiel galiléen. IV.3. Mouvements dans le référentiel barycentrique Le référentiel barycentrique R* est en translation rectiligne uniforme dans R g, R g étant un référentiel galiléen, R* est également galiléen. IV.3.. Réduction canonique Mobile "équivalent" ou mobile "réduit" L'application de la RFD dans R g a conduit à la relation µ d r = F, donc à la RFD appliquée à un point matériel M de masse µ dont la position est repérée par r et soumis à la force F. Ce point est appelé mobile fictif équivalent ou mobile réduit. La résolution de cette équation permet de déterminer r. L'équation est vrai dans tout référentiel galiléen, choisissons R*. On a donc r = GM = M M On en déduira GM = Remarquons que la force r et GM = - m r par homothétie. F a la direction de M M donc passe constamment par G, c'est une force centrale. Autrement dit, le mouvement de la particule fictive M est un mouvement à force centrale. Donc l'utilisation du mobile équivalent ramène le problème à deux corps à celui du mouvement d'un point matériel de masse µ dans un champ de forces F(r) e r centrale (et connu). On a procédé à la réduction canonique du problème. IV.3.. Grandeurs barycentriques Toutes les grandeurs caractéristiques du mouvement devront être exprimées dans le référentiel barycentrique, et seront notées avec une étoile. r * = GM, r * = GM et r = r * - r *, avec r * + m r * = 0 par définition du barycentre MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - avril 0 page 5 / 6

6 r * = r et r * = - m r D'où, par dérivation dans R*, les vitesses : vitesse du mobile équivalent. v * = v et v * = - m v où v est la Soit p la quantité de mouvement du système dans R g, la quantité de mouvement du système dans R* est p * = 0 puisque G est immobile dans R*. On en déduit que p * + p * = 0. L'énergie cinétique barycentrique E C * du système est la somme des énergies cinétiques barycentriques des deux points : E * C = v * + m v * = ) " m % " v $ m %, + ' m + $ ' m. + # & # +m * &. - E C * = m v m barycentrique est égale à l'énergie cinétique du mobile équivalent. ( ) ( + m ) = µv. L'énergie cinétique du système dans le référentiel Le moment cinétique barycentrique du système est la somme des moments cinétiques barycentriques des deux points. Rappel il est le même en tout points du référentiel barycentrique : L * = r ^ v * + r ^ m v * = " m % $ ' # & r ^ v + " m % $ ' # & L * = m r ^ v = r ^ µ v qui est le moment cinétique mobile équivalent. IV.4. Mouvement à force centrale m r ^ v Donc l'étude du mouvement de ce système isolé de deux points revient à l'étude du mouvement de la particule fictive M associée. Mais il ne faudra pas oublier de revenir aux deux points dont les mouvements se déduisent de celui de la particule fictive par homothétie. Cette particule est soumise à une force centrale F nous étudions son mouvement dans R* qui est un référentiel galiléen. Comme pour tout mouvement à force centrale, M G ( F ) = 0 le théorème du moment cinétique permet d'écrire que comme axe e z du référentiel tel que On en déduit : que le mouvement plan : L * est un vecteur constant. On choisit cette direction privilégiée du mouvement L = L e z. r et v restent perpendiculaires à perpendiculaire à L contenant G soit ici le plan xgy. Les coordonnées polaires conviennent mieux GM = L, le mouvement est dans le plan r = r e r et v = r e r + r ϑ e ϑ L * = µ r ϑ e z est un vecteur constant donc sa norme est constante et C = r ϑ = constante appelée constante des aires, déterminée par les conditions initiales : C = r 0 ϑ 0. la vitesse aréolaire : pendant, l'aire (assimilée à celle d'un petit triangle) balayée par le rayon vecteur est ds = rrdϑ = r ϑ la vitesse aréolaire : ds = C qui justifie le nom de constante des aires pour C. MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 08 Deux points ds - avril 0 page 6 / 6