Les moments magnétiques induits des atomes sont dirigés à l opposé du champ magnétique.

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1 MILIEUX MAGNÉTIQUES Diamagnétisme Lorsqu on applique un champ extérieur, le moment orbital des électrons est modifié de telle sorte que la variation de moment dipolaire est dirigée dans le sens opposé au champ externe (suivant la loi de Lenz). Les moments magnétiques induits des atomes sont dirigés à l opposé du champ magnétique. L effet diamagnétique, qui est présent dans tous les matériaux, est très faible et il est souvent masqué par les effets paramagnétiques et ferromagnétiques. T1

2 Effet du champ magnétique sur l'orbite électronique I q T e = = qe v 2π R T = 2π r v qe est la période de rotation et la charge de l électron. 2 1 m= I π R = qe v R1 2 z E t = 1 2 db R dt dϕ E. dl = 2π R Et = = π R dt 2 db dt dv 1 qe Et = me = qe R dt 2 db dt T2

3 ΔB 0 Si le champ magnétique passe de 0 à, la vitesse passera de v v 0 + Δv à avec Δ v= 1 2 qe R m e ΔB qe R Δ m= qe Δ v R1z = ΔB 2 4m e Le signe moins signifie que le moment ajouté est opposé au champ magnétique. Conformément à la loi de Lenz, le champ induit s'oppose à la variation du flux. La variation de moment magnétique est donc opposée à la direction de B. Ce phénomène est le diamagnétisme. Paramagnétisme Les atomes ont des moments magnétiques permanents mais leurs orientations sont aléatoires en l absence de champ extérieur. m B Tendance à s aligner suivant l orientation du champ à cause du couple. L alignement partiel des moments dipolaires vient ici renforcer le champ extérieur. T3

4 Dans un champ magnétique non uniforme, un dipôle magnétique est soumis à une force : F = grad ( m. B) m B en plus du couple. Un diélectrique est toujours attiré vers la région de champ intense. (a) Un matériau paramagnétique ou ferromagnétique est attiré vers un aimant (b) Un matériau diamagnétique est repoussé par un aimant Répartition dipolaire en volume Vecteur magnétisation Pour étudier les phénomènes d un point de vue macroscopique, on définit la magnétisation (ou l aimantation) d un milieu, comme le moment magnétique résultant par unité de volume : M : densité de moment magnétique M ( A m) Le vecteur joue un rôle semblable à celui de la polarisation dans les milieux diélectriques. P T4

5 Champ créé par de la matière magnétisée Potentiel vecteur d un dipôle magnétique est Un volume A = μ0 m 1 2 4π R R dτ contient un moment dipolaire M dτ μ A ( R) = grad ( ) = R R 0 π τ R M 1 2 R 2 R dτ où le gradient (donc les dérivées) est pris par rapport au point courant du volume τ. A 0 1 ( R μ ) ( ) 4 M grad = R d τ π τ R T5

6 En utilisant la formule f rot ( f G) = f rot G G grad f = 1 R G = M ( x, y, z ) avec et μ rot M μ M = τ 4π R 4π R 0 0 A ( R) dτ rot ( ) d τ τ τ rot G dτ = G ds S μ0 rot M μ0 M ds A( R) = dτ 4π + τ R 4π S R où S est la surface extérieure du volume magnétisé τ. T6

7 μ0 J mag μ0 Kmag A = dτ ds 4π + τ R 4π S R Le volume magnétisé peut donc être modélisé au moyen d une densité volumique de courants de magnétisation 2 J mag = rot M ( A m ) et d une densité surfacique de courants de magnétisation Kmag = M 1 n ( A m) T7

8 Interprétation des courants de magnétisation Magnétisation uniforme. J mag = rot M = 0 J mag K mag K mag Bloc à l intérieur de la matière aimantée Le moment magnétique total du bloc est égal au produit de la magnétisation par le volume : m = M abc Le moment d un dipôle est par définition le produit du courant par la surface, et la surface de la boucle est, S = ac m= I S = I ac I = Mb T8

9 Le courant superficiel est le courant par unité de longueur (verticalement) sur chacune des faces verticales : K = Ib= M K mag = M 1n Magnétisation non uniforme I = I1 I2 = Mz b ( Mz +Δ Mz) b= ΔMz b Δ M I J z = y M = x M z x z. a ab I M = = ab x z T9

10 Équations magnétostatiques en présence de milieux magnétiques Loi d Ampère dans un milieu magnétique rot B = μ J 0 La densité de courant doit inclure tous les courants : J = J + J mag 1 rot B = J = J + J mag μ0 = J + rot M 1 rot ( B M ) = J μ 0 Nouvelle grandeur 1 H = B M μ 0 ( A m) excitation magnétique, champ magnétisant. rot H = J H. dl = I c en général, la divergence de H ne s annule pas. T10

11 Milieux magnétiques linéaires M = χ m H pour un matériau linéaire et isotrope. La constante μ μ 0 χ m, sans dimension, est la susceptibilité magnétique du milieu B= μ0 ( H + M) = μ0 (1 + χm) H = μ μ H = μ H 0 r est la perméabilité du milieu et : perméabilité du vide. μ r la perméabilité relative. Dans un milieu linéaire et homogène, la densité volumique de courant de magnétisation sera proportionnelle, en tout point, à la densité de courant libre : J = rot M = rot ( χ H ) = ( μ 1) J mag m r En particulier, s il n y a pas de courant libre à l intérieur du matériau, on y aura et tous les courants de magnétisation seront en surface. J mag = 0 T11

12 B= μ H : relation constitutive du matériau magnétique linéaire D = ε E : la relation constitutive d un diélectrique J = σ E : relation constitutive d un milieu conducteur. 10 Dans un milieu diamagnétique, la susceptibilité sera un très petit nombre négatif, la perméabilité relative sera μ r < 1, et le champ magnétique sera (très légèrement) plus faible que ce qu il aurait été dans le vide. Dans un milieu paramagnétique, la susceptibilité sera un très petit nombre positif, la perméabilité relative sera μ r > 1, et le champ magnétique sera (très légèrement) plus grand que ce qu il aurait été dans le vide. (contraire à celui des dipôles électriques dans un diélectrique où l alignement des dipôles donne un champ «de réaction» de sens opposé au champ externe et donc un champ électrique intérieur net plus faible). χ m χ m T12

13 Conducteur cylindrique H. dl = c Ir 1 H = 2 φ 2π b r < b I = 1φ 2π r r > b M = χ 5 = 3, 4 10 ), Le cuivre est diamagnétique χ cuivre I cuivre H I mag 1 J = χcuivre 2 z = χcuivre J π b (avec sera opposé au courant libre, tandis que le courant superficiel aura le même sens que I. K mag B = = μ I r 2π b μ0 I 1 2π r φ 1 2 φ r < b r > b T13

14 Solénoïde infini Si l axe du solénoïde est aligné suivant z : B= μ n I = 0 0 1z à l intérieur à l extérieur où n est le nombre de spires par unité de longueur. Rempli d un matériau magnétique linéaire H = ni1z = 0 B= μ n I1 = 0 z à l intérieur à l extérieur à l intérieur à l extérieur Si le milieu est paramagnétique, le champ B est renforcé, tandis que si le milieu est diamagnétique le champ est diminué. La densité superficielle de courant de magnétisation K mag = M 1 n = χ ( H 1 n) = χ n I1φ m est en effet dans le même sens que I dans le cas paramagnétique opposé dans le cas diamagnétique. ( χ < 0) m m ( χ m > 0) et dans le sens T14

15 Conditions aux limites 1 n div B = 0 B. ds = 0 B S 1n = B2n Bdl= μ I c 0 1 n ( B1 B2) =μ0 K B= μ ( H + M) H 0 1n H2n = ( M1 n M2n) H. dl = I c 1 n ( H1 H 2) = K K où est la normale dirigée de 2 1 et est la densité superficielle de courant libre à la surface de séparation. T15

16 K = En l absence de courant libre de surface 0 H = H 1t 2t Dans le cas particulier de l interface entre deux milieux magnétiques linéaires μ H = μ H 1 1n 2 2n B = B 1n 2n B1 t B2t = μ μ 1 2 T16

17 Ferromagnétisme Fer, nickel, cobalt ou leurs alliages : effet résultant des moments magnétiques est beaucoup plus grand que dans le cas du paramagnétisme ou du diamagnétisme. Comme dans les milieux paramagnétiques, l aimantation des matériaux ferromagnétiques provient du moment magnétique associé au spin des électrons dans la couche interne de l atome. L élément nouveau est une force d interaction entre les dipôles voisins, qui est beaucoup plus grande que l interaction magnétique directe. Mécanique quantique : les moments magnétiques des atomes voisins ont tendance à s aligner parallèlement l un à l autre. Les moments ne s alignent parfaitement qu à l intérieur de petits domaines magnétiques de dimension inférieure à 1 mm. Bien que l alignement soit parfait à l intérieur de chaque domaine (même en l absence d un champ magnétique appliqué), les domaines ont des orientations aléatoires et il n y a pas de magnétisation globale. Le ferromagnétisme n apparaît que dans les milieux où l énergie est réduite si les spins sont parallèles plutôt que s ils sont opposés. Energie associée aux parois. Les dimensions et l orientation aléatoire des domaines correspondent à la situation où l énergie totale du système est minimale. T17

18 Champ extérieur : champ faible : les domaines dont les moments sont alignés parallèlement au champ grandissent aux dépens des autres. champ plus élevé : les domaines subissent également une rotation qui les fait s aligner sur le champ extérieur. champ suffisamment élevé : il ne restera qu un seul domaine et le matériau sera saturé. A très haute température, l agitation thermique détruit l organisation des domaines magnétiques. Au-delà d une température critique précise, appelée point de Curie (770 C pour le fer), le matériau cesse d être ferromagnétique et devient paramagnétique. T18

19 Courbe de première aimantation et cycle d hystérésis H dl = c c. H NI 2π 1 = r φ N I ( A m) N est le nombre de spires. H est directement proportionnel à B= μ [ H + M ] 0 I : champ magnétisant. il n y a pas de relation simple entre M et H pour un matériau ferromagnétique. H NI 2π 1 a φ où a est le (grand) rayon du tore. T19

20 H T20

21 Matériaux ferromagnétiques matériaux ferromagnétiques doux. B μ H matériaux ferromagnétiques durs. T21

22 Bsat ( T) μ r max Br ( T ) Hc ( Am) Fer doux 2, cobalt 1,8 250 nickel 0,6 600 type permalloy 0, ,006 1,2 type alnico 1,5 1, ferrite doux 0, ,1 24 ferrite dur 0,45 0, T22

23 Blindage magnétique B = B 1n 2n H = H μ B = μ B 1t 2t 0 1t 2t tg θ = μ tg θ = μ tg θ 1 2 r 2 μ0 milieu 1 μ 1n θ 1 B 1 milieu 2 μ 0 θ 2 B 2 espace libre matériau magnétique appareil à protéger Les lignes de champ vont avoir tendance à s aligner le long de la paroi à l intérieur du matériau magnétique ( θ1 >> θ2). Si le matériau magnétique entoure un appareil, la pénétration du champ magnétique dans la zone intérieure sera fortement réduite. T23

24 Point de fonctionnement d un aimant B = B 1 2 c B H. d = H + H = N I c = μ H B2 μ 0 + H = NI T24

25 H = B + NI μ0 2 2 aimant permanent B1 = B2 = μ0 H1 H = H H = B μ0 2 T25

26 Circuits magnétiques matériau magnétique section S longueur moyenne première approximation 1) On admet que les lignes de champ magnétique suivent, sans dispersion, les pièces ferromagnétiques dont elles épousent la forme et dans les entrefers, on leur suppose une forme schématique simple. Le flux magnétique Φ est donc supposé constant tout au long du circuit. 2) Dans chaque section, on admet que le champ B est uniforme et que le flux magnétique est donné par : Φ= B. ds = B S S 3) On suppose que les matériaux magnétiques sont linéaires avec une certaine perméabilité μ. Un circuit magnétique est semblable à un circuit conducteur parcouru par un courant : J B I Φ T26

27 H. d = N I c Φ= B. ds S Si les champs B et H sont liés par une relation linéaire relation linéaire entre NIet Φ. NI=RT Φ Semblable à la loi d Ohm : V = R I NI : force magnétomotrice ( ampères-tours ) c H. d= H. d= R Φ i i i i Semblable à la loi des mailles de Kirchhoff : NI= i R Φ i T27

28 Pour une section de circuit de longueur : H. d R= = Φ S B. d μ B. ds B= Φ Si B est constant dans une section normale, / S Φ d μ S R= = Φ d μ S si la section est constante R= μ S T28

29 Exemple 1 matériau 1 entrefer fmm = N1 I1 N2 I2 Les caractéristiques sont : matériau 1 : matériau 2 : entrefer : 1 = 50 cm 2 = 50 cm 3 = 0, 2 cm μ = 200 μ 1 0 μ = 2000 μ 2 0 μ = μ 3 0 matériau 2 2 S = 4cm 0,5 R = = μ , H 1 R =R 1+R 2 +R 3 = 9, T 6 H 1 0,5 R = = μ , H 1 N I N I =R Φ T R = = 3, μ H 1 T29

30 Exemple 2 Φ=Φ +Φ a b R R a b R éq = R a +R b T30

31 Exemple 3 Si on dispose des courbes de magnétisation des matériaux calcul plus précis matériau 1 fer matériau 2 acier On souhaite obtenir un flux Φ de Wb B 4 Φ 210 = = = 0,5 T 4 S 410 H 1 = 1800 H 2 = 200 A m A m acier fmm = H d= H1 1+ H 2 2 = 1000 At fer fmm = N1 I1+ N2 I2 = 1000 At T31