Exercices sur les écoulements compressibles

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1 Exercices sur les écoulements compressibles IUT - GTE - Marseille Exercice 1 Calculer la température et la pression d arrêt sur le bord d attaque de l aile d un avion volant à Mach Ma = 0.98 dans une atmosphère à 15 C et 10 5 Pa. On prendra γ = 7/5 et r = 287 J/kg/K. Refaire les calculs pour Ma = 2. 2 Exercice 2 Un avion vole à un nombre de Mach de 0.95 (calculé à partir de la vitesse de l avion) à une altitude où la pression atmosphérique est P = 0, 2232 bar et la masse volumique de l air ρ = 0, 349 kg/m Calculer la vitesse de l avion en km/h. 2. Calculer la pression et la température du point d arrêt sur le bord d attaque de l aile (γ = 1.4). 3 Exercice 3 Dans un écoulement d air, les caractéristiques en un point sont u = 100 m/s, P = 1, 013 bar et T = 288 K. 1. Calculer la pression au point d arrêt sur une aile d avion avec la précision du Pascal : en négligeant les effets de la compressibilité puis en tenant compte de la compressibilité. Quelle est la différence? 2. De combien faudrait-il diminuer la vitesse de l écoulement pour que la pression d arrêt réelle soit égale à la valeur calculée en négligeant les effets de compressibilité? 3. Faire les mêmes calculs pour u = 150, 200 et 300 m/s. 4 Tube de Pitot Un tube de Pitot est placé dans un écoulement d air à la pression P 1 = 105 kpa. La différence de pression est P = P 2 P 1 = 20 kpa (Fig.1) et la température de l air est fixée à 20 C. P 2 est la pression d arrêt. Figure 1 Tube de Pitot statique. 1

2 Calculer la vitesse de l écoulement d air. 5 Exercice 5 Une sonde anémométrique mesure la vitesse d un écoulement compressible. Elle est constituée d un capteur de pression totale (pression d arrêt P a ), d un capteur de pression statique P st et d un capteur de température (sonde thermocouple) qui provoque un arrêt adiabatique dans lequel on mesure T a. 1. Calculer la vitesse en fonction de la mesure de P a, P st et T a. 2. Montrer qu il existe une vitesse limite ne dépendant que de T a. On fera les applications numériques avec T a = 288 K, P a = 2 bars et P st = 1 bar. 6 Écoulement de Poiseuille isotherme On considère un écoulement isotherme à la température T d un gaz dans une conduite de diamètre D et de longueur L. À partir d un bilan de forces appliqué à un volume de contrôle, montrer que : 1 P 2 2 P 2 1 = 64q2 mrt C f L π 2 D 5 P 2 1 où P 1 et P 2 sont les pressions en entrée et en sortie de la conduite respectivement, q m est le débit massique de gaz, r la constante réduite du gaz et C f = 2τ p /(ρu 2 ) le coefficient de frottement (τ p la contrainte pariétale, u la vitesse de l écoulement et ρ la masse volumique du gaz). (1) Calculer ainsi la pression P 1 à l entrée d un pipeline de longueur L = 1 km et de diamètre D = 0.1 m pour un écoulement de gaz naturel (r = J/kg/K, viscosité dynamique µ = P a.s). Le débit massique de gaz q m est constant et égal à 0.7 kg/s. On donne la température du gaz T = 0 C et la pression en sortie du pipeline P 2 = 105 kp a. Le coefficient de frottement C f est à calculer avec la formule de Blasius : C f = Re 0.25 (2) 7 Exercice 7 Soit une onde de choc droite. Montrer qu à la traversée de l onde de choc : 1. P 2 /P 1 s écrit en fonction de γ et Ma 1 : P 2 = 2γ P 1 γ + 1 Ma2 1 γ 1 γ + 1 (3) 2. P 1 /P 2 s écrit en fonction de γ et Ma 2 : P 1 = 2γ P 2 γ + 1 Ma2 2 γ 1 γ + 1 (4) 3. En déduire une relation entre Ma 1 et Ma 2. Les indices 1 et 2 représentent un point en amont et un point en aval du choc respectivement. 8 Exercice 8 Un gaz a une température de 300 K, une pression de 1.5 bar et une vitesse de 450 m/s. Calculer la vitesse, la pression et la température après le passage d une onde de choc. On prendra γ = 1.3 et M = 44 g/mol. 2

3 9 Utilisation d un tube de Pitot dans un écoulement supersonique En écoulement supersonique, une onde de choc se forme en amont de la sonde. On considèrera que ce choc est droit au voisinage du point d arrêt du tube de Pitot. Dans ces conditions, la sonde mesure la pression d arrêt isentropique en aval P a 2 du choc. 1. Déterminer une relation du type : ax α + bx + c = 0 avec x = P 1 /P 2 et α = (γ 1)/γ. P 1 et P 2 sont respectivement les pressions statiques en amont et en aval du choc. Par dichotomie, en déduire la valeur de P Calculer la vitesse u 1 en amont du choc donnée par une sonde mesurant la pression d arrêt isentropique et la température d arrêt isentropique en aval du choc (P a 2 et T a 2 ), connaissant la pression statique P 1. Faire les applications numériques avec P a 2 = atm, P 1 = 0.1 atm, T a 2 = 979 K et γ = 7/5. 10 Le bouclier thermique La rentrée dans l atmosphère des engins balistiques et plus particulièrement des navettes spatiales pose le problème du bouclier thermique. En effet, l échauffement cinétique de l air à la traversée de l onde de choc est tel que la température de la paroi augmente très rapidement avec le nombre de Mach de l engin. 1. Dans le but d estimer cette température de paroi, on calculera la température d arrêt pour deux valeurs différentes du nombre de Mach de l engin, Ma 1 = 5 et 10. On supposera qu à l altitude considérée, soit z = 20 km, la température de l air est 217K. 2. En assimilant l onde de choc détachée qui se forme à l avant de l engin à une onde de choc plane, on estimera la température T 2 de l air entre l onde de choc et la paroi. 11 Tuyère convergente-divergente de Laval, version 1 Une tuyère convergente-divergente (Fig.2) à sections circulaires possède les caractéristiques suivantes : diamètre d entrée de 80 mm, diamètre au col de 40 mm, diamètre de sortie de 42 mm. Cette tuyère évacue dans l atmosphère l air d un réservoir où règne la pression P r et la température T r = 300 K. Les conditions dans ce réservoir sont supposées invariables. Figure 2 Configuration géométrique d une tuyère de Laval. 1. On supposera que P r est telle que le nombre de Mach M est maximal au col et juste égal à 1. Dans ce cas, P r = bar et P s = 1 atm. Calculer alors : les conditions au col P c, T c, u c, la température T s et la vitesse u s à la sortie, le débit masse q m et la puissance cinétique de la veine au col. 3

4 2. On augmente la valeur de P r de telle sorte que le nombre de Mach M soit maximal dans le divergent avec positionnement d un choc lorsque le diamètre est égal à D = 41 mm. Sachant que la pression dans la section de sortie vaut P s = 1 atm, calculer la pression dans le réservoir P r en suivant la procédure suivante : Donner les conditions au col T c, u c, la température T 1, la vitesse u 1 et le nombre de Mach M 1, avant le choc, la vitesse u 2, la température T 2, et le nombre de Mach M 2, en aval du choc, la vitesse u s, la température T s, et le nombre de Mach M s, en sortie de la tuyère, en remontant l écoulement, connaissant la pression de sortie P s = 1 atm, calculer P 2, P 1, P c puis P r. le débit masse q m et la puissance cinétique de la veine au col. 12 Tuyère de Laval, version 2 Un réservoir contient de l air sec à une pression de 10 6 Pa et une température de 300 K. Il est mis en communication isentropique avec l atmosphère par un conduit convergent-divergent dont la section de col est de 755 mm 2 (diamètre de 31 mm). Le nombre de Mach atteint par l écoulement en sortie du divergent est de Calculer la température T c, la vitesse U c et la masse volumique ρ c du fluide au col. 2. En déduire le débit massique q m correspondant. 3. Trouver les valeurs de la vitesse U s et de la masse volumique ρ s en sortie du divergent. 4. En déduire l aire de la section de sortie A s. 5. Calculer la pression P s et la température T s de l écoulement en sortie. 13 Tuyère de Laval, version 3 Une tuyère de Laval à section circulaire (diamètre au col D c = 10 mm) est alimentée par une source d air sec (γ = 1.4) de température T 0 = 400 K et pression P 0 génératrices constantes. Elle débouche dans un réservoir de très grande capacité dont la pression statique peut être maintenue à un niveau constant P a quelconque. On mesure en sortie de tuyère une pression statique P s = N/m 2 et un nombre de Mach Ma s = Calculer la célérité du son et la vitesse du fluide en sortie de tuyère. 2. Calculer la pression génératrice P Calculer la masse volumique du fluide en sortie de tuyère, le diamètre de la section de sortie et le débit masse du fluide éjecté. 4. Dans les conditions de fonctionnement précédentes, la pression statique du réservoir aval était fixée à P a = 10 3 N/m 2. À quel régime d écoulement en sortie correspond une telle valeur? 5. Pour quelle valeur de P a, une onde de choc droite prend-elle naissance dans la section de sortie de la tuyère? 6. On impose une pression statique aval P a = N/m 2. À quel rapport de section de col s effectue la recompression par choc normal dans le divergent? 7. Pour quelle valeur de la pression P a, le débit masse à travers la tuyère commence-t-il à changer? 14 Soufflerie supersonique Une soufflerie supersonique (Fig.3) est conçue pour fonctionner à un nombre de Mach Ma = 2 et la surface de la section du col est A c = 0.1 m 2. La pression et la température génératrices dans le réservoir situé en amont de la tuyère sont respectivement P 0 = 3 bars et T 0 = 300 K. L analyse préliminaire sera effectuée en supposant que l écoulement entre le réservoir et la section d essai reste isentropique. On prendra γ = 1.4 et r = 287 J/kg/K. 1. Calculer les propriétés de l écoulement (ρ c, P c, T c, c c, u c, A c ) au col. 2. Faire de même pour un point dans la section d essai (ρ, P, T, c, u, A). 3. Déterminer le débit massique de gaz q m dans la soufflerie. 4

5 15 Onde de choc oblique Figure 3 Géométrie de la soufflerie et notations. Le passage d un avion crée une onde de choc oblique d angle µ avec la direction horizontale. Un observateur au sol n entend pas le boom sonique produit par le passage de l avion volant à une altitude de 5 km, tant que celui-ci n est pas à une distance d au moins 9 km (voir figure 4). Si on néglige la variation de la vitesse du son avec l altitude, déterminer le nombre de Mach Ma de l avion. Figure 4 Onde de choc oblique produite par le passage d un avion en vol supersonique. 5

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