Etudier le signe de :

Transcription

1 Automath Tableaux de signes quotient Etudier le signe de : A(x) = 1 x + 1 +x B(x) = 5x x 7x+ C(x) = 1 x 9x 16 D(x) = (x+7) Résoudre : 4 x 5 5x 0x (5x + ) > ( + 7x) Courbes : Soit f et g définie par : f(x) = x 1 et g(x) = 5x 6 1) Donner l ensemble de définition de f ) Pour quelles valeurs de x, C f est-elle en-dessous de l axe des abscisses? ) Etudier les positions relatives de C f et de C g Etudier le signe de : Correction A(x) Stratégie (dans ma tête): L expression comporte la variable aux dénominateurs, on utilise un tableau de signes. Réduction au même dénominateur +x + x = 6 ( x)(+x) ( x)(+x) ( x)(+x) A(x) = 1 x + 1 +x = x 0 x x + x 0 x x x Valeurs de x Signe de Signe de x Signe de + x Signe de A(x) + x est de la forme ax + b avec a = et b = donc x est du «signe de a, à droite du 0 (signe contraire sinon)» + x est de la forme ax + b avec a = et b = donc + x est du «signe de a, à droite du 0 (signe contraire sinon)» B(x) = 5x x 7x+ C(x) = 1 x 9x 16 D(x) = (x+7) Pour x ] ; [ ] ; [ A(x) < 0 Pour x ] ; [ A(x) > 0 Pour x = et x = A(x) n est pas défini (n existe pas à cause de la division par 0!)

2 Correction B(x) Stratégie (dans ma tête): L expression comporte la variable au dénominateur, on utilise un tableau de signes. Factorisation B(x) = 5x x 7x+ = 5 x x x x x 7x+ x est toujours positif et s annule pour x = 0 5 x 0 x 5 x 5 1 7x + 0 7x x 7 = x (5 x) 7x+ x 5 Valeurs de x Signe de x Signe de 5 x Signe de 7x Signe de B(x) x est de la forme ax + b avec a = 1 et b = 5 donc 5 x est du «signe de a, à droite du 0 (signe contraire sinon)» 7x + est de la forme ax + b avec a = 7 et b = donc 7x + est du «signe de a, à droite du 0 (signe contraire sinon)» Pour x ] ; [ ]0 ; 5[ 7 B(x) < 0 Pour x ] 7 ; 0 [ ]5 ; [ B(x) > 0 Pour x = 7 B(x) n est pas défini (n existe pas à cause de la division par 0!) Pour x {0 ; 5} B(x) = 0 Correction C(x) Stratégie (dans ma tête): L expression comporte la variable au dénominateur, on utilise un tableau de signes. Factorisation C(x) = 1 x 9x 16 = 1 x (x) 4 = 1 x (x+4)(x 4) 1 x 0 x 1 x 1 x 1 x x 4 x 4 x 4 0 x 4 x 4 1 x est de la forme ax + b avec a = et b = 1 donc est du «signe de a, à droite du 0 (signe contraire sinon)»

3 x 4 est de la forme ax + b donc est du «signe de a (a = ), à droite du 0 (signe contraire sinon)» x + 4 est de la forme ax + b donc est du «signe de a (a = ), à droite du 0 (signe contraire sinon)» Valeurs de x Signe de 1 x Signe de x Signe de x Signe de C(x) Pour x ] ; 4 [ ] 4 ; 1 [ C(x) > 0 Pour x ] 4 ; 4 [ ] 1 ; [ C(x) > 0 Pour x { 4 ; 4 } C(x) n est pas défini (n existe pas à cause de la division par 0!) Pour x = 1 C(x) = 0 Correction D(x) Stratégie (dans ma tête): L expression comporte la variable au dénominateur, on utilise un tableau de signes. (x + 7) est toujours positif et s annule pour x = x 0 x 4 Valeurs de x 4 7 Signe de 4 + x Signe de (x + 7) Signe de D(x) x 4 est de la forme ax + b donc est du «signe de a (a = 1), à droite du 0 (signe contraire sinon)» Pour x ] ; 4[ ] 7 ; [ D(x) > 0 Pour x ] 4 ; 7 [ D(x) < 0 Pour x = 7 D(x) n est pas défini (n existe pas à cause de la division par 0!) Pour x = 4 D(x) = 0

4 Résoudre : Résoudre 4 x 5 Stratégie (dans ma tête): Pour les inéquations avec l inconnue au dénominateur, on utilise un tableau de signes. 4 x 5 4 x x 5() 0 4 x 0 5x 0 6x x x 16 x x 0 x 4 x 8 Valeurs de x 4 8 Signe de 6x Signe de 4 + x Signe de 6x L ensemble des solutions est ] ; 4 [ [ 8 ; [ Résoudre 5x 0x Stratégie (dans ma tête): Pour les inéquations de degré supérieur à 1, on utilise un tableau de signes. 5x 0x 5x 0x 0 5 x 5 4 x x x 0 5x(1 4x ) 0 5x(1 (x) ) 0 5x(1 + x)(1 x) 0 : 5x 0 x 0 5 x x 0 x 1 x 1 1 x 0 x 1 x 1 x 1 Valeurs de x 1 0 Signe de 5x Signe de 1 x Signe de 1 + x x(1 + x)(1 x) L ensemble des solutions est [ 1 ; 0] [ 1 ; [

5 Résoudre (5x + ) > ( + 7x) (5x + ) > ( + 7x) (5x + ) ( + 7x) > 0 ((5x + ) + ( + 7x))((5x + ) ( + 7x)) > 0 (1x + 6)( x) > 0 x 0 x 0 x 0 1x x 6 x 6 1 x 1 Valeurs de x 1 0 Signe de x Signe de 1x x (1x + 6) L ensemble des solutions est [ 1 ; 0 ] Courbes Question 1 Pour calculer f(x), on utilise une mise au carré, soustraction, addition : ces opérations sont toujours possibles. Mais on utilise une division que l on peut toujours effectuer sauf la division par 0. x + = 0 x = Donc l ensemble de définition de f est ] ; [ ] ; [ Question : C f est en-dessous de l axe des abscisses f(x) < 0 x 1 < 0 x 1 < 0 Remarque : 1 = 4 = 4 = (x+ 1)(x 1) < 0 Etude du signe des facteurs : x x 1 x 1 0 x 1 x + 0 x : Valeurs de x Signe de x Signe de x Signe de x (x+ 1)(x 1) C f est en-dessous de l axe des abscisses pour x ] ; [ ] ; [

6 Question Méthode pour la position relative : 1) On calcule la différence f(x) g(x) ) On étudie le signe de f(x) g(x) ) On conclue f(x) g(x) = x 1 = 4x 4x (5x 6) = x 1 5x + 6 = x 1 5x()+6() = x 1 5x 10x+6x+1 = 4x( x 1) Etude du signe des facteurs : 4x 0 x 0 4 x 0 x 1 0 x 1 x 1 1 x 1 x + 0 x : Valeurs de x 1 0 Signe de 4x 0 + Signe de x Signe de x f(x) g(x) Pour x ] ; [ ] 1 ; 0 [ f(x) g(x) > 0 donc f(x) > g(x) donc C f est au-dessus de C g Pour x ] ; 1[ ]0 ; [ f(x) g(x) < 0 donc f(x) < g(x) donc C f est en-dessous de C g Pour x = 1 et x = 0 f(x) g(x) = 0 donc f(x) = g(x) donc C f et C g se coupent. Aucun point de C f n a pour abscisse