Chapitre 1. Les Nombres
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- Amaury Sergerie
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1 Chapitre 1 Les Nombres
2 1. Les ensembles de nombres : Ensemble des entiers naturels (positifs) l'équation 3x = 6 a une solution : 2 mais 3x + 6 = 0 n'a pas de solution dans. car si x 0 alors 3x + 6 6
3 1. Les ensembles de nombres : Ensemble des entiers relatifs (positifs et négatifs) l'équation 3x + 6 = 0 a une solution : -2 mais 3x = 7 n'a pas de solution dans. (2 est trop petit, 3 est trop grand)
4 1. Les ensembles de nombres : Ensemble des nombres rationnels (les fractions) l'équation 3x = 7 a une solution : 7 3 l'équation x 2 = 25 a deux solutions : 5 et -5 mais x 2 = 2 n'a pas de solution.
5 1. Les ensembles de nombres : Ensemble des nombres réels ; c'est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée. O I L'ensemble est donc l'ensemble de toutes les mesures de longueur et de leurs opposés.
6 1. Les ensembles de nombres L'équation x 2 = 2 permet de calculer la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1. Cette diagonale existe, donc cette équation doit avoir une solution réelle. On démontre que cette solution n'est pas rationnelle. On la note : 2 ; ce nombre est irrationnel. 2 ; 2 ; autre réel :
7 2. Intervalles de TD1 : travail dirigé sur fiche élève.
8 3. Calcul algébrique Développer - Factoriser
9 3. Calcul algébrique Développer un produit de facteurs c'est : transformer ce produit en une somme de termes. ex1 : (3x + 7) (2x 9) = ex2 : (5a 3) 2 = ex3 : (7x + 6) (7x 6) =
10 3. Calcul algébrique Développer un produit de facteurs c'est : transformer ce produit en une somme de termes. ex1 : (3x + 7) (2x 9) = 6x x 27x 63 = 6x 2 13x 63 ex2 : (5a 3) 2 = (5a) 2 2 5a = 25a 2 30a + 9 ex3 : (7x + 6) (7x 6) = (7x) = 49x 2 36
11 3. Calcul algébrique Factoriser une somme de termes c'est : transformer cette somme en un produit de facteurs. ex4 : 7x(2x 5) + 3(2x 5) = ex5 : (x + 1) (3x + 8) (x + 1) (2x 1) = ex6 : 25x 2 81 = ex7 : 9a 2 42a + 49 =
12 3. Calcul algébrique Factoriser une somme de termes c'est : transformer cette somme en un produit de facteurs. ex4 : 7x(2x 5) + 3(2x 5) = (7x + 3) (2x 5) ex5 : (x + 1) (3x + 8) (x + 1) (2x 1) = (x + 1) [3x + 8 (2x 1)] = (x + 1) (x + 9) ex6 : 25x 2 81 = (5x) = (5x 9) (5x + 9) ex7 : 9a 2 42a + 49 = (3a) 2-2 3a = (3a 7) 2
13 3. Calcul algébrique Méthodes de factorisation : 1 - trouver un facteur commun 2 - utiliser une identité remarquable Les trois identités remarquables à connaitre par cœur : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2
14 4. Equations Equation du premier degré : x est l'inconnue, a, b sont des nombres donnés. Règles de calcul pour isoler l'inconnue : Addition Soustraction Soustraction Addition x + a = b équivaut à x = b a x a = b équivaut à x = b + a Multiplication Division ax = b équivaut à x = b a x Division Multiplication = b équivaut à x = ba a
15 4. Equations Résolution de l'équation du premier degré dans le cas général : ax + b = cx + d ce qui équivaut à (a c)x = d b équivaut à x = d b a c (à condition bien entendu que a c soit différent de zéro)
16 4. Equations Exemple : résoudre les équations 7x 9 = 2x +1 5x + 7 3x + 9 = 4x x
17 4. Equations Le degré d'une équation c'est la plus grande puissance de l'inconnue. exemple : 9x 2 + 4x 18 = 0 est du second degré 2x + 7 = 5x 8 est du premier degré x 3 7 = x est du troisième degré
18 4. Equations Une équation de degré supérieur à 1 se résout en 3 étapes : 1 - transformer pour qu'un membre de l'équation soit zéro 2 - factoriser l'autre membre 3 - appliquer la règle : un produit de facteurs est nul équivaut à l'un ou l'autre des facteurs est nul.
19 4. Equations exemple : résoudre (x 2)(4x + 11) = (x 2)(2x + 5)
20 4. Equations exemple : résoudre (x 2)(4x + 11) = (x 2)(2x + 5) 1 Tout à gauche : (x 2)(4x + 11) (x 2)(2x + 5) = 0
21 4. Equations résoudre (x 2)(4x + 11) = (x 2)(2x + 5) 1 Tout à gauche : (x 2)(4x + 11) (x 2)(2x + 5) = 0 2 On factorise : (x 2)[(4x + 11) (2x + 5)] = 0 soit (x 2)(2x + 6) = 0
22 4. Equations résoudre (x 2)(4x + 11) = (x 2)(2x + 5) 1 Tout à gauche : (x 2)(4x + 11) (x 2)(2x + 5) = 0 2 On factorise : (x 2)(2x + 6) = 0 3 On applique la règle : (x 2)(2x + 6) = 0 équivaut à : x 2 = 0 ou 2x + 6 = 0 ce qui équivaut à : x = 2 ou x = -3
23 4. Equations A vous : Résoudre (E1) : (2x + 6)(3x 7) = (5x 1)(3x 7) (E2) : (2x + 6)(3x 7) = (5x 1)(x + 3) (E3) : (4x 5) 2 (5x 4) 2 = 0 (E4) : 9x x + 25 = 0 (E5) : 16x 2 56x + 49 = 0
24 4. Equations Remarque : en développant (x 2)(2x + 6) = 2x 2 + 2x 12 on voit qu'on a résolu une équation du second degré : 2x 2 + 2x 12 = 0 Cette méthode de factorisation permet de remplacer une équation compliquée par plusieurs équations simples.
25 4. Equations Equation quotient : dans ce cas le dénominateur ne peut jamais être nul. (c'est la condition d'existence) D'où la règle : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
26 4. Equations Exemple : résoudre l'équation (3x + 9)(2x 8) x 7 = 0
27 4. Equations Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. L'équation (3x + 9)(2x 8) x 7 = 0 existe si x 7 (3x + 9)(2x 8) x 7 = 0 (3x + 9)(2x 8) = 0 3x + 9 = 0 ou 2x 8 = 0 x = -3 ou x = 4
28 FIN
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