CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES. Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Proposition de Correction

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1 CONCOR COMMN 4 DE ÉCOLE DE MINE D ALBI, ALÈ, DOAI, NANTE Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Proposition de Correction CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 1/1

2 Autour de la silice PHYIQE I : Quartz et électronique I-A) Modélisation d un résonateur à quartz I-A-1) Modèles mécanique et électrique du résonateur à quartz I-A-1-a) Appliquons le principe fondamental de la dynamique (en projection sur l axe des x) à l élément de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Il vient alors : dx mx = k x h + β V( t) dt L équation différentielle recherchée est donc mx + hx + kx = β V( t) I-A-1-b) En utilisant la formule proposée et en employant les bonnes unités pour les longueurs et surfaces (à prendre en mètres et en mètres carrés), il vient : C 8 pf. C est une valeur très faible. La relation recherchée entre q 1 et V(t) est : q() 1 t = CP V() t I-A-1-c) Multiplions l équation différentielle obtenue en A-1-a) par la constante γ. Il vient alors dx mx+ h + k x = β V( t) γ dt, soit : m q + h q + k q = V( t) βγ βγ βγ P di q I-A-1-d) La loi des mailles donne L + Ri+ = V( t) dt C q dq L t ) car i = dt q + Rq + = V( C Les équations différentielles obtenues en questions 1) et ) sont du même type. On a donc les m h βγ expressions suivantes pour R, L et C : L = R = et C = βγ βγ k I-A-) Etude de l impédance équivalente du quartz I-A--a) L admittance de la branche de C P est Y P = jc P. Celle de l autre branche est 1 Y =. L admittance de l ensemble est donc : 1 jl + jc Y ( + ) = 1 j C + jc = C jlc C jl + jc P P AB P 1 1 LC L impédance oit encore : Z AB est donc Z = j Z 1 LC 1 1 LC AB = = j( C + CP) jlccp j( C + CP) LCCP 1 1/ ( LC ) AB ( C + CP) 1 LCC 1/ C + C P P avec 1 C + CP C α = CP + C, r = et a = = 1+ r > r LC LCCP CP CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page /1 1 C + C P

3 I-A--b) Numériquement, on trouve : 1 1 f = r Hz π LC = et f a 1 C + CP = = Hz π LC C Remarque : les deux fréquences sont proches à moins de 4 Hz (ce qui correspond à un écart de l ordre de,5%, écart très faible). 1 1 r I-A--c) Le signe de Im( Z AB ) est donné par le signe de, soit encore par le ( C + CP) 1 signe de 1 1 r. Vu que a > r, on a le tableau suivant : a r r a a 1 / r / a r a Comportement Capacitif Inductif Capacitif I-A--d) i la fréquence vaut f r alors l impédance est nulle. i la fréquence vaut f a, l impédance est infinie. Le module de Z AB est infini pour une fréquence nulle, il diminue jusqu à la fréquence f r puis il augmente et tend vers l infini pour f=f a. Quand f>f a, le module tend vers. On a donc l allure suivante : P a I-A-) Etude expérimentale de la résonance d un quartz Rv I-A--a) On a un simple diviseur de tension : H = R + Z I-A--b) On veut H Rv = = = = Rv + ZAB 1 + ZAB / Rv 1 + / quartz est imaginaire pure. Donc on a ( ) v AB ( Z ) AB Rv ZAB / R = ZAB R v = v car l impédance du CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page /1

4 f I-A--c) Remarquons que la fréquence de résonance est la fréquence f r. Par définition, Q = f Numériquement, on trouve Q = 159. Ce qui est un excellent facteur de qualité : la résonance est très fine. (Remarque : avec certains quartz, on arrive à des facteurs de qualité dépassant les 1 5 ). L A partir de la relation Q =, il vient R = 157 Ω. La résistance n est pas si faible que cela. R I-B) Principe d une montre à quartz : I-B-1) Compteur modulo Il s agit ici d une division de fréquence par. En sortie du compteur, on a donc un signal de fréquence 1684 Hz. I-B-) uccession de compteurs modulo 15 Remarquons que 768 = (en binaire, ce chiffre s écrit 1 ). Il faut donc 14 chiffres placer 15 compteurs modulo en cascade pour pouvoir réduire la fréquence à 1 Hz. On a ainsi réalisé un diviseur de fréquence par 768. PHYIQE II : Quelques propriétés du verre II-A) Propriétés thermodynamiques II-A-1) Capacité thermique du verre II-A-1-a) On travaille à pression constante, l enthalpie sera la bonne fonction d état à utiliser. II-A-1-b) Effectuons un bilan enthalpique. H = Q P = car il n y a pas de fuites thermiques. H étant une fonction d état, donc elle est extensive et on a alors H = Hcalorimètre + Heau + Hbilles Avec : H = m c t t calorimètre H = eau ( eq ) ( teq t ) eq eau Mc eau 4 δ H = nd π ρ c t t ( ) billes eau verre eq 1 4 δ π ρ + + t = et donc : On a alors : nd eaucverre ( teq t1 ) ( M meq ) ceau ( teq ) ( M+ meq ) ceau ( teq t ) cverre = 4 δ nd π ρeau t 1 1 oit, avec = 1 kg m : c 871 J K = kg ρ eau verre ( teq 1) II-A-1-c) La seconde identité thermodynamique donne dh = Td + VdP = Td pour une transformation isobare. Pour une phase condensée, incompressible, on a aussi dh = CdT. Donc Td = CdT,soit encore d = Cd ln( T ) CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 4/1

5 II-A-1-d) L entropie étant une fonction d état, elle est extensive, et par suite : = + + univers calorimètre eau billes teq + 7,15 4 δ teq + 7,15 = (m eq +M)ceau ln + nρeaud π cverre ln t + 7,15 t1+ 7,15 1 Application numérique : univers =,76 J K > La variation d entropie de l univers est positive, la transformation est donc bien irréversible (le verre s est refroidi, il ne pourra jamais se réchauffer spontanément). II-A-) Fuite thermique par une vitre II-A--a) Le radiateur fournit la puissance Joule P R la valeur efficace = tension continue conduisant au même effet Joule en moyenne). J = RI = avec = V (par définition de P = k T T <. II-A--b) La pièce reçoit la puissance thermique (négative, car pertes): ( ) On remarquera que k est en W/m /K. th, pièce II-A--c) En régime permanent, la puissance des pertes doit être compensée par la puissance Joule : k ( T T ) =, soit une résistance de R = = 4 Ω. R k T T ( ) 1 II-A--d) L énergie de la pièce à l instant t+dt est égale à l énergie de la pièce à l instant t + énergie Joule apportée pendant dt + énergie perdue à travers la vitre pendant dt. oit : CT( t + dt) = CT() t + dt k ( T T ) dt. R L équation différentielle vérifiée par T(t) est alors : d T + k T= + k T dt C RC C II-A--e) Il s agit d une équation différentielle du premier ordre linéaire avec second membre C constant. La constante de temps est τ =. Numériquement, elle vaut τ = s (environ 5 k heures). Il faudra donc un temps non négligeable pour chauffer la salle! τ est le temps caractéristique de chauffage. II-A--f) olution homogène de l équation différentielle sans second membre : T ( t) = Aexp( t/ τ ) H olution particulière de l équation différentielle : c est une constante valant T P( t) = + T. Rk La solution totale est donc T( t) = Aexp( t/ τ ) + + T. Rk Condition initiale : à t =, on a T() = A + + T. Alors A = T() T Rk Rk. Finalement, la température au cours du temps est donnée par la relation T( ) t = T() T exp( t/ τ ) + + T Rk Rk CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 5/1

6 II-A--g) Pour réduire les pertes thermiques, on peut utiliser un double vitrage qui va diminuer la constante k. On peut aussi utiliser des fenêtres de petites dimensions. Il faut aussi isoler les ouvertures par des joints adéquats II-B) Propriétés mécaniques du verre II-B-1) Coefficient de frottement II-B-1-a) Ecrivons la statique du petit morceau de verre en projection sur l axe (Oy). On a immédiatement R = mgcosα En projection sur (Ox), il vient aussi R = mgsinα n t II-B-1-b) Tant qu il y a immobilité du petit morceau, on doit avoir R µ R, soit encore mgsin α < µ mgcosα. L angle α doit donc vérifier la condition tan α < µ II-B-1-c) On a µ = tan5,7 II-B-) n modèle d élasticité d une fibre de verre II-B--a) L étude des dimensions montre que E est en N/m ou en kg/m/s² II-B--b) Inversons la relation 7 F Y =, ce qui conduit à E d 4 on avait un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur t 4 Ed F= Y= ky Tout se passe comme si 7 Ed k = 7 4 n II-B--c) Numériquement, on trouve k =,9 1 N m 4 1 II-B--d) Pour le ressort envisagé, calculons le travail de la force élastique lorsque l on étire le 1 ressort de sa longueur à vide à la longueur : W = k x dx= k < (travail résistant), le travail étant égal à la diminution de l énergie potentielle élastique, cette dernière vaut donc élas. 1 Ep = k 4 1 Ed L énergie potentielle élastique de la fibre est alors Eélas = ky = Y 14 II-B--e) L énergie mécanique de la fibre est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de flexion calculée en II-B--d : On a alors E méca 4 dy Ed Y = ρ d + dt 14 E méca 4 dy Ed Y = ρ d + dt 14 II-B--f) Il n y a pas de frottement, le système est conservatif et l énergie mécanique se conserve 4 dy Ed Y au cours du temps. En dérivant par rapport au temps l expression Eméca = ρ d + dt 14 4 dy d Y Ed dy dy Ed il vient ρ d + Y =, soit encore + Y= 4 dt dt 14 dt dt 14ρ, CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 6/1

7 II-B--g) On a donc un oscillateur harmonique de fréquence f 1 Ed = π 14ρ 4 II-B--h) Numériquement, la fréquence de la fibre de verre est f 46 Hz. CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 7/1

8 CHIMIE : Quelques propriétés chimiques de la silice I) tructure 6 I-1) La configuration électronique dans l état fondamental du silicium est 1s s p s p. Le carbone appartient à la même colonne. I-) n isotope de masse atomique A possède une masse molaire de A g/mol par définition de la 1 mole. Par une simple moyenne des masses molaires des isotopes, il vient = 8,1 g mol M i M io I-) La masse molaire de io est : = 6,1 g mol 1 I-4) Le schéma de Lewis de io est le suivant : <O=i=O>. C est une molécule du type AX dans la théorie VEPR de Gillepsie. Cette molécule est donc linéaire. CO est une molécule analogue. II) La silice en solution II-1) chéma de Lewis de H 4 io 4 (on n a pas représenté les deux doublets non liants des atomes d oxygène): O H H O i O H O H II-) On a : CaAl i O 8 + H CO + 6 H = Al(OH) + Ca + + H 4 io 4 + HCO - II-) io (s) + H O = H 4 io 4 K 1 =[ H 4 io 4 ] eq /1=.1 - mol/l II-4) En multipliant par la masse molaire de la silice, on peut dissoudre,1 g de silice dans un litre d eau. III) Propriétés acido-basiques de la silice III-1) Diagramme de prédominance des espèces acido-basiques de la silice dissoute : - - H 4 io 4 H io 4 H io 4 ph pk =9,5 pk =1,6 14 III-) Pour un ph compris entre 7 et 8, on est dans le domaine de prédominance de H 4 io 4 : c est cette forme qui est présente dans les eaux naturelles. III-) Pour un ph compris entre 1 et 1, la réaction de dissolution est (on somme les équations bilan (1) et () ) : io (s) + H O = H io H O +, soit en milieu basique: io (s) + H O+OH - = H io 4 - La constante d équilibre est alors: K =K 1 K /K e =1 1,8 III-4) Pour un ph compris entre 1 et 14, la réaction de dissolution est (on somme les équations (1), () et () ) : io (s) + 4 H O = H io H O +, soit en milieu basique: io (s) +OH - = H io 4 - La constante d équilibre est alors: K =K 1 K K /K e =1, CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 8/1

9 IV) Thermochimie de la silice IV-1) La silice i (s) et le dioxygène O (g) sont des corps purs simples pris dans leur état standard de référence à la température de 98K (silicium solide et dioxygène gazeux). Leur enthalpie de formation est par définition nulle. IV-) Formons un cycle thermodynamique sur lequel H= f H i + O io (s) (g) (s) H (i) + E H (io ) sub O= O sub Ei-O i + O: + O: io (g) (g) (g) (g) On a donc : f H ( subh (io )) ( Ei-O ) subh (i) EO= O = Donc l enthalpie de sublimation de la silice vaut : subh (io ) = f H Ei-O + subh (i) + E O= O Numériquement, (io ) = 16 kj mol subh V) Cinétique de dissolution de la silice biogénique dans l eau V-1) On travaille ici à ph=8 pour avoir uniquement la forme Di de la silice dissoute (on rappelle que la solubilité augmente avec le ph). 1 V-) La température est un facteur cinétique : plus la température est élevée et plus la vitesse de la réaction de dissolution est grande. On a donc intérêt à travailler à température assez élevée pour avoir une vitesse de réaction correcte. d [ Di] V-) Dans le cas d une réaction d ordre 1, on a v =+ = kbi [ ] Or d après la dt stoechiométrie de la réaction de dissolution, on a à chaque instant : [ Di] [ Bi] a : [ Di] n + = Bo V. Donc on d n v =+ = k Bo [ Di] Cette équation différentielle se résout dt V n n Di ( t) = Aexp( k t ) + Bo, avec à t = [ Di ]( t = ) = A + Bo = Finalement, V V en [ ] n Bo [ Di ]( t) = ( 1 exp( k t )) V [ ] Di ( t) V-4) i on trace ln 1 V en fonction du temps, on doit avoir une droite de pente -k nbo V-5) On a le tableau suivant : [ ] Di ( t) -1,49 -,64-4,8-6,88-1, -1,58-16,96 -,4 Y= ln 1 V (x1 - ) nbo T= Temps écoulé en heures ne régression linéaire donne l équation Y= -,4.1 - * T 1,.1-4 avec un coefficient de corrélation de,9999. La régression est très bonne. On a k=,4.1 - h -1 CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 9/1

10 V-6) D après la loi d Arrhénius, la constante de vitesse à la température T est reliée à celle à k(t ) E 1 1 température T 1 par la relation ln = a Numériquement, la constante de vitesse k(t 1 ) R T T 1 à T = C est k( C)=1,8.1-4 h -1. La réaction est donc beaucoup plus lente qu à 6 C. C est pourquoi on travaille à une température plus élevée, sinon l expérience aurait durée plusieurs semaines! Fin du corrigé CONCOR COMMN 4 DE ECOLE DE MINE D'ALBI, ALE, DOAI, NANTE Corrigé de l épreuve de physique et chimie(toutes filières) Page 1/1