Electromagnétique 3 :

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1 Electromagnétique 3 : Induction - Dipôles - Energie. RAPPELS D'ELECTROSTATIQUE 3.. loi de Coulomb Champ électrique 3.. Propriétés du champ électrique E 5. RAPPELS DE MAGNETOSTATIQUE 6.. Le courant électrique 6.. Force magnétique et Champ magnétique 9.3. Propriétés du champ magnétique :.4. Potentiel vecteur du champ magnétique 3. L'INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE Préambule Déplacement d un conducteur filiforme dans un champ B indépendant du temps Force électromotrice d'induction loi de Faraday Loi de Faraday Travaux Dirigés Induction Circuits filiformes Coefficients d'induction 3.7. Travaux dirigés Coefficients d'induction 3.8. Rappel d électrocinétique - circuit contenant une bobine Applications Circuit non-filiforme : Courants de Foucault 6 4. TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE 7 5. ENERGIE MAGNETIQUE Circuits filiformes Association de circuits filiformes 3

2 Chap I : Equations locales du champ Circuits non filiformes Travaux Dirigés DIPOLE ELECTROSTATIQUE Systèmes de charges ponctuelles Le dipôle électrostatique moment diélectrique Action d un champ sur un dipôle Travaux dirigés DIPOLE MAGNETIQUE Moment magnétique Potentiel vecteur créé à grande distance par une spire Champ magnétique créé par une spire circulaire Lignes de champ du dipôle Actions mécaniques subies par un dipôle Exemple Analogie moment électrique / magnétique : dipôle magnétique Travaux dirigés 44

3 Chap I : Equations locales du champ 3. Rappels d'électrostatique.. loi de Coulomb Champ électrique Loi de Coulomb F q. q =.. u = F 4 πε r² ε = 9 36π = 8, S.I. ou 4πε q u r F q = 8, S.I Principe de superposition : D une manière plus générale : F F = i i (Exemples avec charges ) E créé par une charge ponctuelle q : 4 πε r² q E =. u F = q. E Potentiel créé par une charge ponctuelle q : V = 4πε r q. densité volumique de charges : dq ρ ( x, y, z) = dv C/m 3 densité surfacique de charges : dq σ ( x, y, z) = ds C/m² densité linéique de charges : dq λ ( x, y, z) = C/m d l Et, en vertu du principe de superposition, l action du volume V sur une charge q quelconque placée en P de coordonnée (x, y, z ) s écrit : q ρ( x, y, z) F =. dv. ump 4 πε V MP²( x, y, z) ou ρ( x, y, z) E =. dv. ump 4 πε V MP²( x, y, z) M(x, y, z) ρ (x, y, z) (V) q P(x, y, z ) 3

4 Chap I : Equations locales du champ 3 Exemples : disque chargé soit σ =cste soit 'une charge Q uniformément répartie" ds = r.dr.dθ MP² = r²+x² cosθ=x/(r²+x²) / E V σ x =. ε ± R² + x² R σ ds R rdr = 4πε V ( ² ² ) PM = σ σ r x x ε r² + x² = ε + on peut retrouver E à partir de E est discontinu au franchissement du disque : σ ε E x σ ε V est TOUJOURS continu au franchissement de σ r ε V x on peut donner une forme non constante à σ Autre exemple : fil infini chargé par λ 4

5 .. Propriétés du champ électrique E a) La circulation du champ électrique d'un point P à un point P est indépendante du chemin choisi : P E. d l = cste P On appelle : - la fonction potentiel : V E. dl (intégrale indéfinie) - la différence de potentiels : = - relation inverse : E = gradv (Ce calcul fait intervenir une constante) P =. = ( ( ) ( )) V E dl V P V P P disque : V σ ( r ² x ² x ) = + ε E σ x =. ε ± R² + x² b) Le flux du champ électrique E à travers une surface fermée S quelconque vaut / ε fois la charge totale contenue dans le volume V délimité par la surface S : Théorème de Gauss : ou S S charg es dans V E. ds = ε E. ds = V ρ. dv ε V é tant le volume dé limité par S Exemples : - sphère chargée en volume - Disque chargé : comparer au calcul précédent avec R - Fil infini : idem 5

6 3. Rappels de magnétostatique.. Le courant électrique courant électrique = tt mvt d ensemble de particules chargées Le déplacement des porteurs de charges se fait dans un milieu à 3 dimensions concept de densité de courant vecteur densité de courant : on considère : - S, une surface orientée - ρ, la densité de charges par unité de volume - v, la vitesse moyenne des charges - t un intervalle de temps quelconque la quantité de charges Q qui traverse S pendant t est équivalente à la charge enfermée dans le volume fictif: soit : V = S.v. t Q = ρ. V=ρ. ( S.v). t S v v. t ( S) on définit le vecteur densité de courant : J = ρ. v Q et donc = J. S t = le flux de J à travers S REM : - s il y a plusieurs types de charges mobiles : J = i ρ i. v j 6

7 3 Courants permanents Dans le cas général, si l'on considère un volume V délimité par une surface S, on a : S J. ds = ρ. dv t V Equation de continuité Le flux de J représente la quantité de charges qui entre ou sort du volume Régime permanent ou stationnaire (courant indépendant du temps) J. ds = "en régime permanent J est à flux conservatif" REMARQUES : / S J. ds = n'entraîne pas v = cste ou ρ = cste! Exemple : Diode à vide S / L'intensité I d'un courant dans un conducteur de section S est le flux de J à travers S. I J. ds Au 3 ème semestre = S 3/ J. ds = divj. dv = ρ. dv S V t V ρ divj + = t Equation de continuité 7

8 3 Ligne et tube de courant - une ligne de courant est telle qu'elle est tangente en tout point à J REM : en rég. permanent ces lignes la trajectoire des charges - un tube de courant est la surface engendrée par des lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé. PROPRIETE : en rég. permanent, l'intensité du courant est la même à travers tte section d'un tube de courant car J est à flux conservatif: J. ds = J. ds = J. ds + J. ds + J. ds l S S S S S S J. ds = I + I = I = I = J S S C C - un tube élémentaire de courant est un tube s'appuyant sur une surface élémentaire ds. On a alors : di = J.dS D'un point de vue pratique, on a vu : source électrostatique ρ.dv on verra : source magnétostatique J.dV On sera donc souvent amené à considérer la quantité J.dV. Il sera alors commode de décomposer l'espace en tubes élémentaires, de sommer le long d'un tube et d'intégrer sur tous les tubes. J.dV = J. (ds.dl) J.dV = (J. ds). dl J. dv = di. dl 8

9 3.. Force magnétique et Champ magnétique Il y a manifestation de la force magnétique chaque fois qu'une charge est en mvt dans un champ magnétique : Charge en mouvement: Courant filiforme : µ f = qv B qv u BM =. 4 π PM ² PM df = Idl B f = Idl B C B M µ Idl u 4 π PM ² =. C PM Exemples de calculs de champs magnétiques (préciser les lignes de champ) au voisinage d'un fil infini : le long de l'axe d'une spire : le long de l'axe d'un solénoïde fini: µ I B = e π D θ µ I 3 B = sin α. n R µ ni B = (cosθ + cos θ). n B = µ ni n le long de l'axe d'un solénoïde infini:. Déplacement d'un ensemble de charges On a vu : J. dv di. dl f = J B. dτ V B M µ J u 4 π PM ² =. V PM dτ Exemple : Roue de Barlow 9

10 3.3. Propriétés du champ magnétique : Flux du champ magnétique : ds ds Volume V quelconque Volume élémentaire dv=ds + ds + dsl tube de champ courant filiforme infini Le flux élémentaire à travers le volume élémentaire dv se décompose en : B. ds = B. ds + B. ds + B. ds l symétrie de révolution autour du fil flux à travers toute section ds du tube élémentaire est constant B. ds = B. ds On peut décomposer V en autant de tubes élémentaires qu'on le souhaite :. B ds = S B est à flux conservatif = Circulation du champ magnétique B. d l µ. I C int. = Théorème d'ampère Exemples : fil infini; conducteur cylindrique

11 3.4. Potentiel vecteur du champ magnétique Définition Par analogie avec l'électrostatique on va définir un potentiel "magnétique". Compte tenu des propriétés de B (lignes fermées-flux conservatif) ce potentiel est un vecteur : Expression du potentiel vecteur dans le cas d'un circuit filiforme µ I µ da =. d l I d A. 4π r = 4π l C r Autre relation entre champ et potentiel S B. ds = A. dl C S étant une surface délimitée par le contour C Exemple : Soit un fil rectiligne indéfini parcouru par un courant d intensité I. En calculant le flux du champ magnétique à travers une surface convenable, déterminez le potentiel vecteur du champ.

12 3 RESUME Electrostatique magnétostatique source de champ charges fixes charges en mouvement action d une source élémentaire circulation flux lignes de champ potentiel q de = u 4µε. r². µ I dl u db =. 4π r² conservative non conservative E d l = B dl = µ I (Ampère) non conservatif conservatif qint B ds E ds = = ε (Gauss) - non fermées - peuvent diverger scalaire E = - grad V - fermées - ne peuvent diverger vecteur B = rot A. Profondeur de pénétration d'un plasma. Une région de l'espace, limitée par plans parallèles à la distance d l'un de l'autre, est peuplée de charges q O x réparties uniformément à raison de n particules par unité de volume. L'origine est choisie sur la plaque V = de gauche et le potentiel nul en x = d/. a) Par application du théorème de Gauss trouver le champ électrique d'abord à l'extérieur des plans, puis à l'intérieur. b) En déduire le potentiel en fonction de x, on posera : V = -nqd²/8ε c) Tracer le champ et le potentiel en fonction de x Une particule de charge q se déplace le long de l'axe Ox vers les x croissants. Elle pénètre dans l'espace entre les plans avec une vitesse v. d) quelle doit être la valeur minimale de cette vitesse pour que la particule ressorte de l'autre côté. d

13 3 3. L'induction électromagnétique 3.. Préambule Expériences de Faraday : montrer que si un courant est capable de produire un champ magnétique la réciproque est vraie. Découverte empirique : premières manifestations des champs variables L induction magnétique: traduit les effets de la variation du flux de B Φ = B. ds variation de φ si variation de B variation de S batterie rhéostat I C C C : circuit inducteur C : circuit induit I : courant inducteur I : courant induit dans C L induction magnétique: c est la production d effets électriques par l action magnétique L induction magnétique : elle est à la base de l électrotechnique : production et utilisation des courants électriques. 3

14 3 3.. Déplacement d un conducteur filiforme dans un champ B indépendant du temps Tige conductrice B Oz suivant x B z v y v Oy suivant La tige conductrice contient des charges libres... qui sont mises en mouvement (vitesse v) dans un champ magnétique (B). elles sont donc soumises à la force magnétique : f m = qv ^ B on choisit d'écrire la force f m sous la forme suivante : f m = qe m On donne le nom de "champ électromoteur" au champ : E m = v ^ B E m ne doit pas être confondu avec le champ de Hall E H Si v et B sont constants l'équilibre est maintenu entre les forces magnétiques et électriques (effet Hall) : f m = - f e 4

15 3 Boucle conductrice batterie rhéostat I C C a v x x x v La boucle C crée un champ magnétique non homogène... la boucle rectangulaire C se déplace dans ce champ magnétique apparition d'un courant dans la boucle C Le long des deux brins _ _ au déplacement, il apparaît champs électromoteurs E m E m = v ^ B et E m = v ^ B J'appelle e la circulation du champ électromoteur le long de la boucle C : e = E. dl = v.( B( x ) B( x )). a C m a la dimension d'une différence de potentiels et tout se passe comme si un générateur de f.e.m. e était placé dans C : e I Si B homogène B(x ) = B(x ) séparation des charges mais pas de courant 5

16 Force électromotrice d'induction loi de Faraday Définition : Dans le cas général, on appellera force électromotrice d'induction la quantité : e = C E dl m. Remarque : Γ E m n'est pas un champ électrostatique E m - grad V Variation du flux dφ lors du déplacement élémentaire dy de la spire : a B B v dy = v.dt position () Φ v.dt position () Φ = Φ + B a v.dt - B a v.dt dφ = ( B B ). a. v dt Si on compare cette expression de dφ/dt et celle de la f.e.m. e on obtient : dφ e = dt REM : le signe "-" traduit la loi de Lenz : «le courant induit, produit par la f.é.m. e, a un sens tel qu il s oppose, par ses effets, aux causes qui lui ont donné naissance» 6

17 Loi de Faraday Généralisation à tout circuit soumis à une variation de flux : dφ e = loi de Faraday dt «la force électromotrice d induction = la variation du flux à travers le circuit» REMARQUE : Pour appliquer la loi de Faraday il faut : n a) orienter le circuit (sens positif) + (il est bien sûr intéressant de choisir n dans le même sens que B) b) évaluer algébriquement le flux φ : si B et n de même sens : φ > si B et n de sens contraire : φ < c) évaluer le signe de dφ /dt, puis de e = - dφ /dt n Si e > I est dans le sens + e> I n Si e < I dans le sens - e< I Analyse dimensionnelle : B = E / vitesse [B] = V.T / L² [Φ] = V.T / L² x L² = V. T [dφ/dt] = V.T / T = Volts (le Tesla) (le Weber) 7

18 3 Exemples I augmente sens de I? I diminue sens de I? sens de I? l'aimant se rapproche Solénoïde ou aimant sont les inducteurs - la bobine est l'induit 8

19 Travaux Dirigés Induction. Courant induit dans une bobine tournante. Une bobine plate, circulaire, de rayon r, comportant N spires, tourne autour d un axe fixe de son plan à une vitesse angulaire constante ω. Elle est placée dans un champ magnétique B uniforme perpendiculaire à l axe de rotation. a) Calculez le courant induit, R étant la résistance totale du circuit contenant la bobine. b) Si le champ magnétique est variable, déterminez le pour que le courant induit soit nul à tout instant. Considérez deux cas, a) seul le module varie, b) seule la direction varie.. Courant induit dans un circuit carré. Considérez une spire carrée de côté a qui se déplace dans un plan horizontal avec une vitesse v. Dans l espace règne un champ magnétique B permanent, uniforme et vertical. / Déterminez la f.e.m. induite dans le carré.. Le champ magnétique est maintenant produit par un fil rectiligne indéfini parcouru par un courant d intensité I et orienté de telle manière a qu il soit dans le plan du carré. On déplace le carré avec une vitesse de I module v perpendiculairement au fil (la position du cadre est repérée par r). Déterminez la f.e.m. induite dans le carré : a) en exprimant la variation du flux (loi de Faraday) b) en exprimant la circulation du champ électromoteur suivant le carré. r a 9

20 Circuits filiformes Coefficients d'induction Coefficient d'induction mutuelle de circuits filiformes I dl I C dl Φ = B ds = A. dl S C avec : A = µ I dl 4π C r C Les intégrations portent sur des variables indépendantes µ I dl. dl Φ = 4π C C r Φ = M I ou encore : avec : M µ dl. dl = = M 4π C C r M est le coefficient d'induction mutuelle des circuits M est une grandeur purement géométrique Unité : le Henri (H)

21 3 Coefficient d'auto-induction Un circuit C crée un champ B proportionnel à I le flux de ce champ à travers le circuit qui l'engendre est aussi proportionnel à I Φ = L. I L = coefficient d'auto-induction / inductance propre / self inductance L ne dépend que de la géométrie L est toujours positif Matrice inductance Pour un système de n circuits, le flux total Φ i à travers le circuit C i est : n Φ = L I + M I = M I i i i ij j ij j j i j= n avec L = M jj Φ L M M3... M n I Φ M L M 3... M n I..... = Φ n M M n M n3... L n I n C'est une matrice symétrique

22 3 Exemple : Inductance propre d une bobine torique a) Inductance propre d une bobine formée de N spires enroulées sur un tore à section rectangulaire de rayon intérieur a, de rayon extérieur b et de hauteur h. b) Un fil infini coïncide avec l axe de symétrie de la bobine. Calculez le coefficient d inductance mutuelle du fil et de la bobine et vérifiez que M = M Travaux dirigés Coefficients d'induction. Inductances combinées. La partie a) de la figure ci-dessous définit les deux bobines par leur self, L et L et leur position par l inductance mutuelle M. Déterminez les f.e.m. de chacune de ces bobines. Exprimez également les self-inductances L et L (figures b et c) en fonction de M, L et L I L I I I (a) (b) (c). Inductance propre d un solénoïde On considère un solénoïde constitué par un cylindre de rayon R et de longueur l sur lequel on a bobiné N tours de fil. En confondant le champ magnétique dans le plan de chaque spire avec sa valeur sur l axe, calculez l inductance de ce solénoïde. Examinez le cas l >> R. µ ni Rappel: champ magnétique en un point M de l'axe : B( M ) = (cosθ + cos θ) (cours EM).

23 Rappel d électrocinétique - circuit contenant une bobine Effet selfique Maintenant l inducteur et l induit sont confondus. On considère : un circuit C fermé parcouru par i si i est variable auto-inductance L source de B et φ = Li B variable flux variable source de E m dφ di e = = L dt dt self-inductance (composant) dans un circuit D une manière générale : L R = R géné +R fil +R bobine L = L bobine + L circuit e R i Forces électromotrices du circuit : e = batt. e - L di / dt =Ri e = - L di / dt e = Ri + L di / dt Lorsqu on ferme l interrupteur, i varie de à I o, état final : e o = RI A t = on considère Ri = di / dt = e / L L limite la variation de i et compense par e Résolution de l équation du circuit i pente e /L I =e /R e R L i = ( e t ) R 3

24 Applications Le transformateur Principe circuit primaire e (n spire, R, L) circuit secondaire e (n spires) On applique une f.e.m. variable e au primaire : e - dφ dt = R.I Soit ϕ le flux du champ B dans une spire du primaire n spires φ = n.ϕ ère approximation : B reste le même dans le secondaire φ = n.ϕ et dans le secondaire apparaît : e = - dφ dt ème approximation: R e dφ dt Application I I e n n e circuit primaire circuit seconda Le matériau ferromagnétique guide les lignes de champ du primaire dans le secondaire 4

25 3 L alternateur ω S θ B φ = N.B.S = NBS.cos(ωt + ϕ) e = NBSω.sin(ωt + ϕ) e Le mouvement mécanique est produit par des turbines (centrales thermiques, nucléaires, hydraulique, éolienne ) ou par une roue de bicyclette Le moteur forces de Laplace ω Le mvt de rotation est utilisé e = contacteurs à chaque demi tour I change de sens la bobine est alimentée par une tension continue 5

26 3 3.. Circuit non-filiforme : Courants de Foucault Masse métallique soumise aux phénomènes d induction courants induits dans la matière courants de Foucault Au champ électromoteur E m (v^b ou -da/dt), induit dans la masse, correspond une densité de courant : J = γ E m conductivité de la masse métallique solénoïd e Exemple : four à induction courant alternatif OM B da A = et Em = dt O M B(t) La charge libre en M est mise en mvt à cause du champ variable chauffage Exemple : frein magnétique - Le disque métallique est en rotation. - L'aimant produit un champ B dans le volume τ v + B Em : E m = -vb.i - il apparaît des courant de Foucault : J = - γe m.i - Le volume τ subit alors la force : i f v B f = J^B τ = γβ ² τ. v force de freinage B disque 6

27 3 4. Travail des forces de Laplace 7

28 3 5. Energie magnétique 5.. Circuits filiformes A. - établissement du courant dans le circuit : à t = on branche : di e = Ri + L dt e L R e R ( L t i = e ) R phase transitoire e i = = I t R phase permanente e/r t i - bilan de puissance : le générateur lutte contre la résistance du circuit et la f.e.m. de l inductance puissance fournie e. i = Ri² + puissance dissipée di Li d t puissance nécessaire pour vaincre les effets d induction - énergie dépensée durant la phase transitoire : di I W = Li dt = Li. di LI dt = W = LI L'énergie L énergie LI est stockée par l inductance RI t dissipée par effet Joule est perdue.. 8

29 3 B. - coupure du courant dans le circuit : di à t = t on éteint le générateur : = Ri + L dt L R i = e. e R R L ( t t ) solution : phase transitoire i = t e/r phase permanente t t i - bilan de puissance : = Ri² + di Li dt e = pourtant i et de l énergie est dissipée dans la résistance - énergie dissipée durant la phase transitoire : W R ( t t ) L Ri² dt RI e dt t t = = = LI L'énergie RI LI est restituée puis perdue par effet Joule : Conclusion : un circuit selfique est capable d emmagasiner et de restituer de l énergie en régime variable. Cette énergie s écrit à chaque instant : W = Li² et est appelée énergie magnétique du circuit. 9

30 3 5.. Association de circuits filiformes cas de circuits R R di di e = Ri + L + M dt dt e L L e M i i W ( ) f = e i + e i dt - énergie fournie à l instant t : t di di dt dt e = Ri + L + M - énergie perdue à l instant t : p t ( ) W = R i + R i dt - énergie stockée à l instant t : t [ di di ( di di W )] s = Li + Li + M i + i dt dt dt dt dt Ws = L i + L i + M. i i ou encore avec les flux : Φ = Li + Mi et Φ = Li + Mi Ws = ( iφ + iφ ) cas de n circuits (C ) (C )... (C n ) i i... i n n W = i Φ s j j j= flux à travers le DEUG circuit SM Φ Φ... Φ n 3

31 Circuits non filiformes démonstration courant volumique : distribution de courant caractérisée en tout point par le vecteur densité de courant J sur un tube élémentaire - énergie stockée par le tube él. : - courant dans le tube él. :. dw = Φ Σdi di = J ds - flux à travers le tube él. : Φ Σ = B. dσ = A. d l Φ =. di A. dl. Jds tube Σ B Φ ds Φ Σ Ws = A. Jdτ cylindre tube de courant W est l'énergie magnétique de la distribution de courant W est l'énergie stockée par la distribution de courant 3

32 3 démonstration courant volumique distribution de courant caractérisée en tout point par le vecteur densité de courant J un porteur de charge subit : f = q( E + v B) travail de cette force : qv B à v ne travaille pas A qe = gradv t puissance fournie par la source par unité de volume aux particules : n f v = nqv. E = J. E pour toute la distribution de volume V : P = J E d = J gradv d J A d V.. τ.. τ V.. τ V t travail effectué pendant dt : A dt = ( J.. dt). dτ = J. da. dτ V t V à ce travail correspond l énergie stockée :dw = - dτ Dans le vide, ou dans les conducteurs, de l énergie peut être stockée sous forme magnétique et cette énergie est donnée par : W = V J. A. dτ énergie magnétique de la distribution de courant 3

33 Travaux Dirigés. Flux maximal. Le dispositif ci-contre, constitué de deux cadres conducteurs carrés orthogonaux de côtés a, baigne dans un champ magnétique uniforme et se trouve initialement dans la disposition indiquée sur la figure, B // Ox (Ox étant un axe contenu dans le plan d un des deux cadres). a) Calculer le flux magnétique à travers le dispositif dans sa position initiale. b) Le dispositif peut tourner autour de son axe vertical. La rotation du double cadre est repérée par l écart angulaire θ que fait l axe Ox avec la direction du magnétique B. Exprimer le flux magnétique à travers le dispositif en fonction de θ. c) Déterminer la ou les position(s) d équilibre stable du système.. Glissement d un rail sur deux rails fixes parallèles Considérez le dispositif schématisé ci-contre. La résistance interne du générateur est égale à R. Considérez les deux cas suivants : er cas e = La barre glisse à vitesse constante v sans frottement sur les rails en s éloignant du K générateur. a) Exprimez la variation par rapport au temps du flux coupé en fonction de B, v et l. b) Donnez le sens et l expression du courant induit dans le circuit lorsque l on ferme K. ème cas e. La barre est immobile et l interrupteur K est fermé. En négligeant les frottements de la barre, déterminez les variations de sa vitesse de déplacement. Montrez qu elle tend vers une valeur limite. 3. Déformation d'une bobine. Un solénoïde de N spires non jointives, de surface S, de longueur au repos l, parcouru par un courant d intensité I est lentement comprimé de façon à ce que sa longueur passe de l à l. Cette compression engendre une variation de son inductance propre L. a) Exprimez l'énergie magnétique W emmagasinée par ce solénoïde au repos (longueur l ) b) exprimez l'énergie supplémentaire emmagasinée W en fonction de L, puis en fonction de l à l lorsqu'on l'a comprimé (longueur l ) si on garde le courant constant c) Qui fournit cette énergie supplémentaire? d) e peut s'exprimer en considérant que le générateur doit compenser la variation de la force électromotrice e' due à la compression du solénoïde e'. Exprimez e'. e) En écrivant le bilan d'énergie (fournie et emmagasinée) montrez qu'un troisième terme apparaît. A quoi correspond il? a) Calculez la force (déduite de l'énergie apparue au d)) qu il faut exercer pour maintenir le solénoïde comprimé. B l e 33

34 3. Equilibre dans un champ magnétique Un circuit déformable sans frottement est constitué par un losange plan de côté a = mm et articulé en A, B, C et D. Il est parcouru par un courant I = 5. A dont le sens est indiqué sur la figure. Le point B étant fixé, le circuit, dont le plan est vertical, est plongé dans un champ magnétique uniforme ( B =.T ), orienté comme indiqué sur la figure. Chaque tige du losange pèse.5g. a) Définir l'énergie potentielle du circuit dans le champ magnétique D b) Définir l'énergie potentielle totale E p du système c) Déterminer la position d'équilibre du circuit qui correspond à un minimum de E p (valeur de α à l'équilibre). On posera =u=sinα. I A α B C 3. Paradoxe. Une spire circulaire de rayon R, d'axe Ox, comportant N tours de fil, parcourue par un courant I est plongée dans un champ magnétique de la forme suivante : B = B( + ax) où B et a sont des constantes et i le vecteur unitaire de l'axe Ox. Le centre de la spire est en x. Calculer la résultante des forces d'origine magnétique agissant sur la spire : a) en appliquant la loi de Laplace b) en appliquant le théorème de Maxwell En utilisant une des propriétés du champ magnétique démontrer que a est forcément nul et que les calculs sont alors équivalents. 34

35 3 6. Dipôle électrostatique 6.. Systèmes de charges ponctuelles Faire la démonstration écrite au crayon 6.. Le dipôle électrostatique moment diélectrique N P - un système de charges +q et q (Σq=) -q a +q - a = PN est très petite devant toute autre distance (P ) Ce système constitue un dipôle électrique de moment dipolaire : p = qnp Reprendre la calcul Potentiel créé par un dipôle à grande distance (en C.m.) M V p cosθ =. soit V = 4 r² 4πε πε p. u. r² O p θ avec u = OM/OM Champ créé à grande distance E = E r e r + E θ e θ E r = et E : E = -gradv E θ = p cosθ. 3 πε r 4 psinθ. 3 πε r 4 REMARQUE : V et E sont parfaitement définis par p Exemple : fils parallèles uniformément chargés 35

36 Action d un champ sur un dipôle Cas d un champ uniforme E Bilan des forces : F = qe - qe = pas de mvt d ensemble Bilan des moments : Γ = OP ^ qe - ON ^ qe Γ = NP ^ qe = qnp ^ E F = et Γ = p ^ E Cas d un champ quelconque Bilan des forces F = q(e(p) - E(N)) Intéressons nous à une composante de F, F x =q(e x (P) - E x (N)) Désignons par : x, y, z : les composantes de milieu de NP x, y, z : les composantes de NP coordonnées de P : x + x /, y + y /, z + z / coordonnées de N : x - x /, y - y /, z - z / Il vient : F x = q(e x (x + x/, y + y/, z + z/) - E x (x - x/, y - y/, z - z/)) En se limitant au premier ordre en x, y, z on obtient : E E E Fx = q x. + y. + z. x y z x x x F x = (p.grad)e x F = (p.grad).e E E E REM : p.grad est équivalent à un opérateur : px. + py. + pz. x y z x x x 36

37 3 Bilan des moments : Dans une bonne approximation on peut conserver la même expression : Conclusion : Γ = p ^ E Dans un champ non uniforme, le dipôle est soumis : - à un couple qui tend à l orienter suivant une ligne de champ - à une force qui tend à le déplacer (pas forcément suivant une ligne de champ) Exemple : Action mutuelle de dipôles. Considérons deux dipôles permanents dont les moments p et p sont portés par le même axe Ox, et qui sont à la distance r l un de l autre. Les dipôles sont soit parallèles soit antiparallèles. Calculer dans chaque cas la force qui s exerce entre les dipôles Travaux dirigés Champ uniforme + dipôle Action et réaction d'une charge ponctuelle et d'un dipôle 37

38 3 7. Dipôle magnétique 7.. Moment magnétique Moment magnétique d'une spire circulaire R M = SIn n I Spire de rayon R parcourue par I Surface de la spire : S = πr² S n Vecteur surface : S =. Le moment magnétique de la spire est : M = IS Moment magnétique d'un circuit quelconque surface quelconque : S = OP d l O OP I.dl P moment magnétique : Μ =. OP I d l Moment magnétique d'une distribution volumique de courant M = OP J. dv V 38

39 3 7.. Potentiel vecteur créé à grande distance par une spire z M = I. S. e z θ M M I r y En coordonnées sphériques : OP : ( R, π, ϕ) OM : ( r, θ, π ) P ds le plan xoy M ds le plan yoz x et r >> R. I d l crée en M un champ dont le potentiel vecteur vaut : µ I dl da =. 4π PM Dans le repère Oxyz on a : et Rcosϕ Rsin ϕ. dϕ OP : Rsin ϕ d l = dop : Rcos ϕ. dϕ Rcosϕ OM : r sin θ OM OP : r sinθ Rsinϕ r cosθ r cosθ R R² PM² = R² + r² Rrsinθ sin ϕ = r² sinθsinϕ + r r² / ² R sin sin R R = θ ϕ sinθ sinϕ η PM r + r r² r + + r r² 39

40 3 R Rsin ϕ. dϕ.( + sinθ sin ϕ) r µ I dl µ I R =. =. cos ϕ. ϕ.( + sinθ sin ϕ) 4π PM 4π r da R d avec : sin ² a + cosa π = sin a = sinb cosb = sin b sinb cosb = π π A = spire da µ IR ² µ Msinθ sinθ = 4 r² 4 π r² A: En remarquant que : - A est colinéaire à e x - M r // ez - M r = r.sinθ A µ r 3 4π r =. M ou A µ =. grad 4 π r M 4

41 Champ magnétique créé par une spire circulaire θ z M M r e θ y e r B = rota avec A dans le repère (r, θ, ϕ) REM : - dans Oxyz A (Ax,, ) - mais dans (r, θ, ϕ) A : (,, A ϕ ) Aθ (sin θ. Aϕ ) r.sinθ θ ϕ A ( ra ) r ϕ rota = r sinθ θ r ( raθ ) Ar r r θ B µ.m. cosθ Br = 3 4π r µ.m. sinθ = Bθ = 3 4π r B = ϕ 4

42 Lignes de champ du dipôle Le déplacement élémentaire : d M = dr er + rdθ e θ est colinéaire à : B = Br er + Bθ e θ dr B r = rdθ B θ avec : µ.m. cosθ Br = 3 4π r µ.m. sinθ B = Bθ = 3 4π r B = ϕ r = k sinθ et µ A. r M = 3 4π r A est colinéaire à e ϕ lignes de A sont des cercles centrés sur M 4

43 Actions mécaniques subies par un dipôle Dans un champ uniforme Voir TD derrière Dans un champ non uniforme F = ( M. grad) B et Γ = M B 43

44 Exemple Champ magnétique créé par une sphère en rotation. Une sphère de rayon R portant une densité surfacique de charges uniforme σ tourne autour de son diamètre Oz avec une vitesse angulaire ω. Calculez le moment magnétique de cette sphère Analogie moment électrique / magnétique : dipôle magnétique Photocopie 7.8. Travaux dirigés 44