Chaleur, température, pression, gaz parfait, diffusion,... v 7

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1 9 Chaleur, température, pression, gaz parfait, diffusion,... v 7 1

2 La Température T Instrument de mesure type: le thermomètre à Hg. Calibration: échelle Celsius de température: 0 C l'eau gèle 100 C l'eau bout (au niveau de la mer) Autre échelle : Fahrenheit T C = (T F - 32)5/9 Echelle physique : Kelvin : 0 K est le "zéro absolu" T = T C - 273,15... Quand T=0 K les molécules sont immobiles (E cinétique=0) 2

3 Origine microscopique de la "chaleur" Le mouvement Brownien est un témoignage de l'agitation thermique des molécules. trajectoire d'une particule Le petit grain (bleu) en suspension est excités par la collision avec les molécules du liquide (points rouges). 3

4 La Pression P Considérons un fluide en équilibre a) (p. ex. une quantité d'eau à 1 m de profondeur dans un réservoir). Si on enlève une portion de liquide b) et on laisse du vide, l'eau se précipite occuper la place libre...! On doit en conclure qu'il existe à chaque point de la surface de la cavité une force F (normale à la surface) qui va accélérer l'eau dans la cavité. Dans a) F était en équilibre avec la réaction du fluide dans la cavité. 1m a) b) 4

5 Pression.2 La Pression moyenne exercée sur la surface A sur laquelle s'exerce la force totale F tot est donnée par: P = 1 A F ˆ n F tot n ^ unité Pascal 1 Pa = 1 Nm-2 Pression de l'atmosphère = 1 atm = 1, Pa = bar = 760 mm Hg = 760 torr Instrument type: le baromètre de Torricelli 5

6 Baromètre de Torricelli ~73 cm tube fermé en haut, rempli de Hg, plongé dans un bain de Hg

7 Pression.3 P F F a S P atm Force sur la paroi de surface S: F tot = F + F a F tot = S P - S P atm = S(P - P atm ) La différence P - P atm est appelée la pression de jauge: c'est la valeur qui normalement est affichée par les manomètres des pompes à air. 7

8 Equation d'état des gaz parfaits Gaz "presque" parfait: les molécules interagissent peu, les chocs sont élastiques. Dans le cas idéal, elles sont ponctuelles et (presque) sans interaction. L'équation des gaz parfaits relie P, V et T: P V = n R T P est la pression (Pa) V le volume (m 3 ) T température (K) n est le nombre de moles du gaz R est la constante des gaz parfaits = 8,314 J K -1 moles -1 = litre atm K -1 moles -1 8

9 Equation d'état des gaz parfaits.2 P V = n R T Si l'on effectue un processus "isobare" P = constante, V et T varient de façon proportionnelle: V/T = cte V T (loi de Charles) Si l'on effectue un processus "isotherme" T = constante, P et V varient de façon inverse: PV = cte P V -1 (loi de Boyle) 9

10 Condition normales Conditions Normales de T et P, CNTP: T C = 0 C P = 1 atm 1 mole de gaz parfait à CNTP: V = 1 RT/P = (1 mole) (0,08207 l atm mole -1 K -1 )(273,15 K)/(1 atm) = = 22,4 l 1 mole de gaz parfait à CNTP occupe 22,4 litres 10

11 Mole et poids atomique une mole de molécules correspond à un certain nombre de molécules: ce nombre est appelé le nombre d'avogadro N A = 6, Comment déterminer le poids d'une mole d'une substance? Il faut utiliser le "poids atomique" de la substance. 11

12 Le poids atomique L'atome est formé d'un noyau positif avec des protons (p), des neutrons (n) et des électrons (e - ) en orbite. La masse des e - est 2000 fois plus petite que celle du p. Le p et le n ont environ la même masse. Le poids de l'atome est (presque) la somme des poids des p et n du noyau et des e -. On définit que le poids du 12 C (6p,6n) vaut exactement 12 uma (unité de masse atomique) Pour une même substance chimique, il peut exister plusieurs isotopes avec un nombre de n légèrement différent. p. ex. sur terre le C est essentiellement du 12 C (6p, 6n), mais il y a une faible proportion de 13 C (6p, 7n). Le poids atomique du C sur terre vaut en moyenne 12,011 uma. 12

13 La mole Le poids atomique exprimé en [g] correspond à une mole. Pour des composés chimiques, il faut tenir compte du poids de chaque atome et les additionner. Exemples: Poids atomique H: 1,00797 uma : 1 mole de H = 1,00797 g 1 mole de H 2 = 2,01594 g C : 12,01 uma 1 mole de CH 4 : 16,0 g 13

14 Mélange de gaz Considérons un mélange de gaz avec interaction négligeable. Ex. air: une mole d'air contient 0,78 moles de N 2 0,21 moles de O 2 0,0004 moles de CO 2 0,009 moles de Ar... Ces gaz se comportent (presque) indépendamment l'un de l'autre. L'équation des gaz parfaits se sépare en plusieurs parties P(O 2 ) V = n(o 2 ) RT P(N 2 ) V = n(n 2 ) RT etc... P(X) est la pression partielle de n(x) moles de substance X, dans le volume V, à la température T 14

15 Liaison entre température et énergie cinétique des molécules Dans la théorie cinétique des gaz, la température d'un gaz est associée à l'état de mouvement des molécules. L'énergie est stockée sous forme d'énergie de translation (E. cinétique K) mais aussi de rotation E R ou de vibration E V. T = 0 Kelvin correspond à une énergie K + E R + E V nulle. Dans le cas des gaz parfaits, on considère des molécules ponctuelles, avec seulement le terme de translation non nul. Considérons N molécules dans un récipient à température T. Supposons pouvoir mesurer la vitesse et masse de chaque molécule... 15

16 T et énergie cinétique.1 m 1, v 1 m i, v i N est le nombre de molécules (m i, v i ) sont la masse et la vitesse de la molécule i K= N i=1 1 2 m v 2 i i Si toutes les molécules ont la même masse m, on obtient: N 1 K= 2 mv 2 i = 1 N 2 m v 2 i = 1 2 mn 1 N N v i i=1 i=1 i=1 2 = 1 2 mn v2 N i=1 on a introduit la vitesse quadratique moyenne: v 2 = 1 N v i 2 16

17 P et énergie cinétique La théorie cinétique des gaz est capable de calculer la pression P générée par le choc des molécules sur une paroi. P doit être proportionnelle à la quantité de mouvement mv et au nombre de chocs par seconde sur la paroi. Ce dernier est proportionnel au nombre N des molécules et à leur vitesse v et inversement proportionnel au volume V. On s'attend à : P N mv v 1 V N V K où K = mv 2 /2 Le résultat est en effet: PV = 2 3 nn K A avec l'énergie cinétique moyenne: <K> = m<v 2 >/2 17

18 T et énergie cinétique.2 Si l'on compare P V = n R T et PV = 2 3 nn A K on obtient nrt = 2 3 nn A K d'où K = 3 2 R N A T = 3 2 k BT k B = 1, J K -1 est la constante de Boltzmann Cette formule nous donne l'énergie cinétique moyenne d'une molécule de gaz parfait à température T. Toutefois les molécules sont loin d'être monocinétiques... 18

19 Distribution des vitesses des molécules d'un gaz Distribution de Maxwell-Boltzman James Clerk Maxwell 1859 Ludwig Boltzmann 1868 Elle donne la probabilité qu'une molécule possède une vitesse v donnée dans un gaz de température T. v (m/s) prob(v) = 4πv 2 m 2πk T B 3 / 2 e mv 2 2k B T Ke K k B T 19

20 Etablissement équation des gaz parfaits.1 Considérons N molécules dans un cylindre de longueur L et base de surface S (volume V = SL). Les molécules rebondissent sur la surface S et provoquent une pression P = F x /S, où F x est la force totale orthogonale à S. L S z y x Les molécules qui rebondissent sur la base, ne changent pas le module de leur vitesse, mais seulement la composante x: v x -v x v y v y v z v z. Donc la composante x de la quantité de mouvement change aussi de signe: p x -p x, δp = 2p x avec p x la quantite' de mvt initial. Par conservation de p, ce δp est transmis à la base, qui absorbe donc une quantité de mouvement parallèle à l'axe x: δp = 2p x v S 20

21 Etablissement éq. des gaz parfaits.2 La pression est donc générée par les innombrables chocs qui amènent une quantité de mouvement δp = 2p x chacune. Combien de chocs on a sur une base dans un temps Δt? La distance des bases étant L, le temps pour parcourir cette distance deux fois (aller retour) à vitesse v x est Δt = 2L/v x. La force "élémentaire" sur la surface S générée par une molécule selon l'axe x peut s'estimer par: F x = ma x = m dv x dt = 2p x = v xp x 2L /v x L = mdv x dt = mv x 2 L = dp x dt δp x Δt = 21

22 Etablissement éq. des gaz parfaits.3 Si l'on prend des quantités moyennes et on considère un nombre de molécules nn A (n est le nombre de moles), on obtient une force totale: m v x m v x F x = nn A = nn A L V /S = nn m v x A V S De plus, si le milieu est homogène et isotrope, on peut raisonnablement supposer que les 3 composantes jouent le même rôle: v x 2 = v y 2 = v z v2 d'où: 1 m v 2 F x = nn A 3 V S = nn A P = F x /S = 2 3 nn A K V m v2 V S = 2 3 nn A PV = 2 3 nn A K K V S 22

23 Degrés de liberté dans un gaz Dans un gaz monoatomique, les atomes peuvent souvent être assimilés à des points avec seulement 3 "degrés de liberté", c. à d. la possibilité de se déplacer selon x, y, z. C'est l'origine du coefficient 3 dans la formule K = 1 2 k T B K = 3 2 k B T Chaque degré de liberté contribue à l'énergie moyenne par par degré de liberté 23

24 Gaz avec plus de degrés liberté Un gaz diatomique (exemple: H 2 ) se présente comme un petit haltère qui peut tourner ou même osciller. L'orientation de l'haltère dans l'espace est donnée par deux nombres, p. ex. les angles θ et φ de la figure. Donc il y a 2 degrés de liberté dans la rotation. On trouve en effet que, à partir d'une certaine température K = (3+ 2) 1 2 k B T θ moitié H 2 φ 24

25 Gaz avec plus de degrés liberté.2 Le petit haltère peut avoir plusieurs "modes" d'oscillation. Le premier qui s'active (à partir d'une certaine valeur de T) est la vibration le long de l'axe (les atomes se rapprochent et s'éloignent suivant une oscillation harmonique). A partir d'une certaine température, une partie de l'énergie peut être stockée dans l'énergie cinétique de vibration ou dans l'énergie potentielle élastique. On a encore 2 degrés de liberté, ce qui donne K = ( ) 1 2 k B T H 2 25

26 Equation de van der Waals Gaz réels: tenir compte des interactions entre molécules et du volume qu'elles occupent pour corriger phénoménologiquement l'équation des gaz parfaits P = k BNT V N = nn A En 1873 van der Walls propose P = k NT B V Nb a N V 2 "volume" occupé par les molécules interaction: diminue la P a et b sont des paramètres. ex: He: a = Pa m 4 b = m 3 26

27 La diffusion Diffusion d'une substance dans un gaz, liquide ou solide. Ex.: Un gaz dans l'air. air immobile distance max des molécules 1 ml parfum, t=0 t=1 t=2 Autres ex.: du NaCl dans l'eau pénétration de l'he dans les métaux 27

28 La diffusion.2 Le modèle mathématique de ce phénomène est celui du mouvement aléatoire. Les molécules parcourent une certaine distance, jusqu'à ce qu'elles subissent un choc, et ainsi de suite. x(t=0) x(t) x Ce mouvement "aléatoire" ou "stochastique" doit être traité par des méthodes statistiques. On trouve que le parcours de la molécule dans une direction x, après un temps t est une variable statistique. La valeur quadratique moyenne est donnée par <x 2 > = 2Dt D est la constante de diffusion en m 2 /s. D dépend de la substance, du milieu et de T H 2 ds air D=6, m 2 /s ex: à 20 C: Glucose ds eau 6, O 2 ds air D= m 2 /s m 2 /s 28

29 La pression osmotique H 2 O et sucre H 2 O membrane perméable à l'eau mais pas au sucre l'eau pénètre dans le réservoir et dilue la solution l'équilibre est atteint quand il y a égalité entre la pression de la colonne de liquide et la pression osmotique 29

30 La pression osmotique.2 On trouve que la pression osmotique π est liée à V et T par une relation qui est formellement identique à celle des gaz parfaits πv = nrt V est le volume du récipient qui contient la solution. On introduit la concentration de la solution on a alors: c = n/v (mole m -3 ) π = c RT 30

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